廣東省肇慶市德慶縣香山中學(xué)(526600) 李素瓊

關(guān)鍵字 賦值法;函數(shù);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在解數(shù)學(xué)題時(shí),運(yùn)用邏輯推理方法,一步一步地尋求必要條件,最后求得結(jié)論,是一種常用的方法.對于有些問題,若能根據(jù)其具體情況,合理地、巧妙地對某些元素賦值,特別是賦予確定的特殊值,往往能使問題獲得簡捷有效的解決.

高考題數(shù)學(xué)編制有12道選擇題,函數(shù)的考查不僅是高考的熱點(diǎn),更是高考的高頻點(diǎn),尤其是函數(shù)性質(zhì),函數(shù)考查有易、中、難三個(gè)層次,高考中三種層次都常出現(xiàn),若是壓軸題,考生常常束手無策,主動放棄,對于選擇題往往有一定的解題技巧,尤其是賦值法的妙用,以下是個(gè)人總結(jié)和見解,請各位專家和老師指導(dǎo)斧正!

一、賦特殊數(shù)

例 1(2012年新課標(biāo)卷 2文科數(shù)學(xué)第11題)當(dāng)時(shí),4x＜logax,則a的取值范圍是( )

命題意圖本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

解析2根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=4x的圖象和性質(zhì),以題意,易判斷函數(shù)y=4x的值域?yàn)?1,2],則滿足題意,對數(shù)函數(shù)y=logax必須大于等于2,則排除C、D;賦則當(dāng)時(shí),明顯2＞1,排除A,選擇B.

例2(2014年新課標(biāo)卷1理科數(shù)學(xué)第11題)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0＞0,則a的取值范圍為( )

A.(2,+∞) B.(-∞,-2)

C.(1,+∞) D.(-∞,-1)

命題意圖本題考查導(dǎo)函數(shù)及分類討論、數(shù)形結(jié)合思想,是難題.

解析1由已知可知a0.因?yàn)閒′(x)=3ax2-6x,令f′(x)=0,得x=0 或

①當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且f(0)=1＞0,故f(x)有小于0的零點(diǎn),不合題意.

②當(dāng)a＜0時(shí),函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,要使x0＞0且唯一,只需即a2＞4,所以a＜-2,故選B.

解析2依題意,f′(x)=3ax2-6x,賦值a=3時(shí),f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)＞0;時(shí),f′(x)＜0;時(shí),f′(x)＞0,注意f(0)=1,則f(x)的大致圖象如圖1所示.不符合題意,排除A,C.賦值時(shí),f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),則當(dāng)x∈時(shí),f′(x)＜0,時(shí),f′(x)＞0,x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)＜0,注意f(0)=1,則f(x)的大致圖象如圖2所示.不符合題意,排除D.故選B.

圖1

圖2

以上兩道例題,涉及到分類討論,因?yàn)檫x擇題中選項(xiàng)已經(jīng)給出范圍,所以可以根據(jù)選項(xiàng),適當(dāng)?shù)刭x值,排除答案;賦值中雖然避免了對參數(shù)的討論,但是在賦值中,體現(xiàn)了學(xué)生對該核心知識點(diǎn)的理解、應(yīng)用,是更深層次體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、賦特殊點(diǎn)

畫函數(shù)的圖象,需要求函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),要畫準(zhǔn)確的圖象,往往要借助于幾何畫板等工具,在學(xué)習(xí)、考試中就要掌握函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì),尤其是特殊點(diǎn)的定位,因此客觀題中解決此類問題賦值法就有舉足輕重的作用.賦點(diǎn),一般是原點(diǎn)、零點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、中點(diǎn)、極值(最值)點(diǎn)等特殊點(diǎn).

例3(2012年新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第10題)已知函數(shù)則y=f(x)的圖像大致為()

解析1令g(x)=ln(x+1)-x,則所以當(dāng)-1＜x＜0時(shí),g′(x)＞0;當(dāng)x＞0時(shí),g′(x)＜0,所以g(x)max=g(0)=0.函數(shù)g(x)的大致圖象如圖3所示:g(x)=ln(x+1)-x≤0對x∈(-1,+∞)恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),取等號,故值域是(-∞,0),所以函數(shù)在x∈(-1,0)∪(0,+∞),則有f(x)＜0,所以其圖像為B.

圖3

解析2由函數(shù)的定義域(-1,0)∪(0,+∞)知,排除D;賦x=1,則排除A;賦則排除C,所以選B.

例4(2016年新課標(biāo)卷1理科數(shù)學(xué)第7題)函數(shù)y=2x2-e|x|在[-2,2]的圖像大致為()

圖4

圖5

圖6

解析2設(shè)f(x)=2x2-e|x|,由f(2)=8-e2∈(0,1),可排除A,B;賦x=0時(shí),f(0)=2·02-e0=-1;賦時(shí),賦x=1時(shí),f(1)=2·12-e1∈(-1,0).易得即在x∈(0,2)函數(shù)f(x)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增,排除C,故選D.

注:排除C,用零點(diǎn)判定是否存在極值點(diǎn),從而得出單調(diào)性,即在x∈(0,2) 時(shí),f′(x)=4x-ex,f′(0)·f′(1)=-(4-e)＜0,所以f(x)在(0,1)上不是單調(diào)函數(shù),排除C,故選D.

函數(shù)中的識圖題多次出現(xiàn)在高考試題中,也可以說是高考的熱點(diǎn)問題,這類題目一般比較靈活,對解題能力要求較高,故也是高考中的難點(diǎn),解決這類問題的方法一般是利用間接法,即通過賦值和函數(shù)性質(zhì)排除不符合條件的選項(xiàng).

三、賦特殊函數(shù)

抽象函數(shù)沒有具體的函數(shù)解析式或圖像,因此很難找到直接的求解思路,但如果能夠從函數(shù)所滿足的部分性質(zhì)或運(yùn)算法則入手,借助賦值法來化抽象為具體;解決此類問題的有力手段就是賦值,巧妙賦值,有效解決抽象函數(shù)的問題.

例5(2015年新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第12題)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x＞0時(shí),xf′(x)-f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( )

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

解析1設(shè)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以所以h(x)是偶函數(shù).因?yàn)閤f′(x)-f(x)＜0,所以所以h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù),且h(±1)=0,如圖7所示,可知滿足f(x)＞0的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1).故選A.

圖7

解析2根據(jù)題意,賦函數(shù)f(x)=-x3+x,求f(x)＞0轉(zhuǎn)化成求-x3+x＞0,易求解x＜-1或0＜x＜1,即滿足f(x)＞0的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1).故選A.

例6(2016年新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第12題)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(-x)=2-f(x),若函數(shù)與y=f(x) 圖像的交點(diǎn)為 (x1,y1),(x2,y2),···,(xm,ym),則

A.0 B.m C.2m D.4m

解析1由f(-x)=2-f(x)得,f(x)關(guān)于(0,1)對稱,而也關(guān)于(0,1)對稱,所以對于每一組對稱點(diǎn)有所以故選B.

以上近幾年新課標(biāo)1和新課標(biāo)2部分高考真題為例,從賦特殊值、特殊點(diǎn)和特殊函數(shù)三方面剖析賦值法的應(yīng)用,賦滿足題意特殊值、特殊點(diǎn)、特殊函數(shù),不僅簡化了運(yùn)算量,而且體現(xiàn)學(xué)生對知識點(diǎn)掌握的情況,若要靈活應(yīng)用賦值法,學(xué)生必須有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底,更是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).