云南省文山市第三中學(xué)(663099) 呂開書

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是課程改革的基本理念之一,也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.數(shù)學(xué)思維能力對形成理性思維有著獨特的作用.如,一題多解可以培養(yǎng)思維的廣闊性,不同的解題方法,可以培養(yǎng)學(xué)生不同的思維方式.

同一數(shù)學(xué)問題用不同的數(shù)學(xué)方法來解答,我們稱之為“一題多解”.其特點就是對同一個問題從不同的角度、不同的結(jié)構(gòu)形式、不同的相互關(guān)系通過不同的思路去解答同一個問題.

通過一題多解,能溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能解決實際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力和發(fā)散性思維能力,提高學(xué)生的觸類旁通的能力,達(dá)到解一題,學(xué)一法,會一類,通一片的目的.下面以2016年云南省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)第20小題來舉例,讓大家體會一下在解切線的判定及求陰影部分面積類型題中一題多解的思路和思維能力的培養(yǎng).

一、原題呈現(xiàn)

20.如圖1,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點C的直線交AB的延長線于點D,AE⊥DC,垂足為E,F是AE與⊙O的交點,AC平分∠BAE.

(1)求證:DE是⊙O的切線;

(2)若AE=6,∠D=30°,求圖中陰影部分的面積.

二、試題分析

對于第一問而言,因為點C既在DE上,又是⊙O上的一點,要證明DE是⊙O的切線;只要連接OC,證明OC⊥DE即可.對于這個問題,筆者研究了一下,解法比較多,有十多種解法:

解法一如圖2,連接OC,因為OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,因為AC平分∠BAE,所以 ∠OAC= ∠CAE,所以 ∠OCA= ∠CAE,所以O(shè)C//AE,因為AE⊥DE,所以O(shè)C⊥CD,所以DE是⊙O的切線;

圖2

解法二由已知易證∠OCA=∠EAC,所以∠OCA+∠ACE=∠ACE+∠EAC=90°,所以DE是⊙O的切線;

解法三由已知易證∠DOC=∠DAE,所以O(shè)C//AE,因為AE⊥DE,所以O(shè)C⊥CD,所以DE是⊙O的切線;

解法四由已知易證∠DOC=∠DAE,所以△OCD～△AED,所以∠OCD= ∠AED=90°,所以DE是⊙O的切線;

解法五如圖3,連接OF并延長OF,交DE的延長線于G,所以 ∠G+∠EFG= ∠G+∠OFA= ∠G+ ∠OAF=90°.因為 ∠D+ ∠OAF=90°,所以∠D= ∠G,所以O(shè)D=OG,所以 ∠BOC=2∠BAC=2∠CAE=∠COF,所以O(shè)C⊥DG,所以DE是⊙O的切線;

解法六如圖4,連接BF,因為AC平分∠BAE,所以BC=CF,所以點C在線段BF的中垂線上.因為OB=OF,所以點O在線段BF的中垂線上.所以O(shè)C垂直平分BF.因為AB是⊙O的直徑,所以EA⊥BF,因為AF⊥DC,所以BF//DE,所以O(shè)C⊥DE,所以DE是⊙O的切線;

圖4

解法七由解法五得OD=OG,由解法六得△OBC△OFC,所以∠DBC= ∠GFC,所以△DBC(AAS),所以DC=GC,所以O(shè)C⊥DG,所以DE是⊙O的切線;

解法八由解法六得,所以∠OCB=∠OCF,由解法七得△DBC△GFC,所以 ∠BCD=∠FCG,所以∠OCB+∠BCD=90°,所以DE是⊙O的切線;

解法九如圖5,取AF的中點H,連接OH,則OH⊥AF,由解法三得∠DOC= ∠DAE,所以 ∠DOC+ ∠AOH=90°,所以 ∠COH=90°,所以四邊形OCEH是矩形,所以O(shè)C⊥DE,所以DE是⊙O的切線;

圖5

解法十如圖6,延長BC交AE的延長線于K.因為AB是⊙O的直徑,所以AC⊥BC,因為AC平分∠BAE,所以△ABC,所以BC=KC,因為O是AB的中點,所以O(shè)C//AK,因為AE⊥DC,所以O(shè)C⊥DC,所以DE是⊙O的切線;

圖6

解法十一如圖7,過點B作BL⊥DE,垂足為L,因為AB是⊙O的直徑,所以∠AFB=90°.因為AE⊥DC,所以四邊形BLEF是矩形.所以BL=FE,所以,所以LC=EC.因為O是AB的中點,所以O(shè)C是梯形ABLE的中位線.所以O(shè)C//AE,所以O(shè)C⊥DC,所以DE是⊙O的切線;

圖7

解法十二易證△ACE～△ABC,所以∠ACE=∠ABC,所以DE是⊙O的切線;(弦切角定理逆定理,此知識點現(xiàn)教材已不要求)

除上述介紹的方法外,還在有其它方法,鑒于篇幅,本文就不在闡述.

對于第二問,關(guān)鍵求出半徑,較簡便的方法有:

解法一在Rt△AED中,因為∠D=30°,AE=6,所以AD=2AE=12,在 Rt△OCD中,因為 ∠D=30°,所以DO=2OC=DB+OB=DB+OC,所以DB=OB=DO=8,所以所以因為 ∠D=30°,∠OCD=90°,所以 ∠DOC=60°,所以因為S陰影=S△COD-S扇形OBC,所以所以陰影部分的面積為

解法二易證△ODC～△ADE,所以因為 ∠D=30°,AE=6,所以AE⊥DC,所以AD=12,所以所以O(shè)A=OC,解得OC=4,在 Rt△OCD中,因為 ∠D=30°,∠OCD=90°,所以∠DOC=60°,所以DC=OCtan∠DOC=4×tan60°=所以因為 ∠D=30°,∠OCD=90°,所以 ∠DOC=60°,所以因為S陰影=S△COD-S扇形OBC,所以所以陰影部分的面積為

解法三如圖8,過點O作ON⊥AC,垂足為N.因為∠D=30°,AE⊥DC,AC平分 ∠BAE,所以 ∠OAC= ∠CAE=30°,在 Rt△OCD中,AE=6,根據(jù)垂徑定理,N是AC的中點,在Rt△OAN中,

圖8

下面的解法與解法二相同.

三、啟示

(一)切線的判定技巧

思路:有切點,連半徑,證垂直.

常用方法:

1.等量代換:通過等量代換求半徑與切線的夾角是90°;

2.平行性質(zhì):如有一條直線與切線垂直,則可通過兩直線平行證垂直;

3.相似三角形:通過證明切線所在三角形與已知直角三角形相似;

4.全等三角形:通過證明切線所在三角形與已知直角三角形全等;

(二)陰影部分的面積計算

思路:把所求的不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積

常用的方法:

1.在弓形圖上添加三角形,組成扇形,如圖9.

圖9

2.將不規(guī)則圖形進(jìn)行分割,化為規(guī)則圖形,如圓與三角形組合求陰影部分面積:

(1)扇形圓心角之和為三角形的(部分)內(nèi)角和,如圖10.

圖10

(2)將三角形分割為扇形和不規(guī)則圖形,如圖11.

圖11

2016年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試增加了一道幾何解答題,凸顯了幾何的地位.此題的解題思路很靈活,符合不同層次學(xué)生的認(rèn)知水平,同時也擊中學(xué)生的軟肋,因為當(dāng)前學(xué)生的邏輯思維能力較弱,表述能力也偏弱,本題既考查了基礎(chǔ)知識,又考查了思維能力,即區(qū)分不同學(xué)生的認(rèn)知水平又能凸顯優(yōu)秀學(xué)生的思維品質(zhì).

總之,學(xué)業(yè)水平考試是初中教學(xué)的風(fēng)向標(biāo),本次考試試題凸顯了課改的理念和體現(xiàn)了時代發(fā)展的需要.幾何習(xí)題的一題多解,能夠讓學(xué)生對自己學(xué)過的、已掌握的相關(guān)知識予以有效運用,基于不同的角度去思考習(xí)題中的有關(guān)問題.然后,通過多種方法,對問題進(jìn)行解決.這種方式,不僅利于學(xué)生對知識的理解的加深,能夠有效幫助學(xué)生梳理知識關(guān)系網(wǎng)絡(luò),了解知識間的縱橫關(guān)系,掌握相互間的有效轉(zhuǎn)化,清楚知識內(nèi)部的相關(guān)聯(lián)系,更加利于學(xué)生對知識與技能的利用,有效去解決實際問題.不愧為提高學(xué)生幾何素質(zhì)的良好方式,作為教師來說,非常有必要對“一題多解”予以重視. 在教學(xué)實踐中多對每一道有代表意義的習(xí)題進(jìn)行有效的推敲,合理的設(shè)置問題情景,使問題變得更鮮活,充分利用各種解題方法對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行升華.學(xué)習(xí)活動中引導(dǎo)學(xué)生探尋一題多解,有利于不同層次的學(xué)生選擇自己熟悉的方法求解,從而降低綜合解答題的“門檻”,有助于成績好的學(xué)生得高分,中層次的學(xué)生“敢”得分,基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生也能得分,真正實現(xiàn)“人人獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.