張濤

概念是最基本的思維形式，數(shù)學(xué)中的命題，都是由概念構(gòu)成的；數(shù)學(xué)中的推理和證明，又是由命題構(gòu)成的。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)；正確地理解數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的前提。學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，是一個(gè)認(rèn)識(shí)的過(guò)程。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，必須遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，聯(lián)系現(xiàn)實(shí)，使數(shù)學(xué)概念變得更有意義；抓住概念本質(zhì)，對(duì)概念進(jìn)行剖析；在實(shí)踐中運(yùn)用概念，在運(yùn)用中加深概念理解。

一、數(shù)學(xué)概念及其分類

數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映，是建立數(shù)學(xué)法則、公式、 定理的基礎(chǔ)，也是運(yùn)算、推理、判 斷和證明的基石，更是數(shù)學(xué)思維交流的工具 一般地，數(shù)學(xué)概念來(lái)源于兩方面： 一是對(duì)客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的直接抽象；二是在已有數(shù)學(xué)理論上的邏輯建構(gòu)相應(yīng)地，可以把數(shù)學(xué)概念分為兩類：一類是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象或關(guān)系直接抽象而成的概念，這類概念與現(xiàn)實(shí)如此貼近，以致人們常常將它們與現(xiàn)實(shí)原型 混為一談“融為一體”，如三角形、四邊形、角、平行、相似等都有這種特性；另一類是純數(shù)學(xué)抽象物，這類概念是抽象邏輯思維的產(chǎn)物，是一種數(shù)學(xué)邏輯構(gòu)造，沒(méi)有客觀實(shí)在與之對(duì)應(yīng)，如方程、函數(shù)、向量?jī)?nèi)積等，這類概念對(duì)建構(gòu)數(shù)學(xué)理論非常重要，是數(shù)學(xué)繼續(xù)發(fā)展的邏輯源泉。

二、概念的引入

聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原型，使數(shù)學(xué)概念有意義。例如，在進(jìn)行無(wú)理數(shù)概念的教學(xué)時(shí)，我進(jìn)行了如下演示：準(zhǔn)備十個(gè)分別寫(xiě)有0-9這十個(gè)數(shù)字的紙團(tuán)，然后隨機(jī)摸出一個(gè)作為小數(shù)點(diǎn)后面的第一個(gè)數(shù)字，依此類推，黑板上出現(xiàn)了一個(gè)不斷延伸的小數(shù)：0.418532469…然后問(wèn)：“同學(xué)們，如果你們不停地進(jìn)行下去，那么我們?cè)诤诎迳夏艿玫揭粋€(gè)什么樣的小數(shù)？”學(xué)生回答：“能得到一個(gè)有無(wú)限多位的小數(shù)。”我追問(wèn)：“是無(wú)限循環(huán)小數(shù)嗎？”“不是”“為什么”我追問(wèn)。有學(xué)生答“點(diǎn)數(shù)是摸出來(lái)的，并沒(méi)有什么規(guī)律?！蔽壹皶r(shí)歸納：“不錯(cuò)，這樣得到的小數(shù)，一般是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。這種無(wú)限不循環(huán)小數(shù)與我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)不同，是一類新數(shù)，我們稱它為“無(wú)理數(shù)”。這種演示為學(xué)生提供了一個(gè)可以“感觸”的非常直觀的無(wú)理數(shù)模型，使遙不可及的數(shù)學(xué)概念具體地走到學(xué)生的面前，賦予無(wú)理數(shù)一個(gè)真實(shí)可信的意義，使概念更容易接受、更有意義。

三、概念的剖析

（1）揭示概念中的每一詞、句的真實(shí)含義。

有的概念敘述簡(jiǎn)練，寓意深刻，對(duì)于這類概念，必須深刻揭示到每一詞、句的真實(shí)含義。例如，因式分解的概念“把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式”要使學(xué)生切實(shí)理解因式分解的概念，必須指出定義中每一詞、句的真實(shí)含義。我嘗試讓學(xué)生找出自己認(rèn)為起關(guān)鍵作用的詞句并闡述理由。在此基礎(chǔ)上，講清楚“多項(xiàng)式”“整式”“積”這三個(gè)關(guān)鍵詞的真實(shí)含義。

（2）抓住概念的本質(zhì)特征，闡明概念間的內(nèi)在聯(lián)系。

講授函數(shù)概念時(shí)，為了使學(xué)生更好地理解掌握函數(shù)概念，必須揭示其本質(zhì)特征，進(jìn)行逐層剖析：①“存在某個(gè)變化過(guò)程”——說(shuō)明變量的存在性；②“在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量 和 ”——說(shuō)明函數(shù)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的依存關(guān)系；③“對(duì)于 在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值”——說(shuō)明變量 的取值是有范圍限制的，即允許值范圍；④“ 有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)”——說(shuō)明有唯一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)律。由此可知，函數(shù)概念的本質(zhì)是對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（3）注意概念的比較，歸納、區(qū)分概念的異同。

如平方根與算術(shù)平方根是聯(lián)系密切的兩個(gè)概念，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生比較，相同點(diǎn)：它們的被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；不同點(diǎn)：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)且為正數(shù)；聯(lián)系點(diǎn)：一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是該正數(shù)的正的平方根。

四、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的原則

1.循序漸進(jìn)性原則

我們知道這是一條普適性的教學(xué)原則，但數(shù)學(xué)概念教學(xué)更應(yīng)如此，在教學(xué)中我們教師沒(méi)有必要補(bǔ)充過(guò)多的教學(xué)內(nèi)容，更沒(méi)有必要把高等數(shù)學(xué)中的概念一字不改地引入到課堂中來(lái)，這就是新課標(biāo)為什么強(qiáng)調(diào)不要過(guò)分追求數(shù)學(xué)的形式化，以必修1中的二分法求方程的近似解為例，課本在講到它的理論依據(jù)時(shí)僅以黑體字打出，而沒(méi)有冠以介值定理的字樣，當(dāng)然實(shí)施這一原則更有它的心理學(xué)基礎(chǔ)：學(xué)生的認(rèn)知水平、年齡特征等。

2.科學(xué)性原則

高中生對(duì)概念的理解往往片面或者是盲目擴(kuò)大概念范疇，為了更準(zhǔn)確、深刻地理解概念，教師應(yīng)該在提供感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，作出辯證分析，采取不同方法揭示不同概念的本質(zhì)。概念的內(nèi)涵是指反映概念中那些對(duì)象的本質(zhì)屬性的總和，它是概念質(zhì)的方面的反映。例如，平行四邊形這一概念的內(nèi)涵，就是平行四邊形下列本質(zhì)屬性的總和：兩組對(duì)邊分別平行；兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；一組對(duì)邊平行且相等：對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線互相平分；對(duì)角線分得的四個(gè)小三角形等積等等。概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的全體對(duì)象，它是概念量的方面的反映，它揭示概念的使用范圍。

3.比較性原則

初中中數(shù)學(xué)有些概念是成對(duì)出現(xiàn)的，兩個(gè)概念同屬于一個(gè)種概念且呈矛盾狀態(tài)；還有些概念是由概念的逆反關(guān)系派生出來(lái)的；還有些概念是由某一概念通過(guò)逐步推廣引申而得到的等等。要學(xué)會(huì)通過(guò)反例來(lái)糾正學(xué)生在理解概念中的錯(cuò)誤，有利于學(xué)生準(zhǔn)確理解概念。

五、概念的運(yùn)用

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)解題，在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生正確靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解題，是培養(yǎng)學(xué)生解題技能的一個(gè)有效途徑，如通過(guò)基本概念的正用、反用、變用等，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算、變形等基本技能。因此，教師應(yīng)該多給學(xué)生提供練習(xí)的機(jī)會(huì)，提高學(xué)生靈活應(yīng)用概念的能力。概念的教學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，因此必須重視基本概念的教學(xué)。結(jié)合教學(xué)中的一些實(shí)踐，講究教學(xué)方法，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)，弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，把它們真正弄懂、記住并會(huì)使用，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)概念知識(shí)靈活解決問(wèn)題的能力。