魏 東

(江蘇省常熟市孝友中學(xué) 215500)

數(shù)學(xué)思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是理解數(shù)學(xué)和分析數(shù)學(xué)的前提基礎(chǔ)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的關(guān)鍵所在，它能夠發(fā)展學(xué)生的智力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，將學(xué)習(xí)的知識(shí)有效調(diào)動(dòng)起來(lái)，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)形成有機(jī)聯(lián)系.數(shù)和形之間形態(tài)雖然不同，但卻有著本質(zhì)的聯(lián)系.數(shù)形結(jié)合思想就是運(yùn)用兩者的本質(zhì)關(guān)聯(lián)來(lái)利用具體圖像代表數(shù)的抽象內(nèi)容，同時(shí)以數(shù)來(lái)表示圖形的幾何意義等，讓數(shù)量關(guān)系和空間幾何相結(jié)合來(lái)解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種有效方法.筆者從以形助數(shù)和以數(shù)助形兩個(gè)方面分析案例來(lái)掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

一、數(shù)形結(jié)合內(nèi)涵分析

數(shù)形結(jié)合具體是指根據(jù)數(shù)和形之間的特定關(guān)系，將兩者相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法.數(shù)形結(jié)合思想的廣泛應(yīng)用，就是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題具有的條件和結(jié)論兩者關(guān)系的展示，將數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系轉(zhuǎn)變成圖形來(lái)表示，將代數(shù)求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解幾何問(wèn)題，以便實(shí)現(xiàn)預(yù)期的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的.不僅要表示出代數(shù)意義，還要揭示出幾何含義，以數(shù)量關(guān)系和空間圖形的兩種外在形式巧妙融合，尋找契機(jī)找到解題思路.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮出重要意義，直接讓學(xué)生更加深刻了解數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，將部分難題、怪題變得通俗易懂，開(kāi)拓解題思路，提高了學(xué)生的解題能力.初中階段的學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科認(rèn)識(shí)并不深刻，而數(shù)形結(jié)合思想則有助于學(xué)生從本質(zhì)上掌握數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).

圖1

幾何圖形雖然直觀、形象，但是從轉(zhuǎn)化圖形的過(guò)程來(lái)看顯得有些繁瑣、復(fù)雜，而以數(shù)顯性就直接簡(jiǎn)化了本身的表現(xiàn)形式，變得更加方便，例如代數(shù)法和解析法都是對(duì)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)可，這樣過(guò)程會(huì)顯得相對(duì)簡(jiǎn)化，言簡(jiǎn)意賅更加容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，便于學(xué)生把握數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用有關(guān)的解題技巧來(lái)發(fā)散學(xué)生的思維.以數(shù)輔形詳細(xì)來(lái)講就是利用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性和產(chǎn)生出圖形中存在的數(shù)量關(guān)系，讓兩者達(dá)到一致，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)解題，補(bǔ)充數(shù)本身的想象力不足和直覺(jué)欠缺問(wèn)題，兩者完美融合才是初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題的目的.例如：在證明菱形四條邊相等，對(duì)角線互相垂直的定理時(shí)(以圖1為例)：已知四邊形ABCD是菱形，鄰邊AB=AD=CD=BC,AC⊥BD呢?在證明的過(guò)程中就會(huì)運(yùn)用到以前學(xué)到的有關(guān)等腰三角形的相關(guān)知識(shí)：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以AB=CD,AD=BC,又因?yàn)锳B=AD,所以AB=BC=CD=AD.因?yàn)锳B=AD,所以三角形ABD是等腰三角形……,所以AO⊥BD,所以AC⊥BD.

例如在以數(shù)輔形的幾何問(wèn)題中，利用數(shù)形結(jié)合思想比較常見(jiàn)，如解析法和代數(shù)法，會(huì)在一定程度上降低難度.

二、以形助數(shù)方法的有效運(yùn)用

根據(jù)實(shí)際初中數(shù)學(xué)解題的需要，從題目中的數(shù)量關(guān)系來(lái)反應(yīng)到具體空間圖形上把握性質(zhì)，找出隱藏的關(guān)鍵信息，更加容易解決問(wèn)題.即把抽象的數(shù)字關(guān)系和形象的圖象關(guān)系相對(duì)應(yīng)，才能更好展現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力，從抽象化和形式化兩個(gè)特點(diǎn)來(lái)直觀呈現(xiàn)數(shù)學(xué)原理，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.以形助數(shù)重點(diǎn)是利用圖形在頭腦思維中的具體性來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，幫助學(xué)生提高解題效率.例如在下面以形助數(shù)的實(shí)際案例中.

例如在下面以形助數(shù)的實(shí)際案例中.

某拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，6)，在x軸上截取的線段長(zhǎng)度為4，對(duì)稱(chēng)軸方程為x-1=0，并且和直線y=x-5相交，求出拋物線的解析式，以及拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

對(duì)于拋物線類(lèi)型的題目，必然要聯(lián)系到坐標(biāo)圖，根據(jù)上述題目分析出拋物線的解析式是y=1，2x2-2，4x-3，6，在和直線方程相交的兩點(diǎn)y值相等隱藏線索能夠得出兩個(gè)方程式y(tǒng)值相等，即y=1，2x2-2，4x-3，6=x-5，求出x值分別為7/3和1/2，將x數(shù)值代入分別得出7/3-5和-4.5，最后得出拋物線方程式和直線交點(diǎn)坐標(biāo).

從近年來(lái)中考數(shù)學(xué)試卷的函數(shù)題目來(lái)看，和圖形的聯(lián)系越來(lái)越緊密，考生離開(kāi)了圖形，僅僅憑借自己的想象很難全方位把握問(wèn)題及條件，而主動(dòng)根據(jù)題目限定條件畫(huà)出圖形，以形助數(shù)已經(jīng)成為學(xué)生普遍通用的方法.數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)數(shù)據(jù)和圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將比較抽象的語(yǔ)言通過(guò)圖形表示出來(lái)，或者是使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將圖形表示出來(lái).圖形的直觀化、簡(jiǎn)潔化和形象化有助于開(kāi)拓學(xué)生的思路，打開(kāi)思維空間，讓學(xué)生培養(yǎng)應(yīng)對(duì)較難問(wèn)題的具體思考方式.因此在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，要積極運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題，提高學(xué)生對(duì)整體數(shù)學(xué)問(wèn)題的掌握.此外，函數(shù)及其圖象可以利用直角坐標(biāo)系全面深入結(jié)合數(shù)形，函數(shù)運(yùn)用圖象表示出來(lái)可以直觀分析出函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，而觀察函數(shù)解析式可以對(duì)應(yīng)繪畫(huà)出幾何圖形，相互之間依托解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題，這對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的研究和把握具有很大幫助.

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，隨著現(xiàn)代初中教育理念的創(chuàng)新，初中數(shù)學(xué)解題也要開(kāi)始創(chuàng)新.數(shù)形結(jié)合思想作為幫助理解數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，同時(shí)也是解題方法中不可缺失的部分，引導(dǎo)學(xué)生將抽象事物具體化和形象化展現(xiàn)出來(lái)，從而轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形關(guān)系，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.初中數(shù)學(xué)包含了大量代數(shù)和幾何內(nèi)容，兩者從形式上確有不同，但是本質(zhì)上是一致的，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該幫助學(xué)生正視數(shù)形兩者的聯(lián)系，在代數(shù)和幾何問(wèn)題上相互融合，并且在適當(dāng)情況下運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和啟發(fā)學(xué)生思維，從多角度來(lái)看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，掌握這種解題思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)自我知識(shí)框架的建構(gòu)，從根本上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)加以靈活運(yùn)用，在實(shí)踐解題中挖掘?qū)W生的多種潛力，激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，普遍提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.