許億鋒

(廣東省深圳中學(xué)龍崗初級中學(xué) 518172)

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是抓住數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)部規(guī)律，是學(xué)生形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).那如何引導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí)呢？本人認(rèn)為，比題海戰(zhàn)術(shù)更勝一層樓是多題一解和一題多解，多題一解是指一個(gè)方法可以解很多道題，而一題多解是指用很多方法解一道題，那方法與方法之間的內(nèi)在聯(lián)系就是數(shù)學(xué)的內(nèi)部規(guī)律，所以找到方法之間的核心思想就是深度學(xué)習(xí).本文從初中數(shù)學(xué)常見幾何壓軸題題型為例，由淺入深，闡述如何培養(yǎng)深度學(xué)習(xí)能力.

一、多邊形面積框之法

從小學(xué)到初中，學(xué)生學(xué)習(xí)過的平面多邊形面積公式有：矩形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、菱形、不規(guī)則多邊形和二次函數(shù)中斜放三角形面積公式，其實(shí)我們教的這些面積公式都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)面積公式：矩形面積=長×寬.

1.常見平面多邊形面積公式

2.二次函數(shù)中的常見壓軸題的面積問題

我們可以發(fā)現(xiàn)，它們都有斜著放置的邊長，而矩形、正方形的邊長是相對橫著或者豎著放置，所以，我們可以通過在它們外面放置一個(gè)矩形或者正方形，將斜著放置的邊長“框”起來(也可剪拼)，轉(zhuǎn)化為橫著或者豎著放置，將復(fù)雜問題簡單化.

二、斜放直角框之法

上面我們研究了面積問題，接下來我們來研究邊長和坐標(biāo)的問題.含有直角的平面圖形有正方形、矩形、直角三角形，這些圖形斜放問題都可以用橫著或者豎著放置的正方形、矩形、直角三角形將原來的圖形框住，從而轉(zhuǎn)化為橫著或者豎著放置的問題.

1.斜放矩形無直角坐標(biāo)系

上述問題中，難題是斜著放置的正方形或者矩形，而我們可以用橫著放置的正方形或者矩形框住原來的正方形或者矩形，將復(fù)雜問題簡單化.

2.斜放直角三角形

直角三角形其實(shí)就是矩形的一半，我們同樣可以通過使用橫著放置的矩形框住斜著放置的直角來解決.

上述問題中，難題是斜著或者吊著放置的直角三角形，而我們解決的方法是，用橫著放置的正方形或者矩形框住原來的直角三角形，將復(fù)雜問題簡單化.

三、斜放線段框之法

斜放直角的問題轉(zhuǎn)化為橫著或者豎著放的直角三角形問題，那斜放的線段可以轉(zhuǎn)化為橫放或者豎放的線段問題嗎？其實(shí)，我們可以用直角三角形框住斜放線段來解決.

1.二次函數(shù)壓軸題中斜放線段

斜放線段的難點(diǎn)在于，求長度缺兩條直角邊，求坐標(biāo)缺垂直與x軸或者y軸的垂線段，而我們解決問題的辦法就是在斜放的線段兩端補(bǔ)充兩條直角邊，構(gòu)成直角三角形.所以斜放線段，直角三角形框之.

綜上所述，所有平面多邊形的面積公式由矩形的面積公式轉(zhuǎn)化而來；不規(guī)則多邊形和斜放多邊形的問題，可以用矩形框之，轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形的問題；斜放直角的問題，可以用矩形框之，利用全等或者相似，轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題；斜放線段的問題，可以用直角三角形框之，利用全等、相似或者勾股定理，轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題.用一句心法總結(jié)框之法：不規(guī)則或者斜放多邊形,矩形框之；斜放直角或線段,直角三角形框之.框之法不僅僅是一種方法，更是一種思想，也反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì).