廣州工商學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部 李 萍

法國數(shù)學(xué)家龐加萊曾說：“如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的未來，那么適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀?！备怕收摦a(chǎn)生于17世紀(jì)中葉，是研究偶然、隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律的數(shù)學(xué)理論。早期的概率論是一種經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)，作為一門經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的古典概率論最直接地起源于一種相當(dāng)獨(dú)特的人類行為思想的探索：人們對于“機(jī)會的游戲”（英語中的“game of chance”）的研究思考。所謂機(jī)會的游戲，是靠運(yùn)氣取勝的一些游戲，如賭博、抽獎、彩票等等。

為了更清楚地了解古典概率的發(fā)展脈絡(luò)，介紹發(fā)展歷史上的一些重要事件，其中，1774年，拉普拉斯在“論概率”一文中給出了概率的定義：概率指的是合適情況的個數(shù)占所有可能發(fā)生的情況的個數(shù)的比例。1820年（第三版）出版的著作《分析概率論》，是古典概率論的金字塔，給出了概率的古典定義：若一實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果為n個具有相等可能性的事件，而且其中m個是有利于事件A的發(fā)生，則事件A發(fā)生的概率P(A)是：

隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率總在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性。R.von米澤斯把這個固定的數(shù)定義為該事件的概率，這就是概率的頻率定義。

古典概率的定義并不是很難理解，并且古典概率的公式在實(shí)際應(yīng)用時(shí)也是比較容易的，但是在實(shí)際教學(xué)中，多數(shù)教師是直接給出古典概率的定義、公式，大部分還停留在填鴨式教學(xué)模式上，導(dǎo)致學(xué)生對古典概率的本質(zhì)理解不透徹，不知道哪一種隨機(jī)事件是古典概型，從而不知道何時(shí)使用古典概率的公式，這些都不利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

下面通過對實(shí)際生活中的一道古典概率題的幾種解法的討論來說明如何在求解古典概率的過程中，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

例：10件產(chǎn)品中有4件次品,從中任取2件產(chǎn)品，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。（對于這道題，會有多種不同解法,整理出以下幾種）

解法1：設(shè)A={另一件也是次品},因?yàn)?0件產(chǎn)品中有4件次品,從中任取2件產(chǎn)品,顯然取到哪兩件產(chǎn)品都是等可能的,所以樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為,而另一件也是次品的基本事件總數(shù)為由古典概型概率的計(jì)算公式,得

解法2：設(shè)A1={已知其中一件產(chǎn)品為次品},A2={另一件產(chǎn)品為次品}，

解法5：設(shè)A= {另一件產(chǎn)品也是次品}, 10件產(chǎn)品中有4件次品,從中任取2件產(chǎn)品,已知其中有一件是次品的樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)為,另一件也是次品的基本事件總數(shù)為,由古典概型概率的計(jì)算公式,得

上述答案中只有第4、5種解法是正確的,前三種解法都是錯誤的,那么為什么會出現(xiàn)這么多種錯誤的解法呢？原因還在于對題意不能正確地理解。

解法1的錯誤是把10件產(chǎn)品中有4件次品,從中任取2件,按常規(guī)計(jì)算得樣本空間總數(shù)為而沒有把題設(shè)條件“已知其中有一件是次品”考慮進(jìn)去,從而把樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)給擴(kuò)大了。

解法2的錯誤是把題目中“已知其中有一件是次品”理解為抽取的第一件產(chǎn)品是次品,而把求“另一件產(chǎn)品也是次品”理解為在第一件產(chǎn)品是次品的條件下求第二件產(chǎn)品也是次品的概率。當(dāng)然,這個題目用條件概率也是可以做的。

解法3的錯誤是把“已知其中有一件是次品,求另一件也是次品的概率”理解為抽取到的兩件產(chǎn)品都是次品的概率問題。

作為數(shù)學(xué)教師，在日常課堂教學(xué)中要經(jīng)常地選擇一些發(fā)散性強(qiáng)的典型數(shù)學(xué)知識或問題，讓學(xué)生了解問題背景、知識背景，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，形成創(chuàng)造氣氛，然后再通過問題解決，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。