江蘇省常州市三河口高級(jí)中學(xué) 胡愛(ài)華

眾所周知，立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要章節(jié)，而翻折問(wèn)題又是立體幾何中極具想象能力的問(wèn)題類型，其以平面圖形為根本，以動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)為背景，將空間想象能力的考查融入問(wèn)題之中，做到了平面幾何和空間幾何之間的知識(shí)交替，提升了學(xué)生空間感知的區(qū)分，從而提升了學(xué)生直觀想象的學(xué)科素養(yǎng)。

一、概念認(rèn)知——認(rèn)知空間四邊形

空間幾何是三維的，從翻折的角度來(lái)說(shuō)，空間幾何可以看成是平面幾何的升級(jí)。比如，平面四邊形和空間四邊形是怎么區(qū)別的？不少學(xué)生對(duì)于這樣的數(shù)學(xué)概念是缺乏認(rèn)知的，教材中也恰恰對(duì)很多幾何概念的描述有所缺失。舉一個(gè)很簡(jiǎn)單的案例：四面體的概念認(rèn)知，教材中并沒(méi)有明確給出一些幾何體的概念，如空間四邊形、四面體等等，只是零星提及，這讓學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何體概念是模棱兩可的。用平面幾何中的四邊形ABCD為載體，通過(guò)翻折逐一介紹，可提升學(xué)生對(duì)基本概念的認(rèn)識(shí)程度。

圖1

如圖1，以四邊形ABCD沿著對(duì)角線AC進(jìn)行翻折，記其在空間的位置為V，此時(shí)由空間幾何的公理可知，其四條邊不在同一個(gè)平面中，此時(shí)平面四邊形就轉(zhuǎn)變成空間四邊形了。進(jìn)一步思考四面體概念和三棱錐概念，將空間四邊形的AC、VB進(jìn)行連接，從幾何體結(jié)構(gòu)的角度來(lái)說(shuō)，這就是我們熟悉的三棱錐；從多面體面數(shù)的角度來(lái)說(shuō)，這就是我們熟知的四面體。因此可以這樣認(rèn)為：其實(shí)這四個(gè)在空間的點(diǎn)組成的幾何體，即{三棱錐}={四面體}={空間四邊形}。那么我們進(jìn)一步想：為什么四棱錐不等同于五面體，五棱錐不等同于六面體了呢？這就很容易解釋了，因?yàn)槲迕骟w除了四棱錐之外，三棱柱也可以，因此這種等價(jià)命名方式就不可取了，同理，六面體也可能是某一種四棱柱，而不僅僅是五棱錐了。通過(guò)簡(jiǎn)單的翻折，學(xué)生對(duì)平面四邊形如何形成空間四邊形有了足夠的認(rèn)識(shí)，對(duì)概念為什么如此稱呼有了更為深刻的認(rèn)知，將翻折手段用于概念教學(xué)，有助于學(xué)生對(duì)于空間概念的感知。

二、定性感知——認(rèn)知圓錐模型

定性的空間翻折問(wèn)題，是一種非精確量化的立體幾何問(wèn)題，這里更是進(jìn)一步對(duì)學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)。如何解決定性的翻折問(wèn)題，這里筆者以為需要兩種主要手段或工具，其一是模型的幫助，在問(wèn)題解決過(guò)程中制造模型，加強(qiáng)公理化體系在模型中的運(yùn)用；其二是向量知識(shí)的幫助，向量是很好的解決空間幾何的工具，尤其是以基底為載體的自由向量。

（1）存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直；

（2）存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直；

（3）存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直；

（4）對(duì)任意位置，直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直。

圖2

分析：筆者以為解決本題有兩種主要方式，其一是制作紙張模型，結(jié)合公理化體系論證，但是違背了“小題小做”的意愿；其二是自由向量的手段，在翻折問(wèn)題的感性認(rèn)知上可以做到游刃有余。

首先揭示本題翻折的本質(zhì)，即△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折過(guò)程中，其中，點(diǎn)A的軌跡自然是陰影部分（如圖2）底面圓周上的點(diǎn)。以自由向量呈現(xiàn)的夾角狀態(tài)做出感性的分析：

我們發(fā)現(xiàn)，翻折過(guò)程中對(duì)于動(dòng)點(diǎn)A的軌跡的認(rèn)知，是問(wèn)題的模型本質(zhì)，即圓錐模型。小題小做的方式告訴我們，用向量的工具性作用大大簡(jiǎn)化了翻折問(wèn)題的思考，在頭腦中有了感性的角度認(rèn)知，高效簡(jiǎn)潔。

總之，空間幾何中的翻折問(wèn)題是提升空間感知的重要問(wèn)題載體，通過(guò)其熟知基本幾何體的形成、感知并解決問(wèn)題是教學(xué)需要加以關(guān)注的，進(jìn)一步可以利用翻折問(wèn)題加強(qiáng)空間想象能力的培養(yǎng)，這才是翻折問(wèn)題教學(xué)實(shí)際的價(jià)值所在。