李洪巖，陳華友，周禮剛

（1.安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系，合肥 230051；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601）

0 引言

在實(shí)際的決策問題中，由于人類思維的模糊性和客觀事物的復(fù)雜性，例如人們?cè)趯?duì)評(píng)價(jià)汽車性能的時(shí)候，更傾向于使用“優(yōu)”、“中等”、“差”等模糊的語言，因此，對(duì)基于模糊語言的群決策方法的研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。為了用模糊語言來表示決策信息，基于模糊語言標(biāo)度的二型模糊集顯示出其優(yōu)勢(shì)[1]。Zadeh在1975年提出二型模糊集的概念[1]，并將二型模糊集視為傳統(tǒng)一型模糊集的拓展。和一型模糊集相比，二型模糊集能夠更好地處理帶有不精確信息的決策問題，因此被用于信息融合[2]、圖像識(shí)別[3]、詞計(jì)算[4]等諸多領(lǐng)域。作為二型模糊集最有效的簡(jiǎn)化形式，區(qū)間二型模糊數(shù)具有相對(duì)的簡(jiǎn)便性[5]，同時(shí)因?yàn)楸纫话隳：龜?shù)包含了更多自由度，所以能夠有效地表達(dá)模糊的語言評(píng)價(jià)信息，因此區(qū)間二型模糊數(shù)被廣泛應(yīng)用于群決策問題[6-11]。

另一方面，針對(duì)基于區(qū)間二型梯形模糊多屬性群決策問題中專家權(quán)重和屬性權(quán)重的確定方法研究則不多，文獻(xiàn)[12]提出了一種基于加權(quán)幾何集結(jié)算子的區(qū)間二型梯形模糊的多屬性決策方法，文獻(xiàn)[13]提出了一種基于區(qū)間二型模糊dependent有序加權(quán)平均算子和區(qū)間二型模糊power平均算子的多屬性決策方法，同時(shí)提出一種區(qū)間二型模糊相似測(cè)度，用以構(gòu)建專家權(quán)重和屬性權(quán)重。但是上述方法均未考慮專家權(quán)重和屬性權(quán)重均為區(qū)間二型梯形模糊數(shù)的情形，因此，本文在文獻(xiàn)[10]區(qū)間二型模糊數(shù)的上、下隸屬度函數(shù)可能度的基礎(chǔ)上，并基于文獻(xiàn)[11]構(gòu)建了一種區(qū)間二型模糊離散度概念，提出一種新的區(qū)間二型模糊相似測(cè)度。同時(shí)基于區(qū)間二型模糊相似測(cè)度分別構(gòu)建了專家權(quán)重和屬性權(quán)重部分已知情況下區(qū)間二型梯形模糊數(shù)專家權(quán)重和屬性權(quán)重確定模型，給出了基于新的區(qū)間二型梯形模糊相似測(cè)度模糊多屬性群決策方法。

1 區(qū)間二型模糊數(shù)的概念及運(yùn)算

定義 1[5]：模糊集：

稱為二型模糊集，U為?的論域，μA?是?的二型隸屬度函數(shù)。二型模糊集?還可表示為u)/(x，u),其中Jx?[0，1]。

定義2[5]：設(shè)?為論域U上的二型模糊集，μA?為其二型隸屬度函數(shù)，若μA?(x，u)=1，則稱為區(qū)間二型模糊集。

定義3[13]：區(qū)間二型模糊數(shù)可表示為：

為了對(duì)區(qū)間二型模糊數(shù)進(jìn)行大小的比較，Wu和Mendel提出了一種形心法。令分別表示區(qū)間二型模糊數(shù)?的形心，若

圖1 區(qū)間二型模糊數(shù)

（1）加法運(yùn)算：

（2）乘法運(yùn)算：

（3）數(shù)乘運(yùn)算 (λ＞0)：

（6）方冪運(yùn)算(λ＞0)：

在語言模糊決策中，為了對(duì)決策信息進(jìn)行有效集結(jié)，文獻(xiàn)[14]基于EKM算法[15]提出了一種區(qū)間分析方法，將語言決策信息轉(zhuǎn)化為區(qū)間二型模糊數(shù)，得到不同語言標(biāo)度集的語言評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化值。例如，表1給出了一種含9個(gè)語言評(píng)價(jià)術(shù)語的標(biāo)度集及對(duì)應(yīng)的區(qū)間二型模糊數(shù)[13]。

表1 9個(gè)語言術(shù)語與區(qū)間二型模糊數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

2 新的區(qū)間二型模糊數(shù)的相似度的概念及其性質(zhì)

文獻(xiàn)[10]針對(duì)區(qū)間二型模糊數(shù)的上、下隸屬度函數(shù)，提出了上、下隸屬度比較的可能度的概念。

文獻(xiàn)[10]將上、下隸屬度函數(shù)的可能度進(jìn)行綜合來對(duì)區(qū)間二型模糊數(shù)比較大小，則稱：

q值越大，對(duì)應(yīng)的區(qū)間二型模糊數(shù)就越大。

顯然，利用定義6和性質(zhì)2可得區(qū)間二型模糊數(shù)?與的相似度滿足下列性質(zhì)：

顯然，利用定義7和性質(zhì)3可得區(qū)間二型模糊決策矩陣的相似度S(?，?)滿足下列性質(zhì)：

性質(zhì)4：設(shè)S?，?)為?與?的相似度，則：

3 基于區(qū)間二型模糊相似度的群決策專家和屬性權(quán)重確定的最優(yōu)化模型

考慮多屬性群決策問題，設(shè)有m個(gè)方案x1，x2，…，xm，n個(gè)屬性c1，c2，…，cn，K個(gè)決策者d1，d2，…，dK；決策者的權(quán)重向量為為 區(qū) 間二型模糊數(shù)，設(shè)?滿足部分權(quán)重信息的集合為H；決策者dk針對(duì)n個(gè)屬性對(duì)m個(gè)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到語言決策矩陣經(jīng)過表1轉(zhuǎn)化為區(qū)間二型模糊矩陣設(shè)專家矩陣經(jīng)過下式集成為綜合區(qū)間二型模糊矩陣

則基于區(qū)間二型模糊相似度的群決策專家權(quán)重確定模型可表示為：

模型(M-1)中，目標(biāo)函數(shù)可看成區(qū)間二型模糊相似度的平均值，約束條件的第一行為區(qū)間二型模糊數(shù)的上、下隸屬度函數(shù)需要滿足的坐標(biāo)條件，約束條件的第二行來自于文獻(xiàn)[17]，約束條件的第三行是為了保證下隸屬度函數(shù)始終位于上隸屬度函數(shù)的下方用直線的斜率表示的不等式組，約束條件的第四行為部分權(quán)重信息集合H，以及上下隸屬度函數(shù)的最大值的關(guān)系。

類似的，可以討論基于區(qū)間二型模糊相似度的屬性權(quán)重確定模型。

根據(jù)式（15）得到的綜合區(qū)間二型模糊矩陣，設(shè)屬性權(quán)重向量為為區(qū)間二型模糊數(shù)，同樣滿足部分權(quán)重信息。設(shè)綜合區(qū)間二型模糊決策矩陣經(jīng)過下式得到綜合方案屬性值：

則基于區(qū)間二型模糊相似度的屬性權(quán)重確定模型可表示為：

模型(M-2)和模型(M-1)相似，可直接求解得到屬性權(quán)重向量?。

4 基于新的區(qū)間二型模糊相似度的模糊多屬性群決策方法

基于新的區(qū)間二型模糊相似度的模糊多屬性群決策方法步驟如下：

第1步：決策者dk針對(duì)n個(gè)屬性對(duì)m個(gè)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到語言決策矩陣

第7步：利用式（10）和式（11）對(duì)?進(jìn)行排序，并選出最優(yōu)方案；

第8步：結(jié)束。

5 案例分析

考慮一個(gè)投資決策問題，某投資公司需要做一個(gè)企業(yè)項(xiàng)目投資，備選企業(yè)為：x1為汽車企業(yè)；x2為食品企業(yè)；x3為計(jì)算機(jī)企業(yè)；x4為軍工企業(yè)。該投資公司主要從下述三個(gè)方面來對(duì)備選企業(yè)進(jìn)行評(píng)估：c1為企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)分析；c2為企業(yè)發(fā)展分析；c3為企業(yè)的社會(huì)政治影響分析?，F(xiàn)有三個(gè)決策者，針對(duì)上述三個(gè)方面對(duì)四個(gè)備選企業(yè)利用下面的語言標(biāo)度集來進(jìn)行評(píng)估：

得到?jīng)Q策矩陣R(k)（k=1，2，3），如表2至表4所示。

表2 決策矩陣R(1)

表3 決策矩陣R(2)

表4 決策矩陣R(3)

基于新的區(qū)間二型模糊相似度的模糊多屬性群決策方法步驟計(jì)算后，結(jié)果顯示：

故有p2＞p4＞p1＞p3，即有x2?x4?x1?x3，因此食品企業(yè)為最佳投資企業(yè)。

與文獻(xiàn)[13]相比較而言，本文定義的區(qū)間二型模糊相似測(cè)度是基于上下隸屬度函數(shù)比較大小的可能度，而文獻(xiàn)[13]提出的相似測(cè)度則是基于普通的距離測(cè)度，另外，本文基于新的區(qū)間二型模糊相似測(cè)度構(gòu)建模型確定群決策專家權(quán)重和屬性權(quán)重，且權(quán)重均為區(qū)間二型模糊數(shù)，這樣更能體現(xiàn)出決策的合理性。

6 結(jié)束語

本文基于區(qū)間二型模糊數(shù)的可能度定義了一種新的區(qū)間二型模糊型相似測(cè)度，討論了其性質(zhì)，并基于該區(qū)間二型模糊相似測(cè)度構(gòu)建了群決策專家權(quán)重確定模型和屬性權(quán)重確定模型，且得到的專家權(quán)重和屬性權(quán)重均為區(qū)間二型模糊數(shù)，同時(shí)提出了一種基于新的區(qū)間二型模糊相似測(cè)度的模糊多屬性群決策方法，并通過投資選擇群決策驗(yàn)證該方法的合理性和有效性。