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        自相關過程的EWMA殘差控制圖的設計與性能評價

        2018-10-09 05:54:16尚云艷郭鵬江夏志明
        統(tǒng)計與決策 2018年17期
        關鍵詞:檢測能力模型

        尚云艷,郭鵬江,夏志明

        (1.西京學院a.理學院;b.科研處;2.西北大學 數(shù)學學院,西安 710123)

        0 引言

        統(tǒng)計過程控制(SPC)已在制造業(yè)得到了廣泛應用,相關研究已比較成熟,其目的是用來監(jiān)控生產(chǎn)過程,檢測異常波動,尋找并消除產(chǎn)生異常波動的原因??刂茍D是實施過程監(jiān)控的有效工具,它的使用基于一個重要的假設,即過程受控時產(chǎn)生的數(shù)據(jù)是獨立且服從正態(tài)分布的。但是實際數(shù)據(jù)通常表現(xiàn)出某種程度的自相關性[1],如宏觀經(jīng)濟、金融數(shù)據(jù)等均表現(xiàn)出不同程度的相關性。在違背獨立性假設的情況下,如果在原始數(shù)據(jù)上直接應用傳統(tǒng)控制圖,則會使得控制圖的誤報率增加。為更有效地監(jiān)控生產(chǎn)過程,眾多學者提出殘差控制圖,即先擬合自相關過程的時間序列模型,再利用擬合模型的殘差相互獨立且服從正態(tài)分布的特性,以傳統(tǒng)控制圖直接監(jiān)控殘差序列值。

        傳統(tǒng)控制圖對中小漂移檢測的靈敏性參差不齊,因此,為提高中小漂移的檢測效能,Roberts(1959)[2]提出了指數(shù)加權移動平均(EWMA)控制圖,EWMA控制圖的特點是利用了歷史數(shù)據(jù),且該控制圖可以對不同階段的數(shù)據(jù)取不同的權重,距今越近的數(shù)據(jù)權重越大,距今越遠的數(shù)據(jù)權重越小,它主要檢測統(tǒng)計過程控制中的微小波動。

        Zhang(1997)[3]定義了檢測能力指數(shù),將其應用于廣義平穩(wěn)隨機過程模型,通過蒙特卡洛模擬,與傳統(tǒng)控制圖相比較,在調(diào)整廣義平穩(wěn)隨機過程模型的參數(shù)條件下,殘差控制圖對中小漂移的檢測效能得到提升;張志雷(2012)[4]基于同樣的思想將信噪比指標應用于自相關控制圖,通過蒙特卡洛模擬,與傳統(tǒng)控制圖方法相比較,在調(diào)整ARMA模型參數(shù)的條件下,自相關控制圖對中小漂移的檢測效能同樣得到提升。

        目前還沒有把過程檢測能力指數(shù)思想與EWMA殘差控制圖方法相結合的研究,因此,本文在尚云艷等(2015)[5]的基礎上將檢測能力指數(shù)應用于基于二階自相關過程(AR(2))的EWMA殘差控制圖,根據(jù)EWMA殘差控制圖檢測能力的強弱,調(diào)整AR(2)模型的參數(shù),運用蒙特卡羅模擬方法將其與傳統(tǒng)殘差控制圖和自相關殘差控制圖進行比較分析其性能。

        1 建立模型

        由王振龍(2010)[6]可知 AR(2)模型:

        其中,Xt(X0=0)是零均值化的序列變量值(t=1,2,…),φ1,φ2是模型參數(shù),且滿足約束:φ1+φ2<1,

        是隨機誤差項。一般地,通常對模型做以下假設:

        假設2:自變量序列Xt只與Xt-1,Xt-2有關,與Xt-3,…,Xt-p(p>2)無關,也與隨機誤差項εt不相關,即Cov(εt,Xt-k)=0 ,k=1,2,…。并且,如果E(Xt)=0 ,則過程受控;若E(Xt)=δσε(當δ≠0時),則過程失控。

        2 構造EWMA統(tǒng)計量

        2.1 基于AR(2)模型的殘差

        將參數(shù)估計值φ1、φ2代入模型(1)計算殘差,即:

        且依據(jù)自相關過程可知:

        殘差序列的自協(xié)方差函數(shù)為(k=1,2,...):

        根據(jù)尚云艷等(2015)[5]假設均值隨時間變化,則自相關序列滿足:

        假設t=0和t=1時刻均值從0漂移δσx,則殘差序列:

        若假設過程均值不再發(fā)生變化,則殘差序列可以統(tǒng)一用式(4)表示:

        由上述分析可見,當過程均值發(fā)生漂移以后,第一個時刻殘差的均值為δσx,但是自相關過程很快作出反應,第二個時刻殘差的均值變?yōu)棣摩襵(1-φ1),第三個時刻殘差的均值變?yōu)棣摩襵(1-φ1-φ2)。當自相關參數(shù)φ1+φ2→1時,隨后的殘差與過程剛發(fā)生偏移時的殘差相比會變得非常小,而難于檢測出過程的偏移。由式(4)可知,當φ1+φ2為負或者為正且取值較小時,均值的變化對殘差的影響增強了,即在該條件下,殘差控制圖的靈敏度將有所提高。

        2.2 過程檢測能力指數(shù)

        Zhang(1997)[3]給出過程檢測能力指數(shù)的定義:

        f(t)是殘差控制圖在過程均值發(fā)生漂移δσε時(即t時刻)檢測能力大小的一種度量,f(t)的值只取決于參數(shù)φ1、φ2、ρ1、ρ2的大小,與均值漂移δσε大小無關。當f(t)>1時,殘差控制圖在t時刻的檢測能力指數(shù)比傳統(tǒng)控制圖在t時刻的檢測能力指數(shù)強,即表明殘差控制圖在t時刻的檢測能力增強;反之,當f(t)<1時,表明殘差控制圖在t時刻的檢測能力減弱。

        對AR(2)過程,當φ1+φ2或者φ2-φ1→1,1-φ1ρ1-φ2ρ2→0時,f(t)→∞,即AR(2)過程不平穩(wěn)時,f(t)的值將會變得比較大,表明該時刻檢測漂移的能力比較強;對AR(1)過程,當 |φ1|→1,φ2=0時,f(t)→∞ ,即AR(1)模型平穩(wěn)時,t時刻的過程檢測能力很強。

        特別地,當φ1=φ2=0時,有f(t)=1,表明{Xt}是一獨立的變量序列(反之亦成立),此時殘差控制圖和傳統(tǒng)均值控制圖的檢測能力相同。

        根據(jù)Zhang(1997)[3]定理1:對于平穩(wěn)過程AR(2):

        2.3 EWMA殘差統(tǒng)計量

        對式(3)采用指數(shù)加權移動平均法得到統(tǒng)計量Zt,t=0,1,2,…,即:

        若模型(1)開始時受控,則統(tǒng)計量Z0的期望為0,E(Z0)=δσx(δ=0);若模型(1)開始時失控,則統(tǒng)計量Z1的期望和方差分別是E(Z1)=δ(1-φ1)σx(δ≠0),E(Z2)=δ(1-根據(jù)式(5)可得,當t>1,...時,該過程的檢測能力指數(shù)f(t)=

        綜上所述,基于AR(2)模型的EWMA殘差控制圖控制線為:

        其中,k為控制線系數(shù)。

        3 控制圖性能比較與分析

        一般地,對于控制圖的比較,都是在相同條件下比較,即在受控平均運行長度相同的情況下,比較失控平均運行長度。如果平均運行長度越短,說明控制圖性能越好,越長則越說明該控制圖的性能越不好。

        運用Matlab軟件給出一個滿足模型(1)的AR(2)平穩(wěn)過程,通過給定不同參數(shù)值,作10000次模擬運算,獲得在不同漂移大小下各控制圖的ARL值,具體結果見表1。

        表1 不同參數(shù)φ1,φ2、δ下的控制圖的ARL對比

        當過程參數(shù)不同時,為便于比較,記φ1=1.5,φ2=-0.7為過程I,φ1=1.5,φ2=-0.95為過程II,根據(jù)式(2)過程I和過程II的一、二階自相關系數(shù)結果均大于0,過程I的參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22>0,有f(t)=0.5951<1;過程II的參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22<0,有f(t)=2.5554>1,即過程均值發(fā)生漂移時,過程I的檢測能力比過程II弱。從表1也可以看出,在過程均值發(fā)生0.5σε漂移時,過程I的自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的失控ARL分別是258.5369和224.7687,均大于過程II的34.5419和22.6026。同樣的,記φ1=-0.1,φ2=0.4為過程III,φ1=-0.5,φ2=0.4 為過程IV,過程III和過程IV的一階自相關系數(shù)均小于0,但是當過程均值發(fā)生漂移時,過程IV的失控ARL均小于過程III的失控ARL。可見當參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22<0,傳統(tǒng)殘差控制圖、自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的靈敏度均有所提高。

        當過程參數(shù)相同時,且參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22<0,自相關殘差控制圖與傳統(tǒng)殘差控制圖相比較:自相關殘差控制圖檢測性能好,比如當φ1=1.5,φ2=-0.95,δ=0.5時,自相關殘差控制圖的平均運行長度ARL=34.5419是傳統(tǒng)殘差控制圖ARL=157.8806五分之一;EWMA殘差控制圖與傳統(tǒng)殘差控制圖相比較:EWMA殘差控制圖檢測性能好,比如當φ1=1.5,φ2=-0.95,δ=0.5時,EWMA殘差控制圖的平均運行長度ARL=22.6026是傳統(tǒng)殘差控制圖ARL=157.8806的七分之一;自相關殘差控制圖與EWMA殘差控制圖相比較:當φ1=1.5,φ2=-0.95,δ=2.0 ,EWMA殘差控制圖的ARL=3.0517較自相關殘差控制圖的ARL=3.0732小,可見,雖然差距不是很明顯,但EWMA殘差控制圖可以提高對中小漂移的檢測效率。

        但是當φ1+φ2-φ22>0時,自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的檢測效率較傳統(tǒng)殘差控制圖逐漸變?nèi)?,即傳統(tǒng)殘差控制圖不受參數(shù)取值的影響,其表現(xiàn)結果都一致的好,而當φ1+φ2-φ22>0時,自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖檢測效率偏慢。

        在實際生產(chǎn)中,數(shù)據(jù)都是存在自相關性的,那么殘差必會受到相關系數(shù)的干擾。這時如果使用傳統(tǒng)殘差控制圖檢測時可能會產(chǎn)生更多的虛發(fā)警報,而自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖是考慮到相關系數(shù)對均值漂移值的影響進行的檢驗。根據(jù)表1,當φ1+φ2-φ22<0時,自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖,檢測效果一致的好;同時,無論φ1+φ2-φ22<0和φ1+φ2-φ22>0時,EWMA殘差控制圖都要比自相關殘差控制圖效果還要好。

        4 結束語

        本文通過自相關過程的EWMA殘差控制圖的設計與實驗模擬,證明了該控制圖提高了針對自相關過程發(fā)生中小漂移檢測的靈敏度;雖然之前在AR(1)上討論EWMA控制圖對中小漂移檢測效率很高,但是并沒有系統(tǒng)給出自相關過程的檢測漂移能力強弱的判斷方法。綜上所述,本文提出的方法應用到實踐,可以提高檢測效率帶來實際的經(jīng)濟效益,為了進一步提高檢測效率,還可以考慮基于似然比統(tǒng)計量的控制圖。

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