尚云艷，郭鵬江,夏志明

（1.西京學院a.理學院；b.科研處；2.西北大學 數(shù)學學院，西安 710123）

0 引言

統(tǒng)計過程控制（SPC）已在制造業(yè)得到了廣泛應用，相關研究已比較成熟，其目的是用來監(jiān)控生產(chǎn)過程，檢測異常波動，尋找并消除產(chǎn)生異常波動的原因?？刂茍D是實施過程監(jiān)控的有效工具，它的使用基于一個重要的假設，即過程受控時產(chǎn)生的數(shù)據(jù)是獨立且服從正態(tài)分布的。但是實際數(shù)據(jù)通常表現(xiàn)出某種程度的自相關性[1]，如宏觀經(jīng)濟、金融數(shù)據(jù)等均表現(xiàn)出不同程度的相關性。在違背獨立性假設的情況下，如果在原始數(shù)據(jù)上直接應用傳統(tǒng)控制圖，則會使得控制圖的誤報率增加。為更有效地監(jiān)控生產(chǎn)過程，眾多學者提出殘差控制圖，即先擬合自相關過程的時間序列模型，再利用擬合模型的殘差相互獨立且服從正態(tài)分布的特性，以傳統(tǒng)控制圖直接監(jiān)控殘差序列值。

傳統(tǒng)控制圖對中小漂移檢測的靈敏性參差不齊，因此，為提高中小漂移的檢測效能，Roberts（1959）[2]提出了指數(shù)加權移動平均（EWMA）控制圖，EWMA控制圖的特點是利用了歷史數(shù)據(jù)，且該控制圖可以對不同階段的數(shù)據(jù)取不同的權重，距今越近的數(shù)據(jù)權重越大，距今越遠的數(shù)據(jù)權重越小，它主要檢測統(tǒng)計過程控制中的微小波動。

Zhang（1997）[3]定義了檢測能力指數(shù)，將其應用于廣義平穩(wěn)隨機過程模型，通過蒙特卡洛模擬，與傳統(tǒng)控制圖相比較，在調(diào)整廣義平穩(wěn)隨機過程模型的參數(shù)條件下，殘差控制圖對中小漂移的檢測效能得到提升；張志雷（2012）[4]基于同樣的思想將信噪比指標應用于自相關控制圖，通過蒙特卡洛模擬，與傳統(tǒng)控制圖方法相比較，在調(diào)整ARMA模型參數(shù)的條件下，自相關控制圖對中小漂移的檢測效能同樣得到提升。

目前還沒有把過程檢測能力指數(shù)思想與EWMA殘差控制圖方法相結合的研究，因此，本文在尚云艷等（2015）[5]的基礎上將檢測能力指數(shù)應用于基于二階自相關過程(AR(2))的EWMA殘差控制圖，根據(jù)EWMA殘差控制圖檢測能力的強弱，調(diào)整AR(2)模型的參數(shù)，運用蒙特卡羅模擬方法將其與傳統(tǒng)殘差控制圖和自相關殘差控制圖進行比較分析其性能。

1 建立模型

由王振龍（2010）[6]可知 AR(2)模型：

其中，Xt(X0=0)是零均值化的序列變量值（t=1，2，…），φ1，φ2是模型參數(shù)，且滿足約束：φ1+φ2＜1，

是隨機誤差項。一般地，通常對模型做以下假設：

假設2：自變量序列Xt只與Xt-1，Xt-2有關，與Xt-3，…，Xt-p(p＞2)無關，也與隨機誤差項εt不相關，即Cov(εt，Xt-k)=0 ，k=1，2，…。并且，如果E(Xt)=0 ，則過程受控；若E(Xt)=δσε（當δ≠0時），則過程失控。

2 構造EWMA統(tǒng)計量

2.1 基于AR(2)模型的殘差

將參數(shù)估計值φ1、φ2代入模型（1）計算殘差，即：

且依據(jù)自相關過程可知：

殘差序列的自協(xié)方差函數(shù)為(k=1，2，...)：

根據(jù)尚云艷等（2015）[5]假設均值隨時間變化，則自相關序列滿足：

假設t=0和t=1時刻均值從0漂移δσx，則殘差序列：

若假設過程均值不再發(fā)生變化，則殘差序列可以統(tǒng)一用式（4）表示：

由上述分析可見，當過程均值發(fā)生漂移以后，第一個時刻殘差的均值為δσx，但是自相關過程很快作出反應，第二個時刻殘差的均值變?yōu)棣摩襵(1-φ1)，第三個時刻殘差的均值變?yōu)棣摩襵(1-φ1-φ2)。當自相關參數(shù)φ1+φ2→1時，隨后的殘差與過程剛發(fā)生偏移時的殘差相比會變得非常小，而難于檢測出過程的偏移。由式（4）可知，當φ1+φ2為負或者為正且取值較小時，均值的變化對殘差的影響增強了，即在該條件下，殘差控制圖的靈敏度將有所提高。

2.2 過程檢測能力指數(shù)

Zhang（1997）[3]給出過程檢測能力指數(shù)的定義：

f(t)是殘差控制圖在過程均值發(fā)生漂移δσε時（即t時刻）檢測能力大小的一種度量，f(t)的值只取決于參數(shù)φ1、φ2、ρ1、ρ2的大小，與均值漂移δσε大小無關。當f(t)＞1時，殘差控制圖在t時刻的檢測能力指數(shù)比傳統(tǒng)控制圖在t時刻的檢測能力指數(shù)強，即表明殘差控制圖在t時刻的檢測能力增強；反之，當f(t)＜1時，表明殘差控制圖在t時刻的檢測能力減弱。

對AR(2)過程，當φ1+φ2或者φ2-φ1→1，1-φ1ρ1-φ2ρ2→0時，f(t)→∞，即AR(2)過程不平穩(wěn)時，f(t)的值將會變得比較大，表明該時刻檢測漂移的能力比較強；對AR(1)過程，當 |φ1|→1，φ2=0時，f(t)→∞ ，即AR(1)模型平穩(wěn)時，t時刻的過程檢測能力很強。

特別地，當φ1=φ2=0時，有f(t)=1，表明{Xt}是一獨立的變量序列（反之亦成立），此時殘差控制圖和傳統(tǒng)均值控制圖的檢測能力相同。

根據(jù)Zhang（1997）[3]定理1：對于平穩(wěn)過程AR(2)：

2.3 EWMA殘差統(tǒng)計量

對式（3）采用指數(shù)加權移動平均法得到統(tǒng)計量Zt，t=0，1，2，…，即：

若模型（1）開始時受控，則統(tǒng)計量Z0的期望為0，E(Z0)=δσx(δ=0)；若模型（1）開始時失控，則統(tǒng)計量Z1的期望和方差分別是E(Z1)=δ(1-φ1)σx(δ≠0)，E(Z2)=δ(1-根據(jù)式（5）可得，當t＞1，...時，該過程的檢測能力指數(shù)f(t)=

綜上所述,基于AR(2)模型的EWMA殘差控制圖控制線為：

其中,k為控制線系數(shù)。

3 控制圖性能比較與分析

一般地，對于控制圖的比較，都是在相同條件下比較，即在受控平均運行長度相同的情況下，比較失控平均運行長度。如果平均運行長度越短，說明控制圖性能越好，越長則越說明該控制圖的性能越不好。

運用Matlab軟件給出一個滿足模型（1）的AR(2)平穩(wěn)過程，通過給定不同參數(shù)值，作10000次模擬運算，獲得在不同漂移大小下各控制圖的ARL值，具體結果見表1。

表1 不同參數(shù)φ1，φ2、δ下的控制圖的ARL對比

當過程參數(shù)不同時，為便于比較，記φ1=1.5，φ2=-0.7為過程I，φ1=1.5，φ2=-0.95為過程II，根據(jù)式（2）過程I和過程II的一、二階自相關系數(shù)結果均大于0，過程I的參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22＞0，有f(t)=0.5951＜1；過程II的參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22＜0，有f(t)=2.5554＞1，即過程均值發(fā)生漂移時，過程I的檢測能力比過程II弱。從表1也可以看出，在過程均值發(fā)生0.5σε漂移時，過程I的自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的失控ARL分別是258.5369和224.7687，均大于過程II的34.5419和22.6026。同樣的，記φ1=-0.1,φ2=0.4為過程III，φ1=-0.5，φ2=0.4 為過程IV，過程III和過程IV的一階自相關系數(shù)均小于0，但是當過程均值發(fā)生漂移時，過程IV的失控ARL均小于過程III的失控ARL。可見當參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22＜0，傳統(tǒng)殘差控制圖、自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的靈敏度均有所提高。

當過程參數(shù)相同時，且參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22＜0，自相關殘差控制圖與傳統(tǒng)殘差控制圖相比較：自相關殘差控制圖檢測性能好，比如當φ1=1.5，φ2=-0.95,δ=0.5時，自相關殘差控制圖的平均運行長度ARL=34.5419是傳統(tǒng)殘差控制圖ARL=157.8806五分之一；EWMA殘差控制圖與傳統(tǒng)殘差控制圖相比較：EWMA殘差控制圖檢測性能好，比如當φ1=1.5，φ2=-0.95,δ=0.5時，EWMA殘差控制圖的平均運行長度ARL=22.6026是傳統(tǒng)殘差控制圖ARL=157.8806的七分之一；自相關殘差控制圖與EWMA殘差控制圖相比較:當φ1=1.5，φ2=-0.95,δ=2.0 ，EWMA殘差控制圖的ARL=3.0517較自相關殘差控制圖的ARL=3.0732小，可見，雖然差距不是很明顯，但EWMA殘差控制圖可以提高對中小漂移的檢測效率。

但是當φ1+φ2-φ22＞0時，自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的檢測效率較傳統(tǒng)殘差控制圖逐漸變?nèi)?，即傳統(tǒng)殘差控制圖不受參數(shù)取值的影響，其表現(xiàn)結果都一致的好，而當φ1+φ2-φ22＞0時，自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖檢測效率偏慢。

在實際生產(chǎn)中，數(shù)據(jù)都是存在自相關性的，那么殘差必會受到相關系數(shù)的干擾。這時如果使用傳統(tǒng)殘差控制圖檢測時可能會產(chǎn)生更多的虛發(fā)警報，而自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖是考慮到相關系數(shù)對均值漂移值的影響進行的檢驗。根據(jù)表1，當φ1+φ2-φ22＜0時，自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖，檢測效果一致的好；同時，無論φ1+φ2-φ22＜0和φ1+φ2-φ22＞0時，EWMA殘差控制圖都要比自相關殘差控制圖效果還要好。

4 結束語

本文通過自相關過程的EWMA殘差控制圖的設計與實驗模擬,證明了該控制圖提高了針對自相關過程發(fā)生中小漂移檢測的靈敏度；雖然之前在AR(1)上討論EWMA控制圖對中小漂移檢測效率很高，但是并沒有系統(tǒng)給出自相關過程的檢測漂移能力強弱的判斷方法。綜上所述，本文提出的方法應用到實踐，可以提高檢測效率帶來實際的經(jīng)濟效益，為了進一步提高檢測效率，還可以考慮基于似然比統(tǒng)計量的控制圖。