侯元軍

【摘要】數(shù)學基礎所積累的思維方式運用到對空間格子的認識，回顧便可得知，思維發(fā)展之初已在數(shù)學學習的進程中遵循了“點”的聚集，由此形成的空間思維，不過是“點”的有序排列，只是結(jié)晶學學習在數(shù)學的基礎上更加強化空間意識。

【關鍵詞】點線面 空間格子 對稱軸 定向

結(jié)晶學具有的空間性、抽象性、邏輯性等特點，對其認識的一個簡單方法從數(shù)學知識入手，甚至可直接運用數(shù)學知識來支撐對晶體的認識或研究。

數(shù)學知識從自然數(shù)開始擴大到正整數(shù)，每個數(shù)字的表示可看作“點”的標記，1、2、3、4、5……，“加減乘除”四則運算實際上可以看作是對“點”混合認識。其后，是分數(shù)，在之前的基礎上上了一個臺階，“點”可以進一步切割劃分，甚至可以無休止地劃分下去，基于僅為運算這一單一目的，知識結(jié)構(gòu)仍停留在“點”的范圍內(nèi)?！包c”是混沌的，可看作任何方向都是同一的，也即無方向性或異向性。

升級到數(shù)軸學習，規(guī)定了方向性，以“零”為界線即有正有負之分，實則因一條數(shù)軸的具有方向性，由單一的“點”上升到了“點”與“點”的聯(lián)結(jié)而形成的“線”。線段是只有長短的標量，射線是既有長短又有方向的矢量，再到數(shù)軸有正有負方向且延伸，實際上建立起了一個方向性維度，思維也就由“點”延伸到“線”。然后，再需把兩條“線”聯(lián)系起來使之相互垂直，形成“線”與“線”之間由無數(shù)“點”來展布，構(gòu)成了平面直角坐標的二個維度，此二維度既可討論“線”也可討論“面”的問題，這是解析幾何學內(nèi)容。在此基礎上，由原點發(fā)出與前兩條相互垂直的第三條射線，可看作原先沿展的平面被拉伸拔高，建立了三維的一個可容納“體”的空間，此空間充滿了無數(shù)的“點”構(gòu)成的“線”或“面”，以及由“面”構(gòu)成的“體”。數(shù)學學習的進程可看作“點”的立體聚集，也可當作結(jié)晶學學習的起點。

自然界的礦物質(zhì)，絕大多數(shù)以結(jié)晶質(zhì)體形態(tài)出現(xiàn)。顧名思義，結(jié)晶就是礦物質(zhì)點（離子、原子、分子等）在三維空間有規(guī)律、重復排列，形成了具有封閉的幾何多面體外形的物體。正因為晶體的內(nèi)部質(zhì)點在三維空間成周期性重復排列，其內(nèi)部形成了晶體的格子構(gòu)造。學習過程中，為便于簡潔明了地認識晶體形象，把其中相同位置的質(zhì)點抽象出來，組成的等位點聯(lián)系起來即結(jié)晶學中所謂的空間格子，且“點”與“點”之間以不可或缺物質(zhì)健的聯(lián)結(jié)。其實，數(shù)學基礎上所積累的思維方式運用到對空間格子的認識，回顧便可得知，思維發(fā)展之初已在數(shù)學學習的進程中遵循了“點”的聚集，由此形成的空間思維，不過是“點”的有序排列，只是結(jié)晶學學習在數(shù)學的基礎上更加強化空間意識。

結(jié)點是空間格子相當?shù)狞c，在實際晶體中，結(jié)點的位置為同種質(zhì)點（離子、原子或分子）所占據(jù)，但結(jié)點本身并不代表任何質(zhì)點，它僅僅是一個幾何點。

結(jié)點在一條線上形成了行列，行列上相鄰兩個結(jié)點之間的距離構(gòu)成了結(jié)點間距，同一行列上結(jié)點間距都相等，且相互平行的行列其結(jié)點間距亦相等。

結(jié)點在平面上的分布構(gòu)成面網(wǎng)。面網(wǎng)中單位面積內(nèi)結(jié)點的密度即面網(wǎng)密度，在同一面網(wǎng)內(nèi)面網(wǎng)密度相等?？臻g格子中任意不在同一行列上的結(jié)點就可以連結(jié)形成一個面網(wǎng)。相互平行的面網(wǎng)，面網(wǎng)密度相等，而不平行的面網(wǎng)，面網(wǎng)密度一般不相等。相互平行且相鄰的兩個面網(wǎng)之間的垂直距離構(gòu)成面網(wǎng)間距。

由一個維度的結(jié)點，到行列由“點”組成了“線”，再到由“線”一行列組成的面網(wǎng)，再到由三個維度的面網(wǎng)組成了“體”，即結(jié)晶體。

結(jié)晶學中對結(jié)點組成的“體”進行了詳細剖析研究，僅由8個結(jié)點就可聯(lián)結(jié)形成單位平行六面體，空間格子的形狀，可由平行六面體來表示。其聯(lián)結(jié)方式出現(xiàn)各具特色的7種原始格子（立方格子、四方格子、斜方格子、單斜格子、三斜格子、六方格子、菱面格子）。又因為格子構(gòu)造中的面、體上還可能出現(xiàn)結(jié)點，也就多了幾種形式的面心、體心、底心等三類格子特征，統(tǒng)共組合成14種布拉維格子，這量化性地探討了結(jié)點所組成格子的形態(tài)問題。結(jié)點、棱、面網(wǎng)之間的有序規(guī)律，可用點之間的距離、棱之間的夾角來約束，作為晶胞參數(shù)的a。，b。，c。分別表示三條菱的絕對長度，也即結(jié)點到結(jié)點的距離。a、β、y分別表示三條菱之間的夾角。

晶體的雛形可看作是單位平行六面體，即晶胞。晶胞固有形態(tài)在三維空間的特征，引入晶胞參數(shù)量化標定格子形態(tài)，現(xiàn)代礦物學已經(jīng)可以借助精密儀器測試實際晶體的晶胞參數(shù)。

物質(zhì)結(jié)晶時首先形成晶胞，質(zhì)點按照自身結(jié)晶特點進行排列，其格子構(gòu)造也即形成。在理想狀態(tài)下，結(jié)晶體總是按照其固有特性長成封閉的幾何多面體，即晶體自限性的外形表現(xiàn)。晶體幾何特征是固有的，這取決于結(jié)晶體本身。即便生長環(huán)境不理想狀態(tài)下晶面有可能發(fā)育不完善，但其看似不完善的或有缺損現(xiàn)象的晶面同樣遵循面角恒等法則，究其緣由仍是質(zhì)點有序排列。

晶體內(nèi)、外部對稱這一特點而開展對稱性進行研究，可藉助一些假想的對稱軸、對稱面、對稱中心進行對稱操作，并且分析后得出不同的對稱型，

自然界中，對稱型相同卻長成形態(tài)各異的晶體不少，僅由對稱型分析尚不夠精準，無法從同一對稱型明確了解晶體具體特征。針對各個晶體的晶面出露狀況，還需解析分析。晶體形成各方位的自限表面，都可看作晶面總在一定的空間上占據(jù)一定的位置。但它們占據(jù)何方位置，如何在空間展布的，這便引出了對晶體定向的問題。對稱操作所建立起來的空間思維量化，即每個晶面在空間分布狀況分析必需建立三維坐標系。

晶體的定向，需選擇一定的對稱軸作為晶軸，晶軸選擇的原則較便捷地為晶面研究提供技術(shù)手段，事實上也是一種較為直觀簡單的分析方法。三維直角坐標軸與晶體對稱軸重合是最佳選擇方案，通過晶體中心建立起來的對稱軸當作坐標軸，既直觀又簡潔。而對于較低等級的單斜、三斜晶系，則需要選擇三條棱盡量接近垂直或晶面的法線作為定向所用的坐標軸。

晶面以結(jié)點間距的整數(shù)倍向外推移，總在三維空間自由展布。占據(jù)一定位置的晶面需要標定其特有的空間特征。一個晶面在三維坐標系中，與某一晶軸相交，產(chǎn)生對應截距，不相交就無截距。數(shù)學的無窮范圍內(nèi)，不相交可看作無限延伸而且截距系數(shù)無窮大，無窮大分之一則為零。在各晶軸上若有截距，說明與此軸相交，無截距說明與此軸不相交，晶面平行而過?？衫煤唵蔚慕鼐嘞禂?shù)倒數(shù)比表示（100）面，說明x軸上相截，與Y、Z軸截距為無窮大，亦即與Y、Z軸平行。特例對于三方晶系、六方晶系，在一個平面內(nèi)設立三軸，其夾角為120°，此三軸與一根豎直的軸垂直。

立體解析幾何需確定幾何面在空間的位置， 用坐標來標識。把晶體放入立體晶軸中，用晶面在空間位置上分別與x、y、z的截距系數(shù)來表示。通過晶面與晶軸的截距來確定每一晶面的坐標特征，這方法簡單、直觀，即米氏符號的應用，晶面在晶軸上的截距系數(shù)倒數(shù)比表示。

從點到面，從面到體，從體的對稱分析，再到晶面的定向分析，實際上是思維的一次次轉(zhuǎn)換躍升。由混沌的數(shù)字，到一維線性，到二維幾何面，到三維立體結(jié)構(gòu)，到各面幾何坐標確立，實際上也是思維的多重轉(zhuǎn)化，并且促進立體的空間思維建立。所謂透視，不過是晶體的各方面在空間展布關系的直觀認識，這種直觀看到的不僅是一個“面”，而是體中的方方面面。所謂洞見，透過表面看到“面”背后的、深入的特性。所謂領悟，通過對一個“面”的認識，而認識“面”在“體”中的關系、作用，達到認識“體”。結(jié)晶學的學習除了沿用前人的方法來認識晶體外，實際上也是操練、發(fā)展空間思維、抽象思維的最佳課程。