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        探究構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

        2018-09-26 15:12:32蔣錕
        贏未來 2018年10期
        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)

        蔣錕

        摘要:數(shù)學(xué)作為高中數(shù)學(xué)最重要的學(xué)科之一,是學(xué)生通往大學(xué)之路的敲門磚。構(gòu)造法是高中數(shù)學(xué)中常見的解題方法,對(duì)數(shù)學(xué)條件逐一求解,推導(dǎo)出問題的最后答案。本文從構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造方程、構(gòu)造不等式和構(gòu)造圖形幾個(gè)方面來探究構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);構(gòu)造法;解題應(yīng)用

        前言:

        隨著年齡的增長,數(shù)學(xué)課程難度的逐漸增加,學(xué)生面對(duì)繁重的數(shù)學(xué)課業(yè),高效解題是關(guān)鍵。通過構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用,將復(fù)雜的問題簡單化,抽象的問題形象化,讓學(xué)生在枯燥無味的學(xué)習(xí)中,能夠找到數(shù)學(xué)題目的突破點(diǎn),增加學(xué)生的解題信心,解題速度有效提高。

        一、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用的意義

        構(gòu)造法是指將數(shù)學(xué)題目中已知條件類比聯(lián)想,用圖形和函數(shù)構(gòu)造的方法,將每個(gè)小問題一一解決,從而解決較難的數(shù)學(xué)題。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)離開形少直觀,形離開數(shù)難入微”。這句話充分證明數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的重要性,古代的“曹沖稱象”利用物理質(zhì)量替換法將大象的質(zhì)量稱出來,這也是高中數(shù)學(xué)構(gòu)造法的思維模式,將“大象”比作數(shù)學(xué)題目,“石頭”比作利用構(gòu)造法解題,也就是說,想要解答數(shù)學(xué)題目,需要將題目用構(gòu)造法將難題變得簡單化,從而得到習(xí)題的答案[1]。

        運(yùn)用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)題目的優(yōu)點(diǎn)是:可以提高學(xué)生的創(chuàng)新能力;有些題目不需要構(gòu)造法也可以解題,但過程繁瑣,浪費(fèi)時(shí)間,用構(gòu)造法解決高中數(shù)學(xué)題目可以優(yōu)化解題途徑,可以在考試中節(jié)省時(shí)間,讓學(xué)生有更多的時(shí)間查漏補(bǔ)缺;利用題目中的已知條件找出隱含條件,使問題簡單化;因?yàn)樵谵D(zhuǎn)化過程中會(huì)出現(xiàn)函數(shù)、數(shù)列、方程、不等式、圖形等其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用,可以溫故知新,促進(jìn)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的吸收。

        有些出題者在編寫試卷時(shí),在題中故意放入學(xué)生易迷惑的問題,所以單看題目表面是無法抓住數(shù)學(xué)題目的真實(shí)意圖的,學(xué)會(huì)構(gòu)造法的高效運(yùn)用,在實(shí)際解題中有目標(biāo)的去解題,達(dá)到快速解題的效果。

        二、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

        (一)構(gòu)造函數(shù)

        函數(shù)和方程在數(shù)學(xué)中密不可分,是高中數(shù)學(xué)集體思路中重要組成部分。在高中數(shù)學(xué)中,利用構(gòu)造函數(shù),可以使問題簡單化。

        例1:已知x,y是正實(shí)數(shù),且滿足xy=x+y+3,求x+y的取值范圍

        解:因?yàn)閤,y是正實(shí)數(shù),且xy=x+y+3;所以x,y可作為一元二次方程a2-ma+m+3=0兩個(gè)根,其中x+y=m,xy=m+3

        根據(jù)題目中要求方程有兩個(gè)正解,需要滿足△=m2-4m-12≥0且m>0且m+3>0解得m≥6,即x+y≥6,所以x+y的取值范圍為[6,+∞]。

        (二)構(gòu)造數(shù)列

        高中數(shù)學(xué)中主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列,但在實(shí)際解題時(shí),不是直接給出等差數(shù)列和等比數(shù)列,需要用構(gòu)造法將已知題目轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列和等比數(shù)列。

        例2:已知數(shù)列{fx}滿足f1=1,fx+1=2fx+1,求an的值。

        解:因?yàn)閒x+1=2fx+1,所以fx+1+1=2(fx+1),f1+1=2,所以fx+1+1/fx+1=2。{fx+1}是一個(gè)以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:fx+1=2·2x-1=2x即fx =2x-1。

        例3:已知數(shù)列{ fx }的通項(xiàng)fx =x2,求此數(shù)列的前x項(xiàng)的和Sx。

        解:Sx=12+22+32+···+x2,構(gòu)造等式(x+1)5=x5+3x2+3x+1,作差(x+1)5-x5=3x2+3x+1可得x5-(x-1)5=3(x-1)2+3(x-1)+1···35-25=3·22+3·2+1,25-15=3·12+3·1+1上述算式相加可得:(x+1)5-15=3(12+22+32+···+x2)+3(1+2+···+x)+x,所以Sx =12+22+32+···+x2=x(x+1)(2x+1)/6

        (三)構(gòu)造方程

        方程的構(gòu)造是高中數(shù)學(xué)常見的構(gòu)造方法,學(xué)生對(duì)方程式比較熟悉,常見于函數(shù)中。通過對(duì)題目建立等量算式,將抽象的數(shù)學(xué)題目形象化,提高學(xué)生的解題速度,培養(yǎng)思維能力。

        例4:設(shè)a,b為實(shí)數(shù),若a2+b2+ab=1,求a+b的最大值。

        解:由韋達(dá)定理可知(a+b)2-ab=1,令a+b=t,則ab=t2-1。由韋達(dá)定理可知a,b為一元二次方程z2-tz+(t2-1)=0的兩個(gè)根且a,b為實(shí)數(shù),所以△=(-t)2-4×1×(t2-1)≥0,即t2≤4/3即-2 /3≤2 /3則a+b的最大值是2 /3。

        (四)構(gòu)造不等式

        特值函數(shù)的構(gòu)造是利用分散函數(shù)將條件集中成某個(gè)簡單函數(shù),逐漸向不等式方向靠攏。

        例5:已知函數(shù)f(x)是定義在S上的偶函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若f′(x)

        解:函數(shù)f(x)是定義在S上的偶函數(shù)且對(duì)稱軸x=2,即函數(shù)f(x)的周期為4,滿足f′(x)1。

        (五)構(gòu)造圖形

        通過構(gòu)造圖形來解答高中數(shù)學(xué),能夠更直觀的看清題目,使問題更簡單。

        例6:已知正三棱錐P-ABC,點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為 的球面上,若PA⊥PB⊥PC,求球心到截面ABC的距離。

        解:因?yàn)镻A⊥PB⊥PC,所以構(gòu)造正方形,該正方體內(nèi)接于球,正方體的體對(duì)角線是球的直徑,球心在正方體對(duì)角線的中點(diǎn)。球心到截面ABC的距離=球的半徑-正三棱錐P-ABC在ABC面上的高,由題已知球的半徑= ,所以正方體的棱長為2,可得出正三棱錐P-ABC在ABC面上的高=2 /3,所以球心到截面ABC的距離=

        結(jié)論:

        根據(jù)分析可知,高中數(shù)學(xué)解題方法離不開構(gòu)造法的應(yīng)用,構(gòu)造法可以運(yùn)用在上述幾個(gè)方面,這對(duì)學(xué)生掌握的知識(shí)量有更高的要求,需要學(xué)生掌握函數(shù)、數(shù)列、方程、不等式和圖形的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí),才可以熟練運(yùn)用構(gòu)造法。簡單有效的問題解決方法,可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高解題速率,讓學(xué)生養(yǎng)成良好的分析能力。

        參考文獻(xiàn):

        [1]李正臣.高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用構(gòu)造法之實(shí)踐[J].科學(xué)大眾(科學(xué)教育),2018,02:34.

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