戚愛玲 鞠學(xué)偉

摘要：本論文從洛必達(dá)法則的一個例題引入，通過推理猜想的方法順其自然地得到了泰勒中值定理。希望這種新的授課方法能夠解除學(xué)生對泰勒公式的疑惑和恐懼。

關(guān)鍵詞：多項式；余項；洛必達(dá)法則；中值定理

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）36-0203-02

泰勒公式作為高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的教學(xué)重點和難點，其教學(xué)方法一直吸引著廣大數(shù)學(xué)教學(xué)工作者進(jìn)行研究。而泰勒中值定理及泰勒公式的抽象深奧，確會讓大多數(shù)學(xué)生不知所云、莫名其妙，雖經(jīng)充分預(yù)習(xí)、認(rèn)真聽課，仍會感覺一頭霧水、疑問重重。難、不懂、不理解是學(xué)生學(xué)完泰勒公式的主要感覺，而作為傳道授業(yè)解惑的老師，總希望能改變這一現(xiàn)象，希望泰勒公式給學(xué)生留下最深刻的印象是好、有用、會用。因此，這節(jié)課的講授需要老師投入更多的精力去設(shè)計其教學(xué)方法和教學(xué)思路。

一般的教學(xué)過程都是以泰勒公式的證明、常見函數(shù)的泰勒公式為教學(xué)重點和難點。但是這樣的教學(xué)效果并不是很好，為此，我在教學(xué)過程中嘗試改變教學(xué)思路，將問題的提出和泰勒公式的引入作為教學(xué)的重點，從最自然、最易于接受的例題開始，引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)，具體教學(xué)設(shè)計如下，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了洛必達(dá)法則，并且利用洛必達(dá)法則，我們證明了這樣一個結(jié)論：

例：設(shè)函數(shù)f（x）在x=x 處存在二階導(dǎo)數(shù)，試證：

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） +o（x-x ） .

大家還記得吧？這是上節(jié)課的一個例題，等式右端是一個二次多項式加一個高階無窮小項。我們回顧一下它的證明。通過上節(jié)課的知識，我們只需要用一次洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)的定義就證明了這個結(jié)論。但是，我們并不是第一次用多項式來表示一般的函數(shù)了，在第二章學(xué)習(xí)微分的時候，我們知道，如果函數(shù)f（x）在x=x 處可微，則

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+o（x-x ）.

這說明如果函數(shù)f（x）在x 處有一階導(dǎo)數(shù)，則f（x）等于一個一次的多項式加x-x 的高階無窮??；如果函數(shù)f（x）在x 處有二階導(dǎo)數(shù)，則f（x）等于一個二次的多項式加（x-x ） 的高階無窮小；如果函數(shù)f（x）在x 處有三階導(dǎo)數(shù)呢，大家猜想，我們會得到什么結(jié)論？到了這里，學(xué)生會自然而然地想到：如果函數(shù)f（x）在x 處有三階導(dǎo)數(shù)，那么f（x）就等于一個三次的多項式加（x-x ） 的高階無窮小。這個結(jié)論敘述出來就是：如果函數(shù)f（x）在x=x 處存在三階導(dǎo)數(shù)，則

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） + （x-x ） +o（x-x ） .

只是這個三次的多項式三次項的系數(shù)分母是3！，除此之外，上式都在意料之中。而我們立馬對猜想得到的結(jié)論做一個嚴(yán)格證明。

證明：為了方便起見，我們把等式右端三次的多項式記為p （x），即

p （x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） + （x-x ）

對于結(jié)論的正確性我們只需要驗證

=0

而通過簡單的計算可知，

p （x ）=f（x ），p′ （x ）=f′（x ），p″ （x ）=f″（x ），p？蓯 （x ）=f？蓯（x ），

所以，用兩次洛必達(dá)法則，我們得到

= = ，

到了這里就不能再用洛必達(dá)法則求極限了，因為，我們只知道函數(shù)f（x）在x=x 處存在三階導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)f（x）在x 的鄰域內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，在x 的鄰域內(nèi)是否存在三階導(dǎo)數(shù)不知道，所以不再滿足洛必達(dá)法則的條件，但是對于上式極限，我們只需要對二階導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義就能得到

= - = f？蓯（x ）-p？蓯 （x ）=0這就證明了我們猜想的結(jié)論正確。

現(xiàn)在，我們再總結(jié)一下得到的結(jié)論：如果函數(shù)f（x）在x 處有一階導(dǎo)數(shù)，則f（x）等于一個一次的多項式加x-x 的高階無窮??；如果函數(shù)f（x）在x 處有二階導(dǎo)數(shù)，則f（x）等于一個二次的多項式加（x-x ） 的高階無窮??；如果函數(shù)f（x）在x 處有三階導(dǎo)數(shù)，則f（x）就等于一個三次的多項式加（x-x ） 的高階無窮小。好，按照這種規(guī)律，一般情況下，如果函數(shù)f（x）在x 處有n階導(dǎo)數(shù)呢？學(xué)生一定會毫不猶豫地齊聲回答：那么f（x）就等于一個n次的多項式加（x-x ） 的高階無窮小。這就是泰勒中值定理的第一個定理：

泰勒中值定理1：如果函數(shù)f（x）在x=x 處存在n階導(dǎo)數(shù)，則

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） +…+ （x-x ） +o（x-x ） .我們把高階無窮小項稱為余項，稱o（x-x ） 為佩亞諾型余項，表示f（x）和n次多項式的差，因此也稱為誤差項。當(dāng)x和x 靠得很近時，o（x-x ） 是非常小的一項，所以，我們可以用n次多項式近似表示f（x），但是這種近似表示的誤差只是（x-x ） 的高階無窮小，具體小到多少，我們不能量化，也就是說佩亞諾型余項只是一個定性的表示，不能量化，那我們能不能得到一個定量的誤差項呢？只要對函數(shù)f（x）的要求加強(qiáng)一點點，就得到了一個可以量化的誤差項，這就是泰勒中值定理的第二個定理：

泰勒中值定理2：如果函數(shù)f（x）在x 的鄰域內(nèi)存在n+1階導(dǎo)數(shù)，則

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） +…+ （x-x ） + （x-x ） ，其中ξ介于x和x 之間，我們把余項 （x-x ） 稱為拉格朗日型余項。

這樣我們就引入了泰勒公式，這是非常重要的一步，然后就可以按照平常教材的安排，進(jìn)一步介紹麥克勞林公式、常見函數(shù)的麥克勞林公式、泰勒公式的應(yīng)用、舉例等等。

總之，泰勒公式的教學(xué)目標(biāo)是要求學(xué)生理解泰勒公式并了解其應(yīng)用，然而，對于剛步入大學(xué)的學(xué)生而言，許多大學(xué)生并沒有轉(zhuǎn)變好角色，適應(yīng)大學(xué)的思維方式，他們對抽象深奧的泰勒公式及泰勒中值定理的學(xué)習(xí)變現(xiàn)出畏難情緒。學(xué)生在學(xué)完之后，并不能理解其意義所在，往往不知所云。用這種方式引入泰勒公式，學(xué)生對泰勒公式的理解及記憶非常清楚，再沒有難的感覺。在實際教學(xué)過程中，已經(jīng)用這種方式介紹了泰勒公式，反應(yīng)非常好。希望這種教學(xué)方法能夠推廣，以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果。

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