蔡惠春

摘 要：教學(xué)中教師應(yīng)充分挖掘資源，精心設(shè)計(jì)有效的探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積極猜想、推理、驗(yàn)證，運(yùn)用類比思想尋找各領(lǐng)域知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)變化的數(shù)學(xué)中不變的規(guī)律，讓學(xué)生在類比中體驗(yàn)、感受數(shù)學(xué)創(chuàng)新的樂(lè)趣。

關(guān)鍵詞：趣味數(shù)學(xué)；教學(xué)效果；提升；策略

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2018）21-0079-01

波利亞說(shuō)：“類比是一個(gè)偉大的引路人?！痹跀?shù)學(xué)這個(gè)思維的體操中，類比是重要的數(shù)學(xué)思想之一。本文結(jié)合趣味數(shù)學(xué)課程案例，解析如何在“趣味數(shù)學(xué)”中發(fā)展學(xué)生的類比思想。

一、遷移與類比

遷移是一種有效的數(shù)學(xué)思想，能幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。類比則是遷移的升華，是從已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，探究新問(wèn)題的一種思考方法，是科學(xué)研究的重要思維方式。案例：神奇的142857。觀察下列算式的特點(diǎn)，你能寫(xiě)出它們的得數(shù)嗎？142857×1、142857×2、142857×3、142857×4、142857×5、142857×6。

面對(duì)難題，學(xué)生均有“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)思想，他們從計(jì)算142857×1入手。在計(jì)算142857×2時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生利用“乘法算式的意義”，把兩個(gè)142857相加求和，還引導(dǎo)學(xué)生把已經(jīng)學(xué)過(guò)的三位數(shù)乘一位數(shù)的方法遷移到多位數(shù)乘一位數(shù)的思考上，進(jìn)而找到計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移。學(xué)生輕松算出 142857×3的積，再回過(guò)頭去仔細(xì)觀察以上三道算式，分析其特點(diǎn)，尋找其規(guī)律。學(xué)生發(fā)現(xiàn)“142857這六個(gè)數(shù)字在結(jié)果中循環(huán)出現(xiàn)”這個(gè)特點(diǎn)不難，但尋找規(guī)律形成的原因卻難度很大。于是，教師啟發(fā)學(xué)生先從“積的末位是幾”的角度思考，分析其原因，再運(yùn)用類比思想探究算式與算式之間，乘數(shù)與積之間的相似點(diǎn)，聯(lián)想出142857×4、142857×5、142857×6的積。這樣，學(xué)生利用舊知識(shí)遷移學(xué)習(xí)新知識(shí)，又不停地把新知識(shí)轉(zhuǎn)型為舊知識(shí)類比解決新問(wèn)題，在尋找規(guī)律中發(fā)展了類比思想。

二、猜想與類比

從數(shù)學(xué)發(fā)展的最初階段來(lái)看，重大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)往往來(lái)自一個(gè)偉大的猜想。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中除了常用的知識(shí)遷移型類比之外，還應(yīng)借助于已有的經(jīng)驗(yàn)和方法，綜合運(yùn)用猜想與類比展開(kāi)探究活動(dòng)，尋找兩個(gè)研究對(duì)象之間隱藏的深入聯(lián)系與知識(shí)規(guī)律。案例：從一個(gè)長(zhǎng)方形中，剪下一個(gè)最大的正方形，剩下的小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？剩下的小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與原來(lái)大長(zhǎng)方形的什么有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？生1：剩下的小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)可能與原來(lái)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)有關(guān)系。生2：剩下的小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)也有可能與原來(lái)大長(zhǎng)方形的寬或周長(zhǎng)有關(guān)系。師：有了這些猜想，又應(yīng)該怎樣去驗(yàn)證我們的猜想呢？生：我們可以長(zhǎng)方形卡紙為材料，測(cè)量出原來(lái)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，計(jì)算出周長(zhǎng)，再測(cè)量出剩下的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，計(jì)算出周長(zhǎng)。師：這個(gè)方法不錯(cuò)，建議同學(xué)們可以一一對(duì)應(yīng)地記錄每一次測(cè)量和計(jì)算的結(jié)果，便于我們進(jìn)一步探究它們之間會(huì)有怎樣的關(guān)系。（學(xué)生小組合作研究）最后，教師運(yùn)用課件直觀演示，把剩下的小長(zhǎng)方形相鄰的長(zhǎng)邊與寬邊拼在一起，形成一條線段，引導(dǎo)學(xué)生把形成后的線段與原來(lái)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)進(jìn)行對(duì)比。在親歷想一想、猜一猜、量一量、比一比、算一算的過(guò)程中，學(xué)生收獲了“猜測(cè)引領(lǐng)探究，操作驗(yàn)證猜想”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)觀察度量與化曲為直相結(jié)合、直觀感知與操作探究相結(jié)合、猜想驗(yàn)證與類比推理相結(jié)合，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：剩下的小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)剛好是原來(lái)大長(zhǎng)方形長(zhǎng)的兩倍。

三、類比與推理

培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，發(fā)展推理思想，不僅能養(yǎng)成學(xué)生合情推理的良好習(xí)慣，還能激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)習(xí)效率。案例：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)所得的和，與先把后兩個(gè)數(shù)相加，再加上第一個(gè)數(shù)所得的和是相等的，這是對(duì)加法結(jié)合律的語(yǔ)言描述。那么除了加法有結(jié)合律，其他的運(yùn)算也有結(jié)合律嗎？學(xué)生1借助加法結(jié)合律的模型，舉例探究乘法是否有結(jié)合律。當(dāng)?shù)谝淮闻e了三個(gè)一位數(shù)相乘的例子后，似乎感覺(jué)還不能說(shuō)明問(wèn)題，進(jìn)而又舉出了三個(gè)兩位數(shù)相乘的例子，最后還改變思考角度，把整數(shù)乘法的運(yùn)算定律類比到小數(shù)乘法中，通過(guò)多次舉例，增加了推理的可信程度，從而充分確定乘法有結(jié)合律。這種探究運(yùn)算律的方式，打破了以往僅僅是“運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算”的格局，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思考上有了一次質(zhì)的飛躍。學(xué)生不再停留在“懂了運(yùn)算律的道理，會(huì)用運(yùn)算律簡(jiǎn)算”的層面，而是在假設(shè)、類比、推理的過(guò)程中像數(shù)學(xué)家一樣深入地研究運(yùn)算律。教師也成功地把類比與推理的數(shù)學(xué)思想發(fā)展植根于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、質(zhì)疑問(wèn)題和分析問(wèn)題的全過(guò)程，進(jìn)一步拓寬了學(xué)生的思維渠道，讓學(xué)生體會(huì)到類比推理的快樂(lè)。

總之，教師要通過(guò)設(shè)計(jì)多樣的探究與實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生的遷移、猜想、類比、推理等多種數(shù)學(xué)思想得到縱深發(fā)展，在類比中感受推理的快樂(lè)，在推理中體會(huì)有趣的數(shù)學(xué)。

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