楊旅華

【摘 要】本文以例講解運(yùn)用換元法、分類(lèi)討論法、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想以及賦值法解答高中數(shù)學(xué)恒成立問(wèn)題的策略，幫助學(xué)生深入探索，掌握正確的解題方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 恒成立問(wèn)題 解題策略

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）05B-0147-02

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的恒成立問(wèn)題涉及的知識(shí)范圍比較廣泛，具有綜合性的特點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的難點(diǎn)。恒成立問(wèn)題在解決的過(guò)程中，和不等式、數(shù)列以及函數(shù)等知識(shí)內(nèi)容交叉，成為高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容。但是其解決方式比較靈活，沒(méi)有固定的方式，學(xué)生在解答的過(guò)程中，常常無(wú)從下手，難以找到問(wèn)題解決的關(guān)鍵點(diǎn)。在對(duì)恒成立問(wèn)題進(jìn)行解答的過(guò)程中，能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。

一、借助換元法，有效解決不等式恒成立問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題解答的過(guò)程中，需要借助辯證的方法，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化和遷移，將未知內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以便有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。換元法是數(shù)學(xué)中常用的一種解題方法，它主要有兩種方式，引入另一個(gè)參數(shù)來(lái)代替未知數(shù)和使用常數(shù)或者表示常數(shù)的字母代替未知數(shù)。在含有兩個(gè)變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣性地把 x 作為主元，把另外一個(gè)變量 a 當(dāng)作參數(shù)。當(dāng)遇到一些比較繁瑣的解答過(guò)程時(shí)，如果把已知取值范圍的變量作為主元，把求解取值范圍的變量當(dāng)作參數(shù)，那么就能夠有效簡(jiǎn)化解題過(guò)程。例如：

二、合理利用分類(lèi)討論，解決二次函數(shù)恒成立問(wèn)題

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，二次函數(shù)又分成一元二次函數(shù)和二元二次函數(shù)兩種。二次函數(shù)有關(guān)恒成立的問(wèn)題，主要和一元二次函數(shù)進(jìn)行結(jié)合。一元二次方程、不等式以及二次函數(shù)之間又有密切的關(guān)系，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)其進(jìn)行利用，進(jìn)行分類(lèi)討論。在二次函數(shù)中，由于 x 值的范圍不同，其增減性不同。二次函數(shù)又會(huì)涉及頂點(diǎn)、最值等問(wèn)題，因此，在對(duì)二次函數(shù)恒成立的問(wèn)題進(jìn)行解答時(shí)，需要考慮函數(shù)性質(zhì)、圖象特點(diǎn)，并進(jìn)行分類(lèi)討論，才能準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。例如：

在對(duì)二次函數(shù)恒成立問(wèn)題進(jìn)行解答時(shí)，有時(shí)需要根據(jù)題目進(jìn)行相應(yīng)變換，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象等進(jìn)行全面討論，才能得出完整的答案。

三、借助數(shù)形結(jié)合，促使問(wèn)題得到直觀解答

在高中數(shù)學(xué)中，有關(guān)函數(shù)恒成立的問(wèn)題較多，在高考中通常以選擇和填空類(lèi)型的題目出現(xiàn)。函數(shù)又跟圖象緊密聯(lián)系，綜合性比較強(qiáng)，要想準(zhǔn)確地理解函數(shù)常常需要進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。特別是綜合性比較強(qiáng)的題目，比如，二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題，很難單純地利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)進(jìn)行直接解答，而且解答過(guò)程比較復(fù)雜，因此，需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解答。例如：

針對(duì)此種類(lèi)型的恒成立問(wèn)題，可以對(duì)其圖象進(jìn)行繪制以促進(jìn)問(wèn)題的解答。特別是在選擇題和填空題解答的過(guò)程中，借助數(shù)形結(jié)合，能夠使得結(jié)果一目了然，提高解題的效率。

四、合理利用歸化思想，促進(jìn)恒成立問(wèn)題的解決

高中數(shù)學(xué)中的化歸思想不僅是重要的思想，而且也是數(shù)學(xué)解題中的重要方法，它能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，因此它在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中得到普遍應(yīng)用。比如，高中數(shù)學(xué)中的不等式的恒成立問(wèn)題，在解答中有時(shí)需要對(duì)不等式的參數(shù)、變量等進(jìn)行分離，分別對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的求解。一般來(lái)說(shuō)，利用分離方法將恒成立問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題的求解，也就是說(shuō)，對(duì)解題思路和方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。例如：

在進(jìn)行解答的過(guò)程中，令 x=y，求出 ，得常數(shù) 。之后對(duì)不等式的前半部分進(jìn)行證明，得出不等式成立。之后對(duì)不等式的后半部分進(jìn)行證明得出不等式成立。通過(guò)這樣的方式得出相應(yīng)的結(jié)論，存在實(shí)數(shù) C 使得不等式恒成立。

對(duì)于高中數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題來(lái)說(shuō)，其內(nèi)容覆蓋很多數(shù)學(xué)內(nèi)容，并且具有綜合性的特點(diǎn)。因此，對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，靠單一的解題思路和方式很難進(jìn)行有效解答，需要學(xué)生掌握多種解題思路和方式。學(xué)生要掌握和熟練運(yùn)用換元法、分類(lèi)討論法、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想以及賦值法等，以便更加有效地解決問(wèn)題。

【參考文獻(xiàn)】

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