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        新課程背景下“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度的比較研究
        ——以人教版與北師大版教科書為例

        2018-08-31 03:27:06西藏自治區(qū)拉薩北京實(shí)驗(yàn)中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年16期
        關(guān)鍵詞:圖形與幾何教科書復(fù)雜度

        ☉西藏自治區(qū)拉薩北京實(shí)驗(yàn)中學(xué) 謝 穎

        教科書既是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生接受能力編寫的教學(xué)材料,也是教師授課與學(xué)生學(xué)習(xí)的重要載體.而例題是教材的重要組成部分,既要介紹數(shù)學(xué)的事實(shí)、概念和程序等,還要示范數(shù)學(xué)的事實(shí)、概念和程序等的運(yùn)用,因此對(duì)教材中的例題進(jìn)行研究是教材研究的一個(gè)重要方面.基于此,以我國現(xiàn)行使用最為廣泛的人教版與北師大版兩個(gè)版本的教科書為例,通過對(duì)兩個(gè)版本教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題在例題的要求、例題與內(nèi)容的切合度、例題復(fù)雜度三個(gè)方面進(jìn)行比較研究,希望能為一線數(shù)學(xué)教師習(xí)題處理提供一些啟示.

        一、研究設(shè)計(jì)

        本研究應(yīng)用“中小學(xué)理科教材國際比較研究”課題組研究出的公式分別對(duì)人教版和北師大版兩版本教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度進(jìn)行計(jì)算,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行比較.模型公式即:W=0.40W1+0.30W2+0.30W3,其中W表示例題難度,W1表示例題的要求、W2表示例題與內(nèi)容的切合度、W3表示例題復(fù)雜度,為了合理地進(jìn)行比較,對(duì)W1、W2、W3進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理(將其轉(zhuǎn)化為無量綱的相對(duì)量),即:,其中1、2和3為內(nèi)容認(rèn)知要求的量化值,ni(i=1,2,3)分別表示各量化值對(duì)應(yīng)之賦值標(biāo)準(zhǔn)所確定的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù).W2、W3也進(jìn)行類似的處理.

        二、研究結(jié)果與分析

        本研究通過對(duì)兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)人教版82題,北師大版84題.

        1.例題要求的比較

        初中數(shù)學(xué)教科書中的例題既要介紹數(shù)學(xué)的事實(shí)、概念和程序等,還要示范數(shù)學(xué)的事實(shí)、概念和程序等的運(yùn)用.同時(shí),例題的要求更多關(guān)的是通過問題解決來教學(xué),結(jié)合例題特有的功能,將例題要求劃分為記憶、程序性理解和做數(shù)學(xué)3個(gè)層次,如表1所示.

        表1 例題要求的賦值標(biāo)準(zhǔn)界定表

        基于此,統(tǒng)計(jì)出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求的數(shù)量,如表2所示.

        經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域在例題要求上的差異較大.為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求(W1)的分布情況,特繪制柱狀圖如圖1.

        圖1 兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求分布柱狀圖

        根據(jù)以上數(shù)據(jù),通過對(duì)比可知:人教版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在記憶、程序性理解、做數(shù)學(xué)三個(gè)例題要求上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為11、55、16,各自占的百分比分別為13.42%、67.07%、19.51%;而北師大版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在記憶、程序性理解、做數(shù)學(xué)三個(gè)例題要求上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為6、60、18,各自占的百分比分別為7.14%、71.43%、21.43%.在“程序性理解”和“做數(shù)學(xué)”水平上北師大版比人教版分別高4.36和1.92個(gè)百分點(diǎn),而在“記憶”水平上人教版卻比北師大版高出6.28個(gè)百分點(diǎn).

        兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求差異不大.因?yàn)槔}具有示范性,所以70%左右的例題是“程序性理解”水平例題,而“做數(shù)學(xué)”水平例題大多來源于作圖例題,兩版教科書都比較注重知識(shí)的概念性理解、公式掌握以及操作性步驟等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的培養(yǎng).但值得一提的是北師大版教科書的探究性問題并不是常規(guī)普通的應(yīng)用題和選擇策略性問題,不是為了探究而探究,而是真正要學(xué)生去探索、研究、發(fā)現(xiàn)地做數(shù)學(xué)問題,雖然教科書中探究題的比例不多,但有很多有新意的數(shù)學(xué)探究題.

        2.例題與內(nèi)容切合度的比較

        例題與內(nèi)容切合度(W2)主要指例題中形成、介紹和運(yùn)用的事實(shí)、概念與程序與所學(xué)內(nèi)容及其要求的一致程度.教科書例題設(shè)計(jì)時(shí),通常是將某內(nèi)容及其要求分解成更小的知識(shí)技能要點(diǎn),按知識(shí)邏輯及知識(shí)習(xí)得過程分步或分類加以“小步快進(jìn)”式地編排.因此,在內(nèi)容及其要求相同的情況下,例題配備的數(shù)量往往影響著例題難度,體現(xiàn)著例題與內(nèi)容切合程度.因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)配備的例題數(shù)與例題內(nèi)容切合度有著較高的相關(guān)性,結(jié)合兩版初中數(shù)學(xué)教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域所配例題的實(shí)際情況,依例題與內(nèi)容切合度對(duì)例題難度的影響,用例題與所配知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)將其賦值,賦值標(biāo)準(zhǔn)界定如表3所示.

        表3 例題與內(nèi)容切合度的賦值標(biāo)準(zhǔn)界定表

        基于此,統(tǒng)計(jì)出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的例題與內(nèi)容切合度的數(shù)量,如表4所示.

        表4 例題與內(nèi)容切合度的數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

        經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域在例題與內(nèi)容切合度上的差異較大.為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的例題要求(W2)的分布情況,特繪制柱狀圖如圖2.

        元代讓人最為印象深刻的便是青花瓷,青花紋飾的表現(xiàn)形式各異,紋飾內(nèi)容多樣,成品圖案豐滿。從畫面圖案中的筆法,構(gòu)圖,神韻,都極具國畫的特點(diǎn)。

        圖2 兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題與內(nèi)容切合度分布柱狀圖

        根據(jù)以上數(shù)據(jù),通過對(duì)比可知:人教版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個(gè)切合度上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為32、42、8,各自占的百分比分別為39.02%、51.22%、9.76%;而北師大版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個(gè)切合度上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為25、55、4,各自占的百分比分別為29.76%、65.48%、4.76%.在“低切合度”和“高切合度”水平上人教版比北師大版分別高9.26和5.00個(gè)百分點(diǎn),而在“中切合度”水平上北師大版卻比人教版高出14.26個(gè)百分點(diǎn).

        兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題與內(nèi)容的切合度差異略大.90%以上的例題屬于低、中切合度,每個(gè)例題都含有重要的知識(shí)點(diǎn),教科書中的例題選擇注重知識(shí)的連貫性和綜合性,同時(shí)又以低、中切合度為主,高切合度交叉相配合的編排方式,充分反映了我國教科書中例題的選擇和編排層次的合理性.

        3.例題復(fù)雜度的比較

        例題的復(fù)雜度(W3)是指例題本身的程序復(fù)雜性,通常以用通性通法來解決問題時(shí)的步驟數(shù)來衡量.因此,本研究采用運(yùn)算與推理步驟,解題方法個(gè)數(shù)來作為衡量問題復(fù)雜性的重要指標(biāo).鑒于初中數(shù)學(xué)教科書中的例題基本上是簡單的符號(hào)運(yùn)算、推理,例題設(shè)問、解法通常較簡單,且例題編碼時(shí)按題目單位計(jì)量,將例題復(fù)雜度賦值標(biāo)準(zhǔn)界定如表5所示.

        表5 例題復(fù)雜度的賦值標(biāo)準(zhǔn)界定表

        基于此,統(tǒng)計(jì)出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的例題復(fù)雜度的數(shù)量,如表6所示.

        表6 例題復(fù)雜度的數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

        經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域在例題復(fù)雜度上的差異較大.為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題復(fù)雜度(W3)的分布情況,特繪制柱狀圖如圖3.

        圖3 兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題復(fù)雜度分布柱狀圖

        根據(jù)以上數(shù)據(jù),通過對(duì)比可知:人教版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個(gè)復(fù)雜度上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為31、39、12,各自占的百分比分別為37.81%、47.56%、14.63%;而北師大版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個(gè)復(fù)雜度上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為22、40、22,各自占的百分比分別為26.19%、47.62%、26.19%.在“中復(fù)雜度”和“高復(fù)雜度”水平上北師大版比人教版分別高0.06和1.56個(gè)百分點(diǎn),而在“低復(fù)雜度”水平上人教版卻比北師大版高出11.62個(gè)百分點(diǎn).

        兩個(gè)版本教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題在例題復(fù)雜度上各部分所占的比例差別略大.兩版本教科書中的例題的復(fù)雜度處于低、中級(jí)較多,大概占總量的80%左右,高復(fù)雜度的例題因?yàn)楹卸喾N運(yùn)算和步驟,因此主要處在“相似”“銳角三角形”“圓”等這些章節(jié)中,涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較綜合.北師大版教科書比人教版教科書中的例題更加體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)的綜合性.

        三、研究結(jié)果與建議

        1.兩版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度比較研究結(jié)論

        通過三個(gè)影響因素對(duì)兩個(gè)版本教材中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度的統(tǒng)計(jì),所得結(jié)果如表7所示.

        綜上所述,根據(jù)公式W=0.40W1+0.30W2+0.30W3,結(jié)合以上數(shù)據(jù)分別求得兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度量化值為:

        從總量化上看,北師大版教科書較難,人教版教科書較易.事實(shí)上,依據(jù)前述例題難度確立的原則和標(biāo)準(zhǔn),就例題要求而言,人教版教科書中有11個(gè)例題,北師大版教科書中有6個(gè)例題是直接展示事實(shí)、概念和程序,要求學(xué)生準(zhǔn)確記憶,其余大多數(shù)都以程序性理解型例題為主,注重知識(shí)概念、公式的理解與應(yīng)用,操作步驟的示范性等;就例題與內(nèi)容切合度而言,兩版教科書均以低、中切合度為主,高切合度相配合的原則,注重例題內(nèi)容的選擇與例題的編排方式;就例題復(fù)雜度而言,兩版本教科書中的例題復(fù)雜度處于低、中級(jí)較多,大概占總量的80%左右,只需少量的計(jì)算和運(yùn)算的推理步驟,解決方法基本沒有其他選擇;北師大版對(duì)例題復(fù)雜度要求較高,有22個(gè)例題屬于高復(fù)雜度水平例題,要求有三步或三步以上的運(yùn)算與推理,或存有兩種解決通法.

        表7 兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度因素量化值表

        為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求(N)的分布情況,特繪制分析圖如圖4.

        圖4 兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度三角形分析圖

        例題是一個(gè)經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用知識(shí)的過程,它的設(shè)置有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué).兩版教材例題示范性強(qiáng),形式多樣化,通過問題情境建立模型,解釋、應(yīng)用與拓展,通過對(duì)一個(gè)個(gè)問題的研討,逐步展開相應(yīng)知識(shí)的學(xué)習(xí),這樣不僅有助于學(xué)生經(jīng)歷真正的“做數(shù)學(xué)”的過程,還能在此過程中逐步發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等.

        人教版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域共有例題82個(gè),北師大版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域共有例題84個(gè).就例題要求而言,人教版教科書例題要求系數(shù)為0.6870,北師大版教科書例題要求系數(shù)0.7143,其中人教版教科書中有11個(gè)例題,北師大版教科書中有6個(gè)例題是直接展示事實(shí)、概念和程序,要求學(xué)生準(zhǔn)確記憶,其余大多數(shù)都以程序性理解型例題為主,注重知識(shí)概念、公式的理解與應(yīng)用,操作步驟的示范性等;就例題與內(nèi)容切合度而言,人教版教科書例題與內(nèi)容切合度指數(shù)為0.5691,北師大版教科書例題與內(nèi)容切合度指數(shù)為0.5833,兩版教科書均以低、中切合度為主,高切合度相配合的原則,注重例題內(nèi)容的選擇與例題的編排方式;就例題復(fù)雜度而言,人教版教科書例題的復(fù)雜度系數(shù)為0.5894,北師大版教科書例題的復(fù)雜度系數(shù)為0.6666,兩版本教科書中的例題復(fù)雜度處于低、中級(jí)較多,大概占總量的80%左右,只需少量的計(jì)算和運(yùn)算的推理步驟,解決方法基本沒有其他選擇;北師大版對(duì)例題復(fù)雜度要求較高,有22個(gè)例題屬于高復(fù)雜度水平例題,要求有三步或三步以上的運(yùn)算與推理,或存有兩種解決通法.

        人教版教材的例題示范性作用強(qiáng),注重知識(shí)內(nèi)容的前后聯(lián)系,重視知識(shí)內(nèi)容的發(fā)生與發(fā)展過程,注重知識(shí)的演繹推理過程;典型性突出,例題與知識(shí)內(nèi)容更加貼近.而北師大版教材的例題的種類形式多種多樣,結(jié)合熟悉的、有趣的生活背景,在觀察、想象、分析和推理等活動(dòng)中,以圖象表征的呈現(xiàn)方式傳遞給學(xué)生,幫助學(xué)生正確理解知識(shí)概念,逐步積累研究圖形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識(shí),發(fā)展空間觀念.

        2.教科書使用建議

        基于例題特征,引導(dǎo)學(xué)生變式探究.在教學(xué)中,要針對(duì)典型的數(shù)學(xué)試題引導(dǎo)學(xué)生從多角度探索問題,這樣既能得到不同的解題方法,還能使學(xué)生通過變式獲得新的數(shù)學(xué)結(jié)論.通過有指導(dǎo)性的再創(chuàng)造活動(dòng),讓學(xué)生體驗(yàn)到探索過程中的快樂,數(shù)學(xué)結(jié)論的美妙與和諧,從而培養(yǎng)理性思維與創(chuàng)新意識(shí),發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量,實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”的教育目的.

        教科書是課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的載體,是教育教學(xué)活動(dòng)中的一個(gè)“跳板”,而非“圣經(jīng)”,只有全面了解教科書的編寫內(nèi)容,領(lǐng)悟教科書的編寫特點(diǎn),發(fā)展教科書中蘊(yùn)含的教學(xué)資源,靈活地、創(chuàng)造性的使用教科書,讓教科書為教學(xué)服務(wù),為學(xué)生的發(fā)展服務(wù),才能使教科書真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)的好資源,成為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的動(dòng)力之源.

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