☉西藏自治區(qū)拉薩北京實驗中學 謝 穎

教科書既是依據(jù)課程標準和學生接受能力編寫的教學材料，也是教師授課與學生學習的重要載體.而例題是教材的重要組成部分，既要介紹數(shù)學的事實、概念和程序等，還要示范數(shù)學的事實、概念和程序等的運用，因此對教材中的例題進行研究是教材研究的一個重要方面.基于此，以我國現(xiàn)行使用最為廣泛的人教版與北師大版兩個版本的教科書為例，通過對兩個版本教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題在例題的要求、例題與內(nèi)容的切合度、例題復雜度三個方面進行比較研究，希望能為一線數(shù)學教師習題處理提供一些啟示.

一、研究設(shè)計

本研究應(yīng)用“中小學理科教材國際比較研究”課題組研究出的公式分別對人教版和北師大版兩版本教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度進行計算，在此基礎(chǔ)上進行比較.模型公式即：W=0.40W1+0.30W2+0.30W3，其中W表示例題難度，W1表示例題的要求、W2表示例題與內(nèi)容的切合度、W3表示例題復雜度，為了合理地進行比較，對W1、W2、W3進行了標準化處理（將其轉(zhuǎn)化為無量綱的相對量），即：，其中1、2和3為內(nèi)容認知要求的量化值，ni（i=1，2，3）分別表示各量化值對應(yīng)之賦值標準所確定的知識點個數(shù).W2、W3也進行類似的處理.

二、研究結(jié)果與分析

本研究通過對兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題數(shù)量進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)人教版82題，北師大版84題.

1.例題要求的比較

初中數(shù)學教科書中的例題既要介紹數(shù)學的事實、概念和程序等，還要示范數(shù)學的事實、概念和程序等的運用.同時，例題的要求更多關(guān)的是通過問題解決來教學，結(jié)合例題特有的功能，將例題要求劃分為記憶、程序性理解和做數(shù)學3個層次，如表1所示.

表1 例題要求的賦值標準界定表

基于此，統(tǒng)計出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求的數(shù)量，如表2所示.

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域在例題要求上的差異較大.為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求（W1）的分布情況，特繪制柱狀圖如圖1.

圖1 兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求分布柱狀圖

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過對比可知：人教版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在記憶、程序性理解、做數(shù)學三個例題要求上的知識點個數(shù)分別為11、55、16，各自占的百分比分別為13.42%、67.07%、19.51%；而北師大版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在記憶、程序性理解、做數(shù)學三個例題要求上的知識點個數(shù)分別為6、60、18，各自占的百分比分別為7.14%、71.43%、21.43%.在“程序性理解”和“做數(shù)學”水平上北師大版比人教版分別高4.36和1.92個百分點，而在“記憶”水平上人教版卻比北師大版高出6.28個百分點.

兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求差異不大.因為例題具有示范性，所以70%左右的例題是“程序性理解”水平例題，而“做數(shù)學”水平例題大多來源于作圖例題，兩版教科書都比較注重知識的概念性理解、公式掌握以及操作性步驟等數(shù)學基礎(chǔ)的培養(yǎng).但值得一提的是北師大版教科書的探究性問題并不是常規(guī)普通的應(yīng)用題和選擇策略性問題，不是為了探究而探究，而是真正要學生去探索、研究、發(fā)現(xiàn)地做數(shù)學問題，雖然教科書中探究題的比例不多，但有很多有新意的數(shù)學探究題.

2.例題與內(nèi)容切合度的比較

例題與內(nèi)容切合度（W2）主要指例題中形成、介紹和運用的事實、概念與程序與所學內(nèi)容及其要求的一致程度.教科書例題設(shè)計時，通常是將某內(nèi)容及其要求分解成更小的知識技能要點，按知識邏輯及知識習得過程分步或分類加以“小步快進”式地編排.因此，在內(nèi)容及其要求相同的情況下，例題配備的數(shù)量往往影響著例題難度，體現(xiàn)著例題與內(nèi)容切合程度.因為知識點配備的例題數(shù)與例題內(nèi)容切合度有著較高的相關(guān)性，結(jié)合兩版初中數(shù)學教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域所配例題的實際情況，依例題與內(nèi)容切合度對例題難度的影響，用例題與所配知識點個數(shù)將其賦值，賦值標準界定如表3所示.

表3 例題與內(nèi)容切合度的賦值標準界定表

基于此，統(tǒng)計出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的例題與內(nèi)容切合度的數(shù)量，如表4所示.

表4 例題與內(nèi)容切合度的數(shù)量統(tǒng)計表

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域在例題與內(nèi)容切合度上的差異較大.為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的例題要求（W2）的分布情況，特繪制柱狀圖如圖2.

元代讓人最為印象深刻的便是青花瓷，青花紋飾的表現(xiàn)形式各異，紋飾內(nèi)容多樣，成品圖案豐滿。從畫面圖案中的筆法，構(gòu)圖，神韻，都極具國畫的特點。

圖2 兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題與內(nèi)容切合度分布柱狀圖

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過對比可知：人教版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個切合度上的知識點個數(shù)分別為32、42、8，各自占的百分比分別為39.02%、51.22%、9.76%；而北師大版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個切合度上的知識點個數(shù)分別為25、55、4，各自占的百分比分別為29.76%、65.48%、4.76%.在“低切合度”和“高切合度”水平上人教版比北師大版分別高9.26和5.00個百分點，而在“中切合度”水平上北師大版卻比人教版高出14.26個百分點.

兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題與內(nèi)容的切合度差異略大.90%以上的例題屬于低、中切合度，每個例題都含有重要的知識點，教科書中的例題選擇注重知識的連貫性和綜合性，同時又以低、中切合度為主，高切合度交叉相配合的編排方式，充分反映了我國教科書中例題的選擇和編排層次的合理性.

3.例題復雜度的比較

例題的復雜度（W3）是指例題本身的程序復雜性，通常以用通性通法來解決問題時的步驟數(shù)來衡量.因此，本研究采用運算與推理步驟，解題方法個數(shù)來作為衡量問題復雜性的重要指標.鑒于初中數(shù)學教科書中的例題基本上是簡單的符號運算、推理，例題設(shè)問、解法通常較簡單，且例題編碼時按題目單位計量，將例題復雜度賦值標準界定如表5所示.

表5 例題復雜度的賦值標準界定表

基于此，統(tǒng)計出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的例題復雜度的數(shù)量，如表6所示.

表6 例題復雜度的數(shù)量統(tǒng)計表

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域在例題復雜度上的差異較大.為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題復雜度（W3）的分布情況，特繪制柱狀圖如圖3.

圖3 兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題復雜度分布柱狀圖

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過對比可知：人教版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個復雜度上的知識點個數(shù)分別為31、39、12，各自占的百分比分別為37.81%、47.56%、14.63%；而北師大版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個復雜度上的知識點個數(shù)分別為22、40、22，各自占的百分比分別為26.19%、47.62%、26.19%.在“中復雜度”和“高復雜度”水平上北師大版比人教版分別高0.06和1.56個百分點，而在“低復雜度”水平上人教版卻比北師大版高出11.62個百分點.

兩個版本教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題在例題復雜度上各部分所占的比例差別略大.兩版本教科書中的例題的復雜度處于低、中級較多，大概占總量的80%左右，高復雜度的例題因為含有多種運算和步驟，因此主要處在“相似”“銳角三角形”“圓”等這些章節(jié)中，涉及到的知識點比較綜合.北師大版教科書比人教版教科書中的例題更加體現(xiàn)了知識點的綜合性.

三、研究結(jié)果與建議

1.兩版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度比較研究結(jié)論

通過三個影響因素對兩個版本教材中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度的統(tǒng)計，所得結(jié)果如表7所示.

綜上所述，根據(jù)公式W=0.40W1+0.30W2+0.30W3，結(jié)合以上數(shù)據(jù)分別求得兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度量化值為：

從總量化上看，北師大版教科書較難，人教版教科書較易.事實上，依據(jù)前述例題難度確立的原則和標準，就例題要求而言，人教版教科書中有11個例題，北師大版教科書中有6個例題是直接展示事實、概念和程序，要求學生準確記憶，其余大多數(shù)都以程序性理解型例題為主，注重知識概念、公式的理解與應(yīng)用，操作步驟的示范性等；就例題與內(nèi)容切合度而言，兩版教科書均以低、中切合度為主，高切合度相配合的原則，注重例題內(nèi)容的選擇與例題的編排方式；就例題復雜度而言，兩版本教科書中的例題復雜度處于低、中級較多，大概占總量的80%左右，只需少量的計算和運算的推理步驟，解決方法基本沒有其他選擇；北師大版對例題復雜度要求較高，有22個例題屬于高復雜度水平例題，要求有三步或三步以上的運算與推理，或存有兩種解決通法.

表7 兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度因素量化值表

為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求（N）的分布情況，特繪制分析圖如圖4.

圖4 兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度三角形分析圖

例題是一個經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用知識的過程，它的設(shè)置有利于學生更好地理解數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學.兩版教材例題示范性強，形式多樣化，通過問題情境建立模型，解釋、應(yīng)用與拓展，通過對一個個問題的研討，逐步展開相應(yīng)知識的學習，這樣不僅有助于學生經(jīng)歷真正的“做數(shù)學”的過程，還能在此過程中逐步發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等.

人教版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域共有例題82個，北師大版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域共有例題84個.就例題要求而言，人教版教科書例題要求系數(shù)為0.6870，北師大版教科書例題要求系數(shù)0.7143，其中人教版教科書中有11個例題，北師大版教科書中有6個例題是直接展示事實、概念和程序，要求學生準確記憶，其余大多數(shù)都以程序性理解型例題為主，注重知識概念、公式的理解與應(yīng)用，操作步驟的示范性等；就例題與內(nèi)容切合度而言，人教版教科書例題與內(nèi)容切合度指數(shù)為0.5691，北師大版教科書例題與內(nèi)容切合度指數(shù)為0.5833，兩版教科書均以低、中切合度為主，高切合度相配合的原則，注重例題內(nèi)容的選擇與例題的編排方式；就例題復雜度而言，人教版教科書例題的復雜度系數(shù)為0.5894，北師大版教科書例題的復雜度系數(shù)為0.6666，兩版本教科書中的例題復雜度處于低、中級較多，大概占總量的80%左右，只需少量的計算和運算的推理步驟，解決方法基本沒有其他選擇；北師大版對例題復雜度要求較高，有22個例題屬于高復雜度水平例題，要求有三步或三步以上的運算與推理，或存有兩種解決通法.

人教版教材的例題示范性作用強，注重知識內(nèi)容的前后聯(lián)系，重視知識內(nèi)容的發(fā)生與發(fā)展過程，注重知識的演繹推理過程；典型性突出，例題與知識內(nèi)容更加貼近.而北師大版教材的例題的種類形式多種多樣，結(jié)合熟悉的、有趣的生活背景，在觀察、想象、分析和推理等活動中，以圖象表征的呈現(xiàn)方式傳遞給學生，幫助學生正確理解知識概念，逐步積累研究圖形的活動經(jīng)驗，注重培養(yǎng)學生的思維能力、創(chuàng)新意識，發(fā)展空間觀念.

2.教科書使用建議

基于例題特征，引導學生變式探究.在教學中，要針對典型的數(shù)學試題引導學生從多角度探索問題，這樣既能得到不同的解題方法，還能使學生通過變式獲得新的數(shù)學結(jié)論.通過有指導性的再創(chuàng)造活動，讓學生體驗到探索過程中的快樂，數(shù)學結(jié)論的美妙與和諧，從而培養(yǎng)理性思維與創(chuàng)新意識，發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在力量，實現(xiàn)“數(shù)學育人”的教育目的.

教科書是課堂學習活動的載體，是教育教學活動中的一個“跳板”，而非“圣經(jīng)”，只有全面了解教科書的編寫內(nèi)容，領(lǐng)悟教科書的編寫特點，發(fā)展教科書中蘊含的教學資源，靈活地、創(chuàng)造性的使用教科書，讓教科書為教學服務(wù)，為學生的發(fā)展服務(wù)，才能使教科書真正成為學生學習科學知識的好資源，成為激發(fā)學生學習興趣的動力之源.