☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 戴 惠

一、知識背景

旋轉(zhuǎn)變換作為幾何的三大變換之一，常常蘊(yùn)含了全等、相似、勾股定理等很多知識點(diǎn)，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力有較高要求，往往具有較大的難度和區(qū)分度.九年級學(xué)生經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)后，對于此類指明“旋轉(zhuǎn)”的題目基本會解決.但是對沒有出現(xiàn)“旋轉(zhuǎn)”字眼的題，學(xué)生對此常感到束手無策.此時(shí)我們可以試將圖形的某一部分作適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，突破思維瓶頸，找到解題思路.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

當(dāng)已知條件比較分散時(shí)，考慮“旋轉(zhuǎn)法”，把分散的條件通過旋轉(zhuǎn)的方式重新整合，構(gòu)造特殊圖形，進(jìn)而解決問題.

2.過程與方法

在數(shù)學(xué)解題中，有時(shí)用“動(dòng)”的觀點(diǎn)來處理“靜”的問題，即“化靜為動(dòng)”，讓學(xué)生深刻的體會“從變化中找不變”的基本解題思路.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

從旋轉(zhuǎn)的角度思考問題，提高空間想象能力和邏輯思維能力.

三、教學(xué)過程簡錄

片斷（一） “旋轉(zhuǎn)法”的引出與認(rèn)識

例1 如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是BC，CD邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，連接EF.

求證：EF＝BE＋FD.

圖1

設(shè)計(jì)意圖：此題以我們熟悉的正方形作為載體，線段EF、BE、FD位置分散，常用方法為“截長補(bǔ)短”法.啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從旋轉(zhuǎn)的角度去思考問題，初步認(rèn)識 “旋轉(zhuǎn)法”.

師：分析題目條件，你想到了什么？

生（齊）：“截長補(bǔ)短”法.

師：實(shí)物投影展示正確的解法.

師（啟發(fā)）：幾何畫板演示△ABE旋轉(zhuǎn)至△ADE′過程，從旋轉(zhuǎn)的角度考慮，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2請問△AEF≌△AE′F依然成立嗎？

生：成立，∠BAE=∠DAE′，∠BAE+∠FAD=45°，可以得到∠DAE′+∠FAD=45°，即∠E′AF=45°，通過SAS證明全等.

圖2

圖3

圖4

片斷（二） “旋轉(zhuǎn)法”的探索與歸納

變式1 如圖3，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，它的兩邊分別交CB，DC的延長線于點(diǎn)E、F，線段BE，DF和EF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：此題為例1的變式，∠EAF從在正方形的內(nèi)部變成有部分在正方形內(nèi)部，同樣使用“旋轉(zhuǎn)法”可以解決問題.讓學(xué)生感知“旋轉(zhuǎn)法”的思路，體會用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)思考問題，“化靜為動(dòng)”，讓學(xué)生深刻地體會“從變化中找不變”的基本解題思路.

師：這道題跟例1的區(qū)別在哪里？我們先猜測一下三條線段之間有什么數(shù)量關(guān)系？

生（齊）：DF=BE+EF.

師：怎么證明呢？我們能不能也使用旋轉(zhuǎn)的方法解決它呢？

生（齊）：將△ABE旋轉(zhuǎn)至△ADE′，如圖4.

師（追問）：旋轉(zhuǎn)的目的是什么呢？

生1：使得DE′=BE，DF-BE=E′F，只要證EF=E′F即可.師（追問）：怎么證線段相等？我們常用方法是什么？生（齊）：全等，對應(yīng)邊相等.

師：證哪兩個(gè)三角形全等呢？

生2：通過SAS證明△AEF≌△AE′F.

師：幾何畫板演示△ABE旋轉(zhuǎn)至△ADE′過程，我們將這樣的方法稱為“旋轉(zhuǎn)法”.什么情況下我們可以使用“旋轉(zhuǎn)法”呢？

生：已知條件中線段的位置不交分散，有公共頂點(diǎn)，有相等的邊……

師：共點(diǎn)——旋轉(zhuǎn)中心；相等的線段——對應(yīng)線段；旋轉(zhuǎn)角度——旋轉(zhuǎn)角.（板書）

通過構(gòu)造全等三角形，轉(zhuǎn)移線段，尋找線段間的數(shù)量關(guān)系.

變式2 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，且∠EAF=∠BAD.

（1）點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，試說明EF=BE+DF；

（2）如圖6，點(diǎn)E、F分別在直線CB、DC延長線上，線段BE、DF和EF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖5

圖6

設(shè)計(jì)意圖：此題作為學(xué)生自主練習(xí)題，是上面兩道的變式，正方形、45°角的特殊關(guān)系一般化，“半角模型”.一方面檢驗(yàn)學(xué)生是否學(xué)會使用“旋轉(zhuǎn)法”，另一方面讓學(xué)生體會“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想.這兩道題請兩位同學(xué)到講臺前講解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.在解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的數(shù)學(xué)能力.

片斷（三） “旋轉(zhuǎn)法”的運(yùn)用與鞏固

例2 如圖7，在等邊三角形△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=2，PB=，PC=1，求∠BPC的度數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：此題具備了數(shù)學(xué)的簡潔之美，條件之間沒有直接聯(lián)系，不再問邊的關(guān)系，而是換成了角度，學(xué)生對此束手無策.但當(dāng)我們從旋轉(zhuǎn)的角度去思考該問題時(shí)，轉(zhuǎn)移相關(guān)線段，就會豁然開朗，柳暗花明.

圖7

圖8

生（齊）：勾股定理

師：這里有直角三角形嗎？

生（齊）：沒有.

師（啟發(fā)）：那這里是不是也可以旋轉(zhuǎn)呢？通過旋轉(zhuǎn)某個(gè)三角形，轉(zhuǎn)移某些線段，進(jìn)而構(gòu)造直角三角形呢？大家試一試.

生1：將△PBC進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，如圖8.

師：如圖8，幾何畫板演示旋轉(zhuǎn)過程.我們想要的直角三角形出現(xiàn)了嗎？

生（齊）：沒有，再連接PP′.

師：很好，將我們要求的∠BPC轉(zhuǎn)化成兩個(gè)角的和，此時(shí)∠P′BP=60°且BP=BP′，我們得到△P′PB是等邊三角形，得到∠BP′P=60°.另外一個(gè)角∠AP′P又是多少度呢，你會嗎？

生2：90°，根據(jù)勾股定理的逆定理得到.

師：非常好，一起告訴我∠BPC的度數(shù).

生（齊）：150°

師：你感受到了旋轉(zhuǎn)法的奇妙之處了嗎？

圖9

變式1 如圖9，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，∠BPC=135°，BP=，PC=1，求AP的邊長.

設(shè)計(jì)意圖：此題作為學(xué)生練習(xí)題，載體等邊三角形換成正方形，已知條件既有邊的關(guān)系，又有角的關(guān)系，在解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生融會貫通的能力.

片斷（四） “旋轉(zhuǎn)法”的拓展與提升

例3 （2015·常州）如圖10，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長是__________.

設(shè)計(jì)意圖：展示中考題，激發(fā)學(xué)生攻克難題的決心.學(xué)生通過積極思考和探索，把握命題規(guī)律，提煉問題本質(zhì).一題多解，通過比較讓學(xué)生切實(shí)體會旋轉(zhuǎn)法的奇妙作用，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性.

師：哪位同學(xué)來挑戰(zhàn)一下這道中考題？

生1：C為弧BD的中點(diǎn)可以得到CB=CD，將△ACD進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，如圖11.

圖10

圖11

師（追問）：這里四邊形ABCD有什么特殊性使得我們可以選擇使用“旋轉(zhuǎn)法”.

生1：⊙O的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，符合我們的“旋轉(zhuǎn)法”.

師（追問）：然后我們?nèi)绾巫瞿兀?/p>

生1：在△AA′C中作AA′邊上的高.

師：接下來我們利用三角函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)等就可以解決.

設(shè)計(jì)意圖：問題再次升級，將學(xué)生剛剛已經(jīng)熟悉邊角關(guān)系以直線解析式的形式呈現(xiàn)，給人耳目一新的感覺.難度提升一個(gè)臺階，對學(xué)生的能力要求進(jìn)一步提高.通過 “轉(zhuǎn)化的思想”，通過直線解析式可以得到邊角關(guān)系，同樣使用“旋轉(zhuǎn)法”可以解決問題.

圖12

圖13

師：在圓中，圓周角90°，我們常作什么輔助線？

生（眾）：連接AC，AC為直徑.

師：EC-EA如何處理呢？“旋轉(zhuǎn)法”好用嗎？

生2：以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將△OAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖13.

師：EC-EA=EE′，△OEE′為等腰直角三角形，則EE′∶EO為.能否將△OAE，以A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°呢？課后思考.

四、教后反思

對于“空間與圖形”的教學(xué)，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念是：觀察感知、動(dòng)手操作、深化理解.“向?qū)W生提供充分參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會，幫助他們在自立探索和合作交流的過程中真正理解和掌握數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”.這節(jié)課作為初三專題復(fù)習(xí)課較好地體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的新理念，教會學(xué)生用旋轉(zhuǎn)的思想去解決問題.

教學(xué)設(shè)計(jì)中比較注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透與點(diǎn)拔，注重引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識和體會數(shù)學(xué)內(nèi)在的美感.如“旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”“基本形”等數(shù)學(xué)語言所體現(xiàn)的簡約美；旋轉(zhuǎn)變換帶給學(xué)生的奇妙感覺，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的推力，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望；幾何畫板的使用讓是整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程比較直觀具體.練習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)過程，既讓學(xué)生演示了順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，又進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)等不同方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維廣闊性.J