胡劍

MATLAB是用Fortran語(yǔ)言編寫(xiě)的工程計(jì)算分析軟件，matlab的核心理念是矩陣計(jì)算，其中的計(jì)算對(duì)象都是以矩陣的形式呈現(xiàn)的?，F(xiàn)在的matlab擁有強(qiáng)大的程序包用來(lái)處理各個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題，比如仿真計(jì)算，原型開(kāi)發(fā)，數(shù)據(jù)可視化等。因此matlab目前是最廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)軟件，在發(fā)達(dá)國(guó)家大學(xué)中是必須掌握的基本數(shù)理工具，更是一般研究設(shè)計(jì)和工程單位的標(biāo)準(zhǔn)軟件。無(wú)論是學(xué)術(shù)，還是工業(yè)應(yīng)用，matlab都具有無(wú)法或缺的地位。

線性代數(shù)主要是研究線性變換的學(xué)科，大學(xué)階段的線性代數(shù)，主要討論和矩陣相結(jié)合的有限維線性空間的理論。主要涉及線性方程組，矩陣運(yùn)算，線性空間與線性變換，正交性，二次型，向量空間等內(nèi)容，是一般大學(xué)的公共基礎(chǔ)課，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的重要基石之一。目前在網(wǎng)絡(luò)運(yùn)算，優(yōu)化，系統(tǒng)工程等多方面有深入而廣泛的應(yīng)用。

線性代數(shù)的教學(xué)存在以下弊端：1.枯燥抽象，線性代數(shù)是第二代數(shù)學(xué)模型，是先建立抽象的公理系統(tǒng)，再討論運(yùn)算的。所以對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)一下子難以接受如此抽象的課程。我們的教材的安排上也是遵循學(xué)科發(fā)展的時(shí)間順序編排，并沒(méi)有考慮學(xué)生的接受次序，往往線性代數(shù)成了很多學(xué)生的發(fā)懵課。2.計(jì)算大而繁瑣，現(xiàn)代大量應(yīng)用中的線性代數(shù)都是大規(guī)模的，反應(yīng)到教學(xué)中。過(guò)于簡(jiǎn)單的算例，學(xué)生領(lǐng)會(huì)不到計(jì)算的技巧，過(guò)于復(fù)雜的算例，有讓學(xué)生浪費(fèi)時(shí)間在枯燥無(wú)趣的加減乘除中，對(duì)于真正線性代數(shù)理念的理解毫無(wú)進(jìn)益，此舍本求末。3.線性代數(shù)本身涉及抽象空間的對(duì)象的變換，如果沒(méi)有圖形的輔助對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)沒(méi)辦法建立抽象空間的概念。往往線性代數(shù)最后都是為學(xué)而學(xué)，對(duì)真正抽象空間的理解僅停留在幾個(gè)字面意思，脫離了線性代數(shù)教學(xué)本身的初衷。

新教學(xué)改革計(jì)劃將matlab融入線性代數(shù)的教學(xué)中，基本安排如下：

1.教材選擇，我們選用了Steven J. Leon的第九版的線性代數(shù)中文版。它詳細(xì)的講解了每個(gè)公式的來(lái)龍去脈和其中的代數(shù)和幾何意義，使得讀者對(duì)于那些公式的理解可以提高一個(gè)檔次。每章用一個(gè)introductory example開(kāi)頭 讓人對(duì)這樣抽象的課程有點(diǎn)感性認(rèn)識(shí)。其實(shí)在一本數(shù)學(xué)書(shū)中，詳細(xì)的證明過(guò)程并不是理解一個(gè)定理的捷徑，只有理解了定理中每個(gè)元素在的內(nèi)在含義后以及它們之間的關(guān)系后，才會(huì)在心中承認(rèn)這個(gè)定理的正確性，而證明過(guò)程只是一種官方的確認(rèn)而已。

2.線性代數(shù)的關(guān)鍵在于建模——把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線性代數(shù)問(wèn)題，合理選擇工具，比如matlab語(yǔ)言都有大量的工具包選擇，從而用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題。如何引導(dǎo)學(xué)生建模，勢(shì)必要求學(xué)生把注意力從計(jì)算中引開(kāi)去。比如矩陣與方程組，可以結(jié)合圖論在通信網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用，將圖轉(zhuǎn)化成鄰接矩陣（adjacency matrix）后，乘冪該鄰接矩陣，可以求得任意兩頂點(diǎn)間給定長(zhǎng)度的路的條數(shù)。比如奇異值分解（singular value decomposition）以及馬爾可夫過(guò)程（Markov process）在網(wǎng)絡(luò)搜索和分級(jí)中的應(yīng)用，。google早期的PageRank排名算法就是一個(gè)巨大的馬爾可夫過(guò)程。又比如基于向量空間的線性變換，即從一個(gè)向量空間到另一個(gè)向量空間的線性映射。其中提到一個(gè)線性算子（linear operator）是一個(gè)向量空間到其自身的線性變換，以及每一個(gè)mxn矩陣A，事實(shí)上定義了一個(gè)從Rn到Rm的線性變換，這讓矩陣有了具體的意義，這些都可以利用matlab讓學(xué)生感受到形象的線性代數(shù)的運(yùn)算。再比如線性變換在計(jì)算機(jī)圖形和動(dòng)畫(huà)中的具體應(yīng)用，我們通過(guò)改變平面上幾何圖形頂點(diǎn)的位置，并重新繪制圖形，即可變換圖形，如果變換是線性的，則可通過(guò)矩陣乘法實(shí)現(xiàn)，觀察一系列這樣的圖形就得到了一個(gè)動(dòng)畫(huà)。特別在正交性的例子中，我們可以利用matlab引入最小二乘法的計(jì)算，并用線性代數(shù)的知識(shí)證明最小二乘法的最優(yōu)。

3.線性代數(shù)本身計(jì)算的設(shè)計(jì)，我們?cè)诮虒W(xué)中還考慮了現(xiàn)在計(jì)算理論的初步嘗試，由于計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)是用計(jì)算機(jī)中有限位的數(shù)字系統(tǒng)表示的，導(dǎo)致其在初始化和算術(shù)運(yùn)算中會(huì)出現(xiàn)大量的舍入誤差，所以選擇一個(gè)合適穩(wěn)定的算法在這里非常重要，在沒(méi)有matlab的情況下我們不能向?qū)W生展示計(jì)算誤差，那么有了matlab，我們不僅能夠展示計(jì)算誤差，還可以讓學(xué)生自己做估計(jì)，并比較差別。

基于Matlab的線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)安排在每一章節(jié)后，讓學(xué)生能夠?qū)嵅賛atlab進(jìn)行線性代數(shù)的演算，實(shí)際效果反應(yīng)相當(dāng)好。多數(shù)學(xué)生表示對(duì)線性代數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)，其次是對(duì)matlab的更多操作和命令的使用有了更高的掌握，最重要的事對(duì)線性代數(shù)的處理能力有了一個(gè)明顯的提高。比如說(shuō)相關(guān)m文件的建立，畫(huà)圖用到的標(biāo)注，配色，坐標(biāo)控制，同一張圖里畫(huà)幾幅不同的圖像，相關(guān)參數(shù)的設(shè)置以及相關(guān)函數(shù)的調(diào)用格式等等。 就拿建立一個(gè)數(shù)學(xué)方程而言，通過(guò)設(shè)置不同的參數(shù)達(dá)到所需要的要求和結(jié)果，而且還可以在不同的窗口建立不同的函數(shù)而達(dá)到相同的效果，比如說(shuō)可以再命令窗口和m文件中通過(guò)不同的命令設(shè)置的到相同的所需的效果圖。對(duì)于矩陣及閉環(huán)傳遞函數(shù)的建立掌握了相關(guān)的命令操作和處理的方法，不僅可以通過(guò)建立函數(shù)和參數(shù)來(lái)達(dá)到目標(biāo)效果，而且還可以通過(guò)可視化的編程達(dá)到更快更方便。

期末有課學(xué)期論文，要求學(xué)生完成一整個(gè)線性代數(shù)相關(guān)項(xiàng)目，獨(dú)立經(jīng)歷設(shè)定選題，查找資料，搜集數(shù)據(jù)，建模分析的過(guò)程。最后都能夠有相應(yīng)的完成的論文呈現(xiàn)。

應(yīng)用matlab的線性代數(shù)教學(xué)，不單單讓學(xué)生理解了線性代數(shù)本身的概念，還掌握了matlab的基本應(yīng)用，以及論文撰寫(xiě)的基本技能，整個(gè)教學(xué)效果還是不錯(cuò)的。

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公安海警學(xué)院2017年度教學(xué)改革課題項(xiàng)目資助（No.2017

YB008）。