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        拉格朗日中值定理的應(yīng)用

        2015-09-01 07:07:10
        關(guān)鍵詞:開區(qū)間實(shí)根中值

        趙 暢

        (吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130103)

        在數(shù)學(xué)分析中,微分中值定理主要包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒公理等.它們是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)判斷原函數(shù)性質(zhì)的有效工具,還可以借助這些公理和公式求待定式的極限,研究函數(shù)的特性,討論函數(shù)作圖及求解極限與最值問題等.

        微分中值定理中的拉格朗日中值定理更是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具研究函數(shù)的依據(jù),也是微分學(xué)的許多重要應(yīng)用的橋梁,在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛.

        1 拉格朗日中值定理

        定理1(羅爾中值定理) 若函數(shù)f(x)滿足以下條件,

        (i)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

        (ii)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

        (iii)f(a)=f(b),

        則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

        f'(ξ)=0

        定理2(拉格朗日中值定理) 若函數(shù)f(x)滿足以下條件,

        (i)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

        (ii)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

        則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

        2 定理的應(yīng)用

        拉格朗日中值定理作為微分學(xué)的重要內(nèi)容,它的應(yīng)用十分廣泛,下面介紹拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)分析中的幾點(diǎn)應(yīng)用,對(duì)其能夠解決的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類和舉例說明.

        2.1 定理的直接應(yīng)用

        直接應(yīng)用拉格朗日中值定理的的條件與結(jié)論,能解決許多數(shù)學(xué)問題,并且過程簡(jiǎn)便清晰.下面分類討論.

        (1)判斷根的性質(zhì).綜合羅爾中值定理、介值定理等定理的內(nèi)容,可以判斷可導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)根的存在性和根的個(gè)數(shù).

        例1 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上可導(dǎo),且有0

        證明 一方面,證明實(shí)根的存在性.

        設(shè)有函數(shù)g(x)=f(x)+x-1,則此函數(shù)在閉區(qū)間[0,1]上可導(dǎo).根據(jù)已知有g(shù)(0)=f(0)-1<0,g(1)=f(1)>0,由介值定理可知,函數(shù)g(x)在開區(qū)間(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn),即方程f(x)+x-1=0存在實(shí)根.

        另一方面,證明實(shí)根的唯一性.

        利用反證法,假設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)根x1,x2,且0

        綜上所述,問題得證.

        (2)證明等式、不等式.拉格朗日中值定理經(jīng)過巧妙變形,可以用來證明許多不等式問題.

        證明 設(shè)函數(shù)f(t)=ln(1+t),則函數(shù)f(t)在閉區(qū)間[0,x]上滿足拉格朗日中值定理的條件,故存在點(diǎn)ξ∈(0,x),使得

        (3)推導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì).利用拉格朗日中值定理可以推出可導(dǎo)函數(shù)的某些整體性質(zhì),如單調(diào)性,有界性,一致連續(xù)性及某些導(dǎo)數(shù)極限的性質(zhì).

        例3 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)有有界的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)一致連續(xù).

        證明 根據(jù)拉格朗日中值定理,存在?x1,x2∈(-∞,+∞),有

        f(x1)-f(x2)=f'(ξ)(x1-x2),其中
        ξ∈(x1,x2).

        所以函數(shù)f(x)在開區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)一致連續(xù).

        (4)推導(dǎo)其他定理公式.拉格朗日中值定理有一個(gè)重要的推廣:柯西公式.

        例4 設(shè)存在函數(shù)f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)函數(shù)g'(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)處處不為零,則在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點(diǎn)ξ,使得

        證明 當(dāng)函數(shù)g(x)=x時(shí),與拉格朗日中值定理內(nèi)容相同,利用拉格朗日中值定理的證明方法即可.

        當(dāng)函數(shù)g(x)≠x時(shí),作輔助函數(shù)φ(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-f(a)],由已知可得φ(a)=φ(b).因此函數(shù)φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上為常數(shù)或者在此區(qū)間內(nèi)取得最大值、最小值.根據(jù)拉格朗日中值定理,存在一點(diǎn)ξ(a<ξ

        2.2 定理幾何意義的應(yīng)用

        拉格朗日中值定理的幾何意義有較為廣泛的應(yīng)用.

        例5 設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)f'(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增,若f(a)=f(b)(a

        證明 如圖1所示,在圖中作弦AC,BC,任取一點(diǎn)x∈(a,b),故存在ξ∈(a,x),η∈(x,b),使其導(dǎo)數(shù)f'(ξ),f'(η)分別等于弦AC,BC的斜率,且由于導(dǎo)函數(shù)f'(x)嚴(yán)格遞增,所以f'(ξ)

        又由于f(a)=f(b),代入上述不等式,有

        f(x)

        圖1 拉格朗日中值定理幾何意義的應(yīng)用圖

        2.3 有限增量公式的應(yīng)用

        借助拉格朗日中值定理的證明思路構(gòu)造不同的輔助公式,再由有限增量公式

        f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),ξ∈(a,b)

        可以導(dǎo)出新的中值公式.下面舉例說明.

        例6 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù),證明存在一個(gè)點(diǎn)c∈(a,b),使

        (1)

        證明 式(1)左端

        2.4 函數(shù)變形的應(yīng)用

        拉格朗日中值定理的變形公式指出了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一種關(guān)系,特別地,這個(gè)公式相當(dāng)于f(x)的泰勒公式展開式中至0次項(xiàng),因此,可以利用這種關(guān)系研究函數(shù)的性質(zhì).

        例7 函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上可導(dǎo),且f(0)=0,設(shè)有實(shí)數(shù)A>0,使得|f'(x)|≤A|f(x)|在x∈[0,+∞)上成立,證明對(duì)?x∈[0,+∞)有f(x)≡0.

        證明 由已知可得,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上可導(dǎo),且f(0)=0,根據(jù)拉格朗日中值定理,有

        |f(x)|=|f(0)+f'(ξ1)(x-0)|=
        |f'(ξ1)x|≤A|f(ξ1)|x

        3 小結(jié)

        拉格朗日中值定理是高等數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)定理之一.不僅定理本身具有很高的研究?jī)r(jià)值,它的應(yīng)用也十分廣泛.本文重點(diǎn)介紹了運(yùn)用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的性質(zhì)、求解極限及最值問題等.這可為學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)提供便利,其實(shí)拉格朗日中值定理的研究空間還很大,有待學(xué)者去繼續(xù)探索.

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