錢(qián)祖康

[摘 要] 問(wèn)題解決是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在實(shí)際教學(xué)中，問(wèn)題解決能力培養(yǎng)的突破口在于問(wèn)題解決策略的培養(yǎng). 作為問(wèn)題解決的前置性條件，問(wèn)題解決策略可以通過(guò)問(wèn)題解決中引入數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)得到培養(yǎng)，教師教學(xué)的著力點(diǎn)則在于強(qiáng)化策略運(yùn)用過(guò)程，讓學(xué)生有效體驗(yàn)，進(jìn)而形成直覺(jué).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；問(wèn)題解決；問(wèn)題解決策略

對(duì)于初中數(shù)學(xué)教師而言，問(wèn)題解決的重要性不言而喻，在經(jīng)驗(yàn)視角中，問(wèn)題解決就是解決問(wèn)題，當(dāng)然也有同行將之與習(xí)題教學(xué)等同起來(lái). 盡管我們認(rèn)為這樣的認(rèn)識(shí)是較為狹隘的，但不可否認(rèn)的一點(diǎn)是，當(dāng)前關(guān)于問(wèn)題解決更多的是一種宏觀視角，也就是把問(wèn)題解決看作是一個(gè)教學(xué)目標(biāo)與思維過(guò)程并重的事物. 應(yīng)當(dāng)說(shuō)，從理論上來(lái)講，這樣的認(rèn)識(shí)是準(zhǔn)確且全面的，但從實(shí)際教學(xué)的角度來(lái)看，由于視角過(guò)于宏觀，所以容易忽視問(wèn)題解決教學(xué)中的一些重要環(huán)節(jié)，從而使問(wèn)題解決沒(méi)有一個(gè)堅(jiān)實(shí)的根基. 基于這樣的思考，筆者努力關(guān)注學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中的思維，結(jié)果發(fā)現(xiàn)影響問(wèn)題解決結(jié)果的，有時(shí)候并不是與問(wèn)題解決相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握，而是數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用之前的問(wèn)題解決策略運(yùn)用. 也就是說(shuō)，有時(shí)即使數(shù)學(xué)知識(shí)掌握得再好，但問(wèn)題解決策略不當(dāng)，一樣無(wú)法形成有效的問(wèn)題解決能力. 因此，問(wèn)題解決能力培養(yǎng)的首要環(huán)節(jié)，就是問(wèn)題解決策略的培養(yǎng). 關(guān)注其重要性并致力于其培養(yǎng)，可能是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn).

問(wèn)題解決策略之于問(wèn)題解決的重要性

問(wèn)題解決之所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中得到重視，一個(gè)根本原因是，其是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平幾乎唯一重要的體現(xiàn). 當(dāng)前，核心素養(yǎng)正引起教育界同仁的高度重視，而問(wèn)題解決能力就屬于學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的“關(guān)鍵能力”之一. 但問(wèn)題解決能力的形成并不是一蹴而就的，在引導(dǎo)學(xué)生提升問(wèn)題解決能力的過(guò)程中，是按部就班地逐步培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力，還是尋找一個(gè)突破口，以點(diǎn)帶面地培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力，這成為擺在數(shù)學(xué)教師面前的一個(gè)重要選擇.

傳統(tǒng)思路下，學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力是累積形成的，因此可能需要按部就班式的思路；而本輪的課程改革告訴我們這樣一個(gè)基本事實(shí)：即使是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)最差的學(xué)生，其在問(wèn)題解決的過(guò)程中也總是帶著最基本的思路. 因此，尋找一個(gè)突破口，讓學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中獲得能力，可能更為實(shí)際. 而筆者在實(shí)踐中也發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題解決策略就是這個(gè)重要的突破口.

問(wèn)題解決策略，即開(kāi)始解決問(wèn)題時(shí)所選擇的策略，其在心理學(xué)視角下定義為“人們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中搜索問(wèn)題空間、選擇認(rèn)知操作方式時(shí)所運(yùn)用的策略的總稱”. 問(wèn)題解決的方法包括試錯(cuò)法（國(guó)內(nèi)著名特級(jí)教師華應(yīng)龍的融錯(cuò)教育有此思想，盡管其為小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但對(duì)初中數(shù)學(xué)有積極的參考意義）、正向推導(dǎo)法（由已知條件向所求推導(dǎo)）、反向推導(dǎo)法（分析問(wèn)題解決所需要的條件，并將之與已知條件進(jìn)行對(duì)比）等. 問(wèn)題解決過(guò)程中對(duì)方法的選擇，實(shí)際上就是問(wèn)題解決策略的產(chǎn)物，因此從這個(gè)角度講，問(wèn)題解決策略是問(wèn)題解決者根據(jù)自己的解題經(jīng)驗(yàn)與智慧，選擇、組合問(wèn)題解決方法的策略.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常?？吹竭@樣的現(xiàn)象：學(xué)生面對(duì)一個(gè)問(wèn)題時(shí)，往往卡在問(wèn)題解決的最初，這實(shí)際上就是策略選擇有問(wèn)題，而一旦教師給學(xué)生指明解決問(wèn)題的思路時(shí)，學(xué)生就能比較輕松地解決了；有時(shí)遇到一題多解的問(wèn)題，學(xué)生又會(huì)根據(jù)自己的原有經(jīng)驗(yàn)忽視其他問(wèn)題解決思路，這說(shuō)明學(xué)生在重復(fù)性的解題中形成了較低的定式水平；更多的時(shí)候，學(xué)生對(duì)自己是如何成功解決問(wèn)題的，或?yàn)槭裁礋o(wú)法解決問(wèn)題，處于高度茫然的狀態(tài)，這說(shuō)明學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決策略缺少關(guān)注與反思……凡此種種，影響了學(xué)生問(wèn)題解決策略的選擇，也最終影響了問(wèn)題解決能力的形成.

因此，問(wèn)題解決策略就是問(wèn)題解決能力培養(yǎng)的一個(gè)最為重要的前提，牽住這個(gè)“牛鼻子”，就可以化解問(wèn)題解決中遇到的很大一部分問(wèn)題.

培養(yǎng)學(xué)生良好的問(wèn)題解決策略嘗試

有研究者指出，從更廣視域內(nèi)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力，多讓學(xué)生在熟悉的、既定的數(shù)學(xué)規(guī)律與方法之外去選擇與使用，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力. 在這樣的思路下，數(shù)學(xué)活動(dòng)成為一線數(shù)學(xué)教師的重要選擇.

數(shù)學(xué)活動(dòng)與當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教師積極嘗試的數(shù)字實(shí)驗(yàn)有類似的地方，其通過(guò)學(xué)生的“做”去開(kāi)拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的思維；同時(shí)，數(shù)學(xué)活動(dòng)又不僅僅限于動(dòng)手做，更側(cè)重于動(dòng)腦思考. 在筆者看來(lái)，無(wú)論是做還是思，本質(zhì)上都應(yīng)當(dāng)圍繞問(wèn)題解決策略的選擇來(lái)進(jìn)行. 筆者在“勾股定理”的教學(xué)中，嘗試通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決策略，取得了一定的效果. 現(xiàn)對(duì)此教學(xué)過(guò)程分兩個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行簡(jiǎn)述.

1. 第一個(gè)環(huán)節(jié)是“勾股定理”的建立環(huán)節(jié)

目前，勾股定理基本上都是通過(guò)畢達(dá)哥拉斯（以下簡(jiǎn)稱畢氏）的故事來(lái)引入的，考慮到課堂容量與教學(xué)效率，畢氏所研究的地面圖形更多的是通過(guò)多媒體來(lái)呈現(xiàn)的. 筆者考慮到幻燈片中的圖形只能成為學(xué)生思維加工的對(duì)象，而不能成為“做”的對(duì)象，這客觀上使得學(xué)生的思維變得有些抽象，于是將畢氏的圖形變成教具——兩種顏色的等腰直角三角形，讓學(xué)生據(jù)此“拼”出不同花紋的地面，同時(shí)提出問(wèn)題：在擺放的過(guò)程中，能否發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系新的特性？事實(shí)證明，在這樣的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)之下，學(xué)生相當(dāng)積極，而解決問(wèn)題則成為學(xué)生活動(dòng)的動(dòng)力.

同時(shí)，由于問(wèn)題直接指向直角三角形（事實(shí)上學(xué)生此時(shí)的思維對(duì)象是等腰直角三角形），方向如此明確，使得學(xué)生對(duì)直角三角形三邊關(guān)系展開(kāi)探究. 此時(shí)，便涉及問(wèn)題解決策略. 事實(shí)表明：學(xué)生最初的思路是直接比較三邊的和、差、積、商關(guān)系，但很快發(fā)現(xiàn)此路不通. 于是，筆者提醒學(xué)生：你所研究的直角三角形處于諸多直角三角形拼成的大的圖形當(dāng)中，你看到的還應(yīng)當(dāng)有其他圖形. 這是本活動(dòng)過(guò)程中的關(guān)鍵一步，也是策略提醒的一步. 在這一提醒（實(shí)際上是策略引導(dǎo)）之下，學(xué)生會(huì)去研究直角三角形三邊相鄰的正方形，而正方形的數(shù)量無(wú)非是邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積等，當(dāng)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)向面積時(shí)，勾股定理就容易被發(fā)現(xiàn)了. 其后的過(guò)程同行們都比較熟悉，此處不贅述.

2. 第二個(gè)環(huán)節(jié)是“勾股定理”的應(yīng)用環(huán)節(jié)

勾股定理的應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，初中生對(duì)勾股定理的應(yīng)用往往只限于對(duì)現(xiàn)有直角三角形進(jìn)行直接運(yùn)算，而當(dāng)需要構(gòu)建新的直角三角形或有其他需要時(shí)，學(xué)生往往缺乏明確的策略支撐.

例如，有這樣一個(gè)問(wèn)題：給你一把刻度尺，你有幾種方法得出一個(gè)圓柱形杯子的直徑？

此問(wèn)題最直接的解決方法是用尺去測(cè)量杯底直徑（這種方法簡(jiǎn)單、直接、有效，不應(yīng)當(dāng)被排斥在數(shù)學(xué)方法之外），而當(dāng)追問(wèn)學(xué)生有無(wú)第二種方法時(shí)，學(xué)生就容易卡殼. 卡殼的一個(gè)直接原因，是學(xué)生無(wú)法發(fā)現(xiàn)此中存在的直角三角形，即使教師提醒學(xué)生是不是可以用勾股定理求解時(shí)，不少學(xué)生仍然感覺(jué)無(wú)計(jì)可施. 此時(shí)，筆者建議不要過(guò)多提醒，而是讓學(xué)生絞盡腦汁地去想. 事實(shí)證明，當(dāng)學(xué)生看到將尺斜放在杯中變成一條斜邊時(shí)，那種興奮之情是溢于言表的，而這也正是數(shù)學(xué)探究中的一種品質(zhì)與意志的培養(yǎng)，也屬于核心素養(yǎng)中的“必備品格”.

類似的問(wèn)題還有：已知一扇門(mén)框的尺寸是高2 m、寬1 m，那一扇長(zhǎng)3 m、寬2.2 m的長(zhǎng)方形木板能否從門(mén)框內(nèi)通過(guò)？這個(gè)問(wèn)題的解決涉及學(xué)生將門(mén)框的對(duì)角線長(zhǎng)度與木板的寬度進(jìn)行對(duì)比. 而學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程非常有趣，相當(dāng)一部分學(xué)生都是將長(zhǎng)方形木板要么“橫”著走，要么“豎”著走，就是想不到“斜”著走. 這些其實(shí)都是問(wèn)題解決策略的一部分，教師不需要多講，可放手讓學(xué)生自己探索，最終比較門(mén)框的對(duì)角線長(zhǎng)度與木板的寬度.

以上兩個(gè)事例表明，當(dāng)問(wèn)題解決不局限于問(wèn)題本身，當(dāng)學(xué)生能夠在一個(gè)更為真實(shí)、完整的情境中解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生對(duì)問(wèn)題本身，對(duì)解決問(wèn)題所用到的數(shù)學(xué)工具的印象，往往更為深刻，對(duì)數(shù)學(xué)工具使用的熟悉程度也會(huì)大大增強(qiáng).

生本視角下問(wèn)題解決策略到問(wèn)題解決

問(wèn)題解決說(shuō)到底是面向?qū)W生的，問(wèn)題解決能力本質(zhì)上是學(xué)生的能力培養(yǎng)，因而問(wèn)題解決策略應(yīng)當(dāng)面向?qū)W生，這就是生本視角.

生本視角下，學(xué)生的問(wèn)題解決策略把握得當(dāng)了，那問(wèn)題解決的大門(mén)也就打開(kāi)了，因此，將問(wèn)題解決策略的培養(yǎng)當(dāng)成問(wèn)題解決能力培養(yǎng)的前置性條件，邏輯上是行得通的，實(shí)踐也證明其是可行的.

當(dāng)然，這里還有一個(gè)根本性的問(wèn)題，即從教師教學(xué)的角度，將問(wèn)題解決策略從問(wèn)題解決中剝離出來(lái)加以論述，那只是為了強(qiáng)調(diào)其重要性；而在具體的教學(xué)過(guò)程中，問(wèn)題解決本身就是一個(gè)完整的過(guò)程，是一個(gè)完整的思維，不宜剝離. 尊重學(xué)生思維的整體性，只是在問(wèn)題解決過(guò)程中著力強(qiáng)調(diào)策略的運(yùn)用，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生良好的直覺(jué)，從而切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力.