王蕾

【摘要】函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)中起到橫向聯(lián)系和紐帶連接的主干作用.函數(shù)思想的應(yīng)用，就是根據(jù)提出問題的數(shù)學(xué)特征，構(gòu)建一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)知識去解決問題.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想；中學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)特征；數(shù)學(xué)模型

函數(shù)思想，就是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)分析、研究具體問題量的依存關(guān)系，剔除問題中的非數(shù)學(xué)因素，抽象數(shù)學(xué)特征，用函數(shù)的形式把數(shù)量關(guān)系表示出來，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題的思想.函數(shù)思想的運(yùn)用，就是對于一個(gè)實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)本身的概念和性質(zhì)等知識去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而解決問題.

本文結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)，從幾個(gè)方面對函數(shù)思想的應(yīng)用進(jìn)行了較系統(tǒng)的總結(jié).

一、運(yùn)用函數(shù)思想求解方程問題

函數(shù)與方程既是兩個(gè)不同的概念，又存在著密切聯(lián)系.一個(gè)函數(shù)表達(dá)式可以看成是一個(gè)二元方程，一個(gè)二元方程的兩個(gè)未知數(shù)間如果存在單值的對應(yīng)關(guān)系，那么這個(gè)方程也可以看成是一個(gè)函數(shù).方程的兩端可以分別看成兩個(gè)函數(shù)，方程的解就是這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，許多有關(guān)方程的問題都可以用函數(shù)思想解決.

例1已知q∈（-∞，-1）∪[1，+∞），方程cos2x+sinx-q=0是否有實(shí)數(shù)根？說明理由.

解由原式得：q=cos2x+sinx，令t=sinx，則q=-2t2+t+1（-1≤t≤1）.

配方得：q=-2t-142+98，由二次函數(shù)圖像可知：

當(dāng)t=14時(shí)，q取到最大值98；當(dāng)t=-1時(shí)，q取到最小值-2.

所以，當(dāng)q∈（-∞，-2）∪98，+∞時(shí)，方程無解；當(dāng)q∈[-2，-1）時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.

如果從方程的角度解決本題，很難找到有效的解題途徑，所以想到把原方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)：q=cos2x+sinx，又知cos2x=1-sin2x，問題就轉(zhuǎn)化為了二次函數(shù)的求最值問題，這樣很容易得到答案.

二、運(yùn)用函數(shù)思想解決不等式問題

在求解及證明不等式的過程中，巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)使不等式獲證.

例2解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.

分析本題若直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運(yùn)算比較麻煩，但可以看出8（x+1）3+10x+1=2x+13+52x+1，題中又有x3+5x，所以想到構(gòu)造函數(shù)f（x）=x3+5x，利用函數(shù)單調(diào)性求解.

將原不等式化為2x+13+52x+1>x3+5x.令f（x）=x3+5x，則不等式變?yōu)閒2x+1>f（x），∵f（x）=x3+5x在R上為增函數(shù)，∴原不等式等價(jià)于2x+1>x，解得-1

可見，函數(shù)思想解決不等式問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，熟悉函數(shù)性質(zhì)，弄清函數(shù)和不等式的內(nèi)在聯(lián)系，樹立相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn).

三、運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)列問題

數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)，因此，有些數(shù)列問題可以用函數(shù)思想來解決.

例3已知數(shù)列{an}，其中a1=15，且an+1=an-23，試求當(dāng)n取何值時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和最大.

解由an+1=an-23，可得an+1-an=-23，由此可知數(shù)列{an}是以15為首項(xiàng)，-23為公差的等差數(shù)列，所以Sn=15n+n（n-1）2·-23=-13（n-23）2+5293，可見，當(dāng)n=23時(shí)，Sn最大.

本題采用了構(gòu)造函數(shù)的思想，在解決數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)重視函數(shù)思想的滲透，應(yīng)把函數(shù)概念、圖像、性質(zhì)有機(jī)地融入數(shù)列中，通過數(shù)列與函數(shù)的知識交匯，使問題得以簡化.

四、運(yùn)用函數(shù)思想解決三角問題

在三角函數(shù)一些較復(fù)雜的題目中也常用到函數(shù)思想.

例4求當(dāng)x取何值時(shí)，2sin2x-2sinx-5取最小值.

解設(shè)y=2sin2x-2sinx-5，令t=sinx（-1≤t≤1），

則y=2t2-2t-5=2t-122-112，

所以當(dāng)t=12時(shí)，y取到最小值-112，即t=sinx=12，因此，當(dāng)x=π6+2kπ或x=56π+2kπ，k∈Z時(shí)，原式取到最小值.

利用換元法將原式化為二次函數(shù)求最值問題，變形過程中，根據(jù)三角函數(shù)本身特性，確定變量t的取值范圍，找到解題關(guān)鍵，再利用二次函數(shù)求最值方法進(jìn)行求解.

可見，函數(shù)思想貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué).函數(shù)思想的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，其實(shí)質(zhì)是把所求問題轉(zhuǎn)化為以函數(shù)為背景的問題，再利用函數(shù)的有關(guān)概念、圖像、性質(zhì)幫助解決.在教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)建模思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.

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