楊清梅

著名的數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合無限好，數(shù)形隔離萬事非”.

數(shù)形結(jié)合的教學思想就是在解題過程中充分運用數(shù)與形兩者存在的關系，將數(shù)量關系與空間關系結(jié)合起來進行解題的一種方法，也是我國現(xiàn)階段數(shù)學教學的重要內(nèi)容之一.數(shù)形結(jié)合的教學思想是由以數(shù)輔形和以形助數(shù)兩個方面組成.形是方法，數(shù)是最終的解題目的[1].

本文筆者將從一些課堂實例出發(fā)，例談在函數(shù)教學中如何通過研究函數(shù)圖像，得到函數(shù)的特點與性質(zhì)，進而更快速地解決問題，并且舉例說明在畫圖時需要特別注意的一些易錯點.

例1已知函數(shù)f（x）=x2，01， 若方程f（x）=kx-2有兩個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是.

【思路分析】方程f（x）=kx-2有兩個不相等的實數(shù)解兩函數(shù) y=f（x），y=kx-2 的圖像有兩個不同的交點.問題轉(zhuǎn)化為畫兩個函數(shù)的圖像即可.函數(shù)y=f（x）不含參數(shù)，是一個確定的分段函數(shù)，可以畫出圖像，函數(shù)y=kx-2雖含參數(shù)，但可知圖像是一條過定點M（0，-2），斜率不定的直線（相當于繞點M旋轉(zhuǎn)），問題得以解決.

【解題過程】畫圖如下：

由圖可知，當k∈[3，+∞）時，兩函數(shù) y=f（x），y=kx-2 的圖像有兩個不同交點，即方程f（x）=kx-2有兩個不相等的實數(shù)解.

【教學反思】在實際課堂教學中，發(fā)現(xiàn)不少學生的答案還包含k=2，為什么會造成這種錯誤呢？關鍵在于學生對函數(shù)的增長速度（即函數(shù)的凹凸性）認識不全，對于g（x）=ln（x-1）（x≥2）與h（x）=2x-2（x≥2），兩者都是單調(diào)遞增，且均過點（2，0）（交點），是否還有另一交點，取決于兩函數(shù)的大小關系，對兩函數(shù)二次求導，g″（x）=-1（x-1）2<0，而h″（x）=0，可知g（x）的增長速度比h（x）慢，所以在（2，+∞）上h（x）>g（x），故無另一交點，k=2不是答案.

由于對函數(shù)圖像的凹凸情況認識不清，導致在做題的過程中出現(xiàn)錯誤，這種現(xiàn)象很常見.

例2已知函數(shù)f（x）=sinπ2x-1，x≤0，logax（a>0且a≠1），x>0 的圖像關于y軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)a的取值范圍是.

A.0，55

B.55，1

C.33，1

D.0，33

【思路分析】已知函數(shù)y=f（x）的圖像關于y軸對稱的點至少有3對兩函數(shù)

g（x）=sin-π2x-1，h（x）=logax（a>0且a≠1） 的圖像在（0，+∞）有三個不同的交點，只需畫出圖像即可.

【解題過程】

1.當a>1時，圖像如下，由圖可知，只有一個交點，不符合.

2.當0

【教學反思】在備課組集體備課中，有教師提出此題目有誤.由上圖，當h（x）的圖像經(jīng)過點F（5，-2）時，兩圖像的交點個數(shù)不是兩個，為此，筆者用幾何畫板驗證（如下圖所示）.當過F點時，兩圖像已相交三個交點.實際上，由g（x）=sin-π2x-1與h（x）=logax（a>1）的凹凸性可知，兩個函數(shù)在點F處并不會相切，即不能由h（x）的圖像經(jīng)過點F（5，-2）得到a的臨界值55（實際上，兩函數(shù)相切的切點橫坐標x0<55，由于與本文沒有直接關聯(lián)，故在此不贅述）.

為了避免此情況，現(xiàn)將例2改編如下：

變式1函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[-1，1]時，f（x）=-|x|，若函數(shù)g（x）=f（x），x<0，logax（a>0且a≠1），x>0 的圖像關于y軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)a的取值范圍是.

【解題過程】

1.當a>1時，圖像如下，由圖可知，只有一個交點，不符合.

2.當0

上述兩個例子中，出現(xiàn)錯誤的原因都是由于對兩個函數(shù)的增長速度快慢判斷不清，導致畫圖像時出現(xiàn)誤差.在以后做題過程中，若遇到在某個區(qū)間，兩個函數(shù)同時單調(diào)遞增（減），通過畫其圖像求解交點時，可以通過二次求導判斷兩者增長速度的快慢，進而準確畫圖，避免錯誤.

【參考文獻】

[1]盛繼中.探析高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合的解題方法[J].時代教育，2013（10）：135.