張謙

摘要：類比法是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要的教學(xué)方法，有著廣泛應(yīng)用，也是新課程改革中要求重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的能力之一。以高中數(shù)學(xué)的數(shù)列章節(jié)的教學(xué)為例，無論是定義、通項(xiàng)，還是性質(zhì)、求和的教學(xué)都貫穿著類比法。

關(guān)鍵詞：類比法；數(shù)列；等差；等比

類比法（Method of analogy） 也叫"比較類推法”，是指由一類事物所具有的某種性質(zhì)，可以推測與其類似的事物也應(yīng)具有這種性質(zhì)的推理方法。這種方法在我們的高中數(shù)學(xué)中有著廣泛地運(yùn)用，是高中生必須學(xué)會(huì)的一種學(xué)習(xí)方法，決定著學(xué)生學(xué)習(xí)能力的高低，學(xué)習(xí)效率的好壞，因此在許多知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中我們都融會(huì)貫通著類比法，下面我以人教版高中數(shù)學(xué)必修五《數(shù)列》這一章節(jié)的教學(xué)為例，簡單說明類比法的重要性。

一、類比法在等差數(shù)列和等比數(shù)列定義教學(xué)中的運(yùn)用

等差數(shù)列的定義是通過觀察法推導(dǎo)出來的，一般先給出例題：

例：觀察下面幾個(gè)數(shù)列有什么共同特征？

（1）1、2、3、4、5…… （2）2、4、6、8、10……

（3）3、7、11、15、19…… （4）5、5、5、5、5……

通過教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察得到結(jié)論：一般，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列。而在教學(xué)等比數(shù)列的定義時(shí)我們就會(huì)給出例子，讓同學(xué)們與等差相類比。

例：類比等差數(shù)列，觀察下面數(shù)列有什么共同特征？

（1）2、4、8、16、32…… （2） 、 、 、 、 ......

（3）10、100、1000、10000、100000 （4）5、5、5、5、5……

歸納：（1）通過類比可以得到等比數(shù)列的定義，只需將等差數(shù)列定義中的“差”轉(zhuǎn)化成“比”即可。

（2）類比相同之處的同時(shí)也要注意區(qū)別，那就是等差數(shù)列中的常數(shù)d可以為0，而等比數(shù)列中的常數(shù)q≠0.

這種概念教學(xué)中我們運(yùn)用類比法有助于學(xué)生理解內(nèi)涵、容易記憶，同時(shí)將比較類似的兩個(gè)概念加強(qiáng)區(qū)別。

二、類比法在等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及解題中的運(yùn)用

等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式在數(shù)列這一章的教學(xué)中非常重要，在解題中應(yīng)用很廣。推導(dǎo)其公式都是從定義入手，例如推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，老師可以引導(dǎo)學(xué)生由定義得到：-=d、-=d……-=d，則（-）+（-）+……+（-）=（n-1）d，所以得-=（n-1）d ，即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是=+（n-1）d ，這種推導(dǎo)方法我們稱之為累加法。有了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)鋪墊，在推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，就可以由學(xué)生自己類比得：=q、=q、=q……=q，則×××……×=，所以=，即等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是=。同時(shí)，學(xué)生類比得出這種推導(dǎo)方法叫累乘法。推導(dǎo)公式運(yùn)用類比法不僅讓學(xué)生了解了公式的推導(dǎo)，幫助他們記憶公式，還體會(huì)到等差數(shù)列與等比數(shù)列之間“加”和“乘”的轉(zhuǎn)換。

等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)出來以后，學(xué)生就面臨著有關(guān)、、n 、d的計(jì)算問題。例如：已知等差數(shù)列中，+=4，+=10，求。這道題主要利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到有關(guān)和d的二元一次方程組，將兩式相加減消元得出和d，從而得到。這類等差數(shù)列的解方程組的題型比較簡單，學(xué)生容易上手，但碰到等比數(shù)列的解方程組學(xué)生往往會(huì)列式，不會(huì)消元，這時(shí)我們就要提醒學(xué)生注意等差數(shù)列中的“差”與等比數(shù)列中的“比”之間轉(zhuǎn)換。例如：若等比數(shù)列滿足+=20，+=40，求公比q.這道題與上面的例題類似，方法也一樣，但消元時(shí)需將所列的方程組兩式相比消去，得到關(guān)于q的方程解之。當(dāng)然，如果將數(shù)列中的和聯(lián)立解決有關(guān)計(jì)算問題，學(xué)生會(huì)更加困難，尤其是等比數(shù)列的解方程，這說明我們在類比時(shí)不僅要?dú)w納相同點(diǎn)，也可以通過比較不同之處而掌握解決問題的方法。例如我們在等比數(shù)列中有一個(gè)典型題目：已知=7，=21，求q.解決這道題主要是對的處理，如果用求和公式，就要主要討論q=1和q≠1，而用通項(xiàng)公式就要用數(shù)列的前n項(xiàng)和的定義將=21轉(zhuǎn)換成++=21再和=7聯(lián)立解答。這就說明在等差數(shù)列聯(lián)立解方程的基礎(chǔ)上我們解決類似問題要善于發(fā)現(xiàn)不同，然后有針對性的解答，有助于培養(yǎng)學(xué)生“舉一反三”的能力，提高學(xué)習(xí)效率。

類比法在等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)教學(xué)中的運(yùn)用.

等差數(shù)列和等比數(shù)列擁有較多類似的性質(zhì)，例如中項(xiàng)公式、下標(biāo)性質(zhì)、和的性質(zhì)等，它們在運(yùn)用時(shí)方法也基本相同，所以教學(xué)時(shí)基本都以等差數(shù)列為模板進(jìn)行等比數(shù)列性質(zhì)的學(xué)習(xí)。例如：已知等差數(shù)列中，=10，求.這題只給了一個(gè)等量關(guān)系式，無法聯(lián)立方程，可利用下標(biāo)性質(zhì)將=轉(zhuǎn)化為==9=90.由此我們可歸納：等差數(shù)列中，看到兩項(xiàng)相加就可以運(yùn)用下標(biāo)性質(zhì)化簡，那么，讓學(xué)生類比猜想在等比數(shù)列中我們看到什么用下標(biāo)性質(zhì)呢？學(xué)生很快會(huì)說“乘”，加以具體實(shí)例學(xué)生既區(qū)別認(rèn)識(shí)了等差和等比的下標(biāo)性質(zhì)，也清楚地明白運(yùn)用下標(biāo)性質(zhì)的前提，有效地提高了教學(xué)效率。學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)有些題中既有“加”又有“乘”，該怎么辦呢？

例：已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，且+=9，=8，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

變式：已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且+=9，=8，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

分析：這道題只有一字之差，即“差”與“比”，但卻決定了這是兩個(gè)不同類型的數(shù)列，也決定了解題時(shí)要先處理哪一個(gè)已知條件。例題是等差數(shù)列所以要先用下標(biāo)性質(zhì)將+=9轉(zhuǎn)化成+=9，然后與=8聯(lián)立解出和，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出和d，從而得到；而變式中因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以先處理的就是=8，利用的是等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)，但整個(gè)解題方向完全相同。

通過上面我僅從《數(shù)列》這一章節(jié)的幾個(gè)方面的實(shí)例可以發(fā)現(xiàn)我們平時(shí)的學(xué)習(xí)與生活中處處充滿著類比，類比可以幫助我們掌握共同特性，也可以幫助區(qū)別特性，可以說，類比是探索問題、解決問題與發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的一種卓有成效的思維方法。學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中應(yīng)該學(xué)會(huì)運(yùn)用這種獨(dú)特的思維方法，教師在教學(xué)過程中則應(yīng)努力培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比方法進(jìn)行合情推理的能力，使他們的思維更具創(chuàng)造力。只有我們意識(shí)到類比的教育教學(xué)價(jià)值，通過類比的教學(xué)方法去展示數(shù)學(xué)的知識(shí)，才能讓學(xué)生拓展視野，以極大的熱情去研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)世界的和諧統(tǒng)一，才能真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)化。

參考文獻(xiàn)：

[1]康永強(qiáng) 等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積和 《甘肅高師學(xué)報(bào)》 第5卷第5期（2000）

[2]田志宏 類比法在數(shù)列中的應(yīng)用 《科教文匯》2006（9）：49