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        單值中智信息熵及其多屬性決策方法

        2018-08-01 07:46:02輪,楊
        關(guān)鍵詞:中智單值模糊集

        朱 輪,楊 波

        1.常州大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 常州 213016

        2.常州大學(xué) 懷德學(xué)院,江蘇 靖江 214513

        1 引言

        數(shù)據(jù)客戶所需要的并不僅僅只是一個(gè)存儲(chǔ)他們大數(shù)據(jù)的硬盤,就目前這個(gè)階段而言,數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商不僅提供到位的數(shù)據(jù)遷移和存儲(chǔ)服務(wù),而且能夠在此基礎(chǔ)之上提供咨詢服務(wù),因此數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商選擇問題是一個(gè)重要的研究課題,其本質(zhì)是一個(gè)多屬性決策問題。多屬性決策(MADM)問題是指針對(duì)不同備選方案對(duì)不同屬性的屬性值進(jìn)行融合,然后對(duì)方案進(jìn)行比較并遴選出最佳方案[1]。由于現(xiàn)實(shí)決策問題客觀的復(fù)雜性以及決策者主觀認(rèn)知的局限性,決策者傾向于用模糊信息表達(dá)方案的評(píng)估值。文獻(xiàn)[2]在1965年首次提出了模糊集的定義,但是隨后學(xué)者們發(fā)現(xiàn)模糊集存在一定的不足,于是相繼提出了區(qū)間模糊集[3]、直覺模糊集[4]、區(qū)間直覺模糊集[5]、猶豫模糊集[6]、正態(tài)模糊集[7]、Type-2 模糊集[8]等等概念。這其中,直覺模糊集得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注和研究。但是其不能有效處理不確定和非一致的決策信息,因此,Smarandache[9]主要從哲學(xué)的角度首先引入了中智集的概念,然后Wang等[10]結(jié)合實(shí)際給出了單值中智集的定義。

        信息熵是描述信息不確定程度的有力工具,Zadeh[11]最先引入了模糊熵的概念用以衡量決策信息的模糊性。Luca和Termini[12]將模糊熵進(jìn)行了拓展,給出了更為正式模糊熵定義。基于直覺模糊基數(shù),Szmidt和Kacprzyk[13]提出了直覺模糊熵測(cè)度的公理化條件。Ye[14]構(gòu)建熵加權(quán)模型用以計(jì)算熵權(quán)重。文獻(xiàn)[15]提出了區(qū)間直覺模糊連續(xù)加權(quán)熵。李香英[16]首次引入?yún)^(qū)間猶豫模糊熵的公理性定義。

        綜上國(guó)內(nèi)外研究可知,熵是模糊集理論中的重要研究課題[17]。因此,Majumdar和Samanta[18]提出了單值中智熵的定義,然而在某些情況下存在一定的缺陷(詳見例1)。因此,研究一種合理的單值中智熵概念,并構(gòu)建簡(jiǎn)單有效的單值中智熵公式具有較好的實(shí)際意義。本文首先引入單值中智熵的公理化定義,同時(shí)基于三角函數(shù)設(shè)計(jì)一種信息熵測(cè)度公式,最后構(gòu)建新的單值中智決策方法。

        2 基礎(chǔ)知識(shí)

        本章主要介紹一些單值中智集的基本概念,并舉例說明現(xiàn)有單值中智熵定義存在的不足。

        定義1[10]令X為給定的集合,定義在集合X上的單值中智集 A={<x,TA(x),IA(x),FA(x)>|x∈X}由隸屬函數(shù)TA(x)、不確定函數(shù)IA(x)以及非隸屬函數(shù)FA(x)表示,其中TA(x),IA(x),FA(x)∈[0,1],且TA(x)+IA(x)+FA(x)∈[0,3]。

        為了下文討論的方便,記α=<Tα,Iα,Fα>?<α1,α2,α3>為一個(gè)單值中智數(shù)(Single-Valued Neutrosophic Value,SVNV)。令Ω~是X上所有的SVNV的集合。

        定義2[10]令 α=<α1,α2,α3>為一個(gè)單值中智數(shù),那么它的補(bǔ)為 αc=<1-α1,1-α2,1-α3>,即 αct,=1-αt,t=1,2,3。

        對(duì)于一個(gè)單值中智數(shù) α=<α1,α2,α3>,Majumdar和Samanta[18]給出了如下單值中智熵的公理化定義。

        定義3[18]令 α=<α1,α2,α3>是一個(gè)單值中智數(shù),則稱函數(shù)ε:Ω~→[0,1],如果其滿足如下條件:

        (1)當(dāng) α 是一個(gè)精確數(shù)時(shí),有 ε(α)=0。

        (2)當(dāng) <α1,α2,α3>=<0.5,0.5,0.5>,有 ε(α)=1。

        (3)ε(α)=ε(αc)。

        (4)當(dāng) α1+α3≤β1+β3且 |α2-αc2|≤|β2-βc2|時(shí) ,有ε(α)≥ε(β)。

        然而在某些情況下,定義3中的條件(4)不一定合理科學(xué),這在例1中可以說明。

        例1兩個(gè)單值中智數(shù)分別為α=<1,0,0>和β=<0.5,0,0.6>,那么它們的補(bǔ)分別為αc=<0,1,1>和 βc=<0.5,1,0.4>。因?yàn)棣?+α3=1+0=1<1.1=0.5+0.6=β1+β3且|α2-αc2|=1=|β2-βc2|,那么根據(jù)定義3中的條件(4),可得ε(α)≥ε(β),即 α 的數(shù)據(jù)信息比 β 更為不確定。然而,顯而易見α=<1,0,0>是一個(gè)精確數(shù),因此有 ε(α)=0,于是單值中智數(shù)α的數(shù)據(jù)信息應(yīng)該比β更為精確。因此,從以上分析可知,在某些情況下定義3不一定合理可靠,需要進(jìn)行改進(jìn)提升。

        3 單值中智信息熵

        首先引入了新的單值中智信息熵的公理化定義,然后構(gòu)建一種對(duì)單值中智數(shù)進(jìn)行信息度量的測(cè)度公式,并證明其是單值中智熵。

        定義4 令 α=<α1,α2,α3>是一個(gè)單值中智數(shù),則稱函數(shù)E:Ω~→[0,1],如果其滿足如下4個(gè)公理化條件:

        (E1) E(α)=0?αt=0或αt=1,t=1,2,3。

        (E2) E(α)=1?<α1,α2,α3>=<0.5,0.5,0.5>。

        (E3) E(α)=E(αc)。

        (E4)如果β比α更為不確定,即對(duì)于?t=1,2,3,當(dāng) βt-βct≤0 時(shí),有 αt≤βt;或者當(dāng) βt-βct≥0時(shí),有αt≥βt,那么 E(α)≤E(β)。

        對(duì)于單值中智數(shù) α=<α1,α2,α3>,運(yùn)用三角函數(shù)構(gòu)建如下信息測(cè)度公式:

        定理1 令 α=<α1,α2,α3>是一個(gè)單值中智數(shù),那么公式(1)中構(gòu)建的函數(shù)E1(α)滿足定義4中的4個(gè)公理化條件。

        證明 首先構(gòu)建如下函數(shù):

        那么函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù)為:

        當(dāng) x∈[0,1]時(shí),有 f′(x)≥0;當(dāng) x∈[1,2]時(shí),有 f′(x)≤0。因此,當(dāng) x∈[0,1]時(shí),函數(shù) f(x)為單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)x∈[1,2]時(shí),函數(shù) f(x)為單調(diào)遞減函數(shù),于是函數(shù) f(x)在x=1處可以取得最大值。從而通過上述分析可知,0≤f(x)≤1,且有 fmin(x)=0當(dāng)且僅當(dāng) x=0或 x=2,fmax(x)=1當(dāng)且僅當(dāng)x=1。接下來,將一一證明E1(α)滿足定義4中的4個(gè)條件。

        (E1)假設(shè) E1(α)=0。因?yàn)?0≤αt≤1,t=1,2,3,所以αt-αct+1=αt-(1-αt)+1=2αt∈[0,2],t=1,2,3。因此,結(jié)合上述分析可知,E1(α)中的每一項(xiàng)均為非負(fù)數(shù),于是E1(α)=0 當(dāng)且僅當(dāng) E1(α)中的每一項(xiàng)都為 0,即對(duì)于t=1,2,3,有:

        根據(jù)上述函數(shù)分析過程可得公式(4)成立當(dāng)且僅當(dāng)αt-+1=0或αt-+1=2,t=1,2,3,即αt=0或αt=1,t=1,2,3。

        另一方面,當(dāng) αt=0或 αt=1,t=1,2,3時(shí),可得αt-+1=0或 αt-+1=2,t=1,2,3,代入公式(1)易知 E(α)=0 。

        (E2)當(dāng)<α1,α2,α3>=<0.5,0.5,0.5>時(shí),有:

        αt-+1=1,t=1,2,3

        因此代入公式(1)可得 E1(α)=1。

        假設(shè) E1(α)=1。由于 αt-+1∈[0,2],t=1,2,3,所以 0≤E1(α)≤1,那么當(dāng) E1(α)=1時(shí),意味著其中的每一項(xiàng)的大小都為1,即對(duì)于t=1,2,3,有:

        結(jié)合函數(shù)分析可得,αt-+1=1,t=1,2,3,從而有<α1,α2,α3>=<0.5,0.5,0.5>。

        (E4)若對(duì)于?t=1,2,3,當(dāng)βt-≤0時(shí),有αt≤βt,那么 βt≤=1-βt,t=1,2,3,于是得到:

        而 αt-+1=2αt,βt-+1=2βt,所以:

        又因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在x∈[0,1]時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù),因此有:

        所以 E1(α)≤E1(β)。

        類似的,當(dāng) βt-≥0 時(shí),有 αt≥βt,可以證明E(α)≤E(β)。綜上,結(jié)論成立。

        根據(jù)定理1,有以下定義:

        定義5 令 α=<α1,α2,α3>是一個(gè)單值中智數(shù),則稱公式(1)中構(gòu)建的函數(shù)E1(α)為單值中智熵。

        4 單值中智多屬性決策方法

        現(xiàn)考慮單值中智信息多屬性決策問題。假設(shè)X={X1,X2,…, }

        Xm為一個(gè)備選方案集,C={C1,C2,…,Cn}為一個(gè)屬性指標(biāo)集合。令w=(w1,w2,…,wn)T是屬性集合對(duì)

        接下來,運(yùn)用本文提出的單值中智熵公式,建立單值中智多屬性決策方法。

        步驟1標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣。

        若Cj(j=1,2,…,n)均為效益型屬性,則決策矩陣不變;否則,對(duì)D=(αij)m×n進(jìn)行如下標(biāo)準(zhǔn)化處理,得到標(biāo)準(zhǔn)的單值中智決策矩陣 D~=(α~ij)m×n:步驟2計(jì)算屬性權(quán)重。

        為了盡可能地使決策更為合理準(zhǔn)確,決策者一般希望決策過程盡可能地依賴于確定性信息。因此,各屬性的權(quán)重設(shè)定應(yīng)該盡可能減少不確定信息對(duì)決策結(jié)果的影響。于是,基于如上思想可建立如下最優(yōu)化模型:

        根據(jù)Lagrange乘數(shù)法計(jì)算上述最優(yōu)化模型Model I,可得屬性權(quán)重為:步驟3計(jì)算備選方案與正負(fù)理想點(diǎn)間的距離。首先設(shè)計(jì)如下正負(fù)理想點(diǎn):正理想點(diǎn)X+={α…,}和負(fù)理想點(diǎn) X-={α,…,,其中=<1,0,0>,=<0,1,1>,j=1,2,…,n。然后計(jì)算備選方案 Xi分別與正理想點(diǎn)X+和負(fù)理想點(diǎn)X-的距離如下:

        步驟4計(jì)算備選方案Xi的貼近度。

        步驟5備選方案優(yōu)劣排序。

        根據(jù)貼近度Ti(i=1,2,…,m)的大小關(guān)系對(duì)備選方案進(jìn)行優(yōu)劣排序,并選擇綜合性能最高的方案。

        5 實(shí)例分析

        考慮評(píng)估第三方數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商的選擇問題。現(xiàn)有5個(gè)備選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商為{X1,X2,X3,X4,X5},在優(yōu)選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商時(shí),考慮如下4個(gè)評(píng)估指標(biāo)分別為:產(chǎn)品質(zhì)量(C1)、處理能力(C2)、購(gòu)買成本(C3)、售后服務(wù)(C4),其中C3為成本型指標(biāo),其他指標(biāo)為效益型指標(biāo),并且4個(gè)評(píng)估指標(biāo)的屬性權(quán)重信息完全未知。現(xiàn)專家將數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商在各個(gè)屬性下進(jìn)行評(píng)估,并將評(píng)估值運(yùn)用單值中智數(shù)αij=<>進(jìn)行表達(dá),從而構(gòu)建單值中智決策矩陣 D=(αij)5×4。

        步驟1由于C3為成本型指標(biāo),因此按照轉(zhuǎn)化公式(9)計(jì)算得到標(biāo)準(zhǔn)單值中智決策矩陣 D~=(α~ij)5×4如下:

        步驟2運(yùn)用公式(10)~(12)計(jì)算屬性權(quán)重為:

        w1=0.192 3,w2=0.320 8

        w3=0.126 0,w4=0.360 9

        步驟3根據(jù)公式(13)和(14)求得所有備選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商與正負(fù)理想點(diǎn)間的距離如下:

        步驟4通過公式(15),計(jì)算貼近度:

        T1=0.410 8,T2=0.507 4,T3=0.649 7,

        T4=0.566 5,T5=0.468 3

        步驟5 因?yàn)?T3>T4>T2>T5>T1,所以備選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商排序結(jié)果為X3?X4?X2?X5?X1。所以綜合表現(xiàn)最好數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商的是X3。

        為了體現(xiàn)本文方法的優(yōu)良性能,與文獻(xiàn)[19]中的方法進(jìn)行對(duì)比分析。運(yùn)用文獻(xiàn)[19]中方法處理上述數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商選擇問題的大致過程如下:

        首先基于標(biāo)準(zhǔn)化的單值中智決策矩陣D~=(α~ij)5×4,利用文獻(xiàn)[19]中的相似度公式:

        計(jì)算各個(gè)數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商與理想點(diǎn)間的相似度:

        由于 T(X3,X+)>T(X4,X+)>T(X1,X+)>T(X5,X+)>T(X2,X+),所以5個(gè)備選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商排序結(jié)果為X3?X4?X1?X5?X2,且綜合表現(xiàn)最好數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商的是X3。

        通過上面的決策結(jié)果可知,雖然運(yùn)用本文方法和文獻(xiàn)[19]中的方法得到的最優(yōu)結(jié)果相同,但是5個(gè)備選數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商排序存在一定的差異。事實(shí)上,根據(jù)原始的標(biāo)準(zhǔn)單值中智決策矩陣 D~=(α~ij)5×4可知,有 α~21<α~11,α~22>α~12, α~23>α~13, α~24>α~14且 α~21<α~51, α~22>α~52, α~23>α~53,α~24>α~54,這表明數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商X2的綜合性能要優(yōu)于數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商X1和X5,這與本文方法得到的排序結(jié)果相一致,因此本文方法更為合理可靠。

        6 結(jié)束語(yǔ)

        本文針對(duì)現(xiàn)有單值中智熵定義存在一定的缺陷,提出了單值中智熵的公理性定義,構(gòu)建了一個(gè)單值中智信息熵計(jì)算公式,并將其應(yīng)用于單值中智多屬性決策模型的建立過程中,最后通過實(shí)例驗(yàn)證說明了本文提出方法的可行性和有效性。該方法不僅為單值中智多屬性決策問題提供了一種新的解決思路,同時(shí)可將方法應(yīng)用在模式識(shí)別、醫(yī)療診斷等相關(guān)決策問題中。

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