張紅宇

【摘要】在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用在學(xué)生的學(xué)習(xí)中十分重要。導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用對(duì)高中數(shù)學(xué)中對(duì)于函數(shù)極值的求解，及函數(shù)單調(diào)性的判斷具有一定的價(jià)值。本文對(duì)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行了一個(gè)簡(jiǎn)單的概述，對(duì)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)用的價(jià)值進(jìn)行了簡(jiǎn)單的研究。希望能夠?qū)Ω咧袛?shù)學(xué)的教學(xué)有所幫助。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)公式 應(yīng)用研究

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）06-0298-01

前言

近年來(lái)，隨著新課標(biāo)的不斷改革，導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)部分占據(jù)著越來(lái)越大的比重，人們對(duì)新課改數(shù)學(xué)題目的研究逐步加強(qiáng)。在高中的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的學(xué)習(xí)在某一方面有著相互融合相互滲透的作用。導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用不僅在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中有著重要的作用，對(duì)于物理、化學(xué)也有一定的借鑒作用。

一、導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)公式

（一）導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念，是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，若某函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則稱其在這一點(diǎn)可導(dǎo)，否則稱為不可導(dǎo)。對(duì)于可導(dǎo)的函數(shù)f（x），xf'（x）也是一個(gè)函數(shù)，稱作f（x）的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）[1]。

（二）常用的導(dǎo)數(shù)公式

導(dǎo)數(shù)公式的使用，需要學(xué)生一定的適應(yīng)時(shí)間和過(guò)程，需要學(xué)生從鞏固導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)，進(jìn)行應(yīng)用。常見(jiàn)的導(dǎo)數(shù)公式如下：

①C'=0（C為常數(shù)函數(shù)）

②（x^n）'=nx^（n-1）（n∈Q*）；熟記1/X的導(dǎo)數(shù)

③（sinx）'=cosx

④（cosx）'=- sinx

⑤（e^x）'=e^x

⑥（a^x）'=（a^x）lna （ln為自然對(duì)數(shù)）

⑦（Inx）'=1/x（ln為自然對(duì)數(shù)）

⑧（logax）'=x^（-1）/lna（a>0且a不等于1）

⑨（x^1/2）'=[2（x^1/2）]^（-1）

⑩（1/x）'=-x^（-2）

（u±v）'=u'±v'

（uv）'=u'v+uv'

（u/v）'=（u'v-uv'）/ v^2

二、高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)用的價(jià)值

隨著新課標(biāo)的改革，高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用在高考中所占的比重越來(lái)越大，高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用已經(jīng)成為學(xué)生們?cè)跀?shù)學(xué)、物理、化學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中十分重要的學(xué)習(xí)工具。導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中理科的學(xué)習(xí)，例如物理中對(duì)物體的瞬時(shí)速度和加1速度的表示[2]。導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用實(shí)際上就是對(duì)可導(dǎo)函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，對(duì)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用不僅可以體現(xiàn)在平常的習(xí)題聯(lián)系和考試上的解題方法，還可以體現(xiàn)在我們實(shí)際生活中的方方面面，例如在我們生活中碰到的利潤(rùn)最大化的問(wèn)題和求最高效率的問(wèn)題等等。這些都可以利用函數(shù)的思想和高中數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)公式對(duì)其進(jìn)行求解。

1.教學(xué)中我們可以引導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí)。用單調(diào)性的定義來(lái)處理單調(diào)性問(wèn)題有很強(qiáng)的技巧性，較難掌握好，而用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)便而且快捷。

2.還可以利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí)。用單調(diào)性的定義來(lái)處理單調(diào)性問(wèn)題有很強(qiáng)的技巧性，較難掌握好，而用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)便而且快捷。

3.也可以用導(dǎo)數(shù)證明不等式：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。其主要思想是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式。

4.此外導(dǎo)數(shù)在求曲線的切線中也有廣泛的應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：如果函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)存在，則的函數(shù)f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)即為該函數(shù)在點(diǎn)（x0，f（x0））切線的斜率。利用這個(gè)我們可以求出曲線的切線方程。

例如已知曲線l∶y=x2-2x+a，求過(guò)點(diǎn)P（2，-1）的曲線l的切線方程。

解：因y=x2-2x+a，所以y′=2x-2，

則當(dāng)x=2時(shí)，y=a，y′=2.

①當(dāng)a=-1時(shí)，點(diǎn)P（2，-1）在曲線l上，故過(guò)點(diǎn)P的曲線l的切線方程為y-（-1）=2（x-2），即2x-y-5=0，

②當(dāng)a≠-1時(shí)，點(diǎn)P不在l上，設(shè)曲線l過(guò)點(diǎn)P的切線的切點(diǎn)是（x0，y0），

則切線方程為y-y0=（2x0-2）（x-x0）且點(diǎn)P（2，-1）在此切線方程上，

所以有-1-y0=（2x0-2）（2-x0），即y0=2x20-6x0+3.

又y0=x20-2x0+a，

則有x20-2x0+a=2x20-6x0+3，即x20-4x0+（3-a）=0，

Δ=16-4（3-a）=4（a+1），

當(dāng)a<-1時(shí)，Δ<0，切線不存在。

5.另外我們還可以引導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問(wèn)題：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要部分，而數(shù)列求和是中學(xué)階段數(shù)列部分的重要內(nèi)容之一，有許多初等解決方法。事實(shí)上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決數(shù)列求和的有關(guān)問(wèn)題。

高中數(shù)學(xué)新教材中增加的導(dǎo)數(shù)初步知識(shí)，為高中數(shù)學(xué)注入了新的活力，有利于溝通初高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，因此導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用將成為新教材高考試題的熱點(diǎn)，所以在教學(xué)中，穿插與滲透導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的意識(shí)和能力應(yīng)引起人們的高度重視，特別是復(fù)習(xí)以函數(shù)為背景或解決與函數(shù)有關(guān)的方程，不等式及應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，滲透導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，拓寬解題思路，在應(yīng)用中增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，開拓思維，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。

所以，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式的時(shí)候，學(xué)生不僅要掌握導(dǎo)數(shù)公式的概念和應(yīng)用的方法，還要學(xué)會(huì)把數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與其它知識(shí)相結(jié)合，和我們的現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合，這樣才能夠?qū)⒏咧袛?shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行充分合理的應(yīng)用，在遇到問(wèn)題時(shí)找到合適的辦法[3]。

三、結(jié)論

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用在學(xué)生的學(xué)習(xí)中十分重要。導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用對(duì)高中數(shù)學(xué)中對(duì)于函數(shù)極值的求解，及函數(shù)單調(diào)性的判斷具有一定的價(jià)值。高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式的有效應(yīng)用能夠提高學(xué)生們解題的效率，增加學(xué)生們對(duì)于學(xué)習(xí)的自信心，而且還能夠促進(jìn)學(xué)生們數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的學(xué)習(xí)，為學(xué)生們今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]農(nóng)仕科.關(guān)于高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014，（3）：76-77.

[2]郝利軍.關(guān)于高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用研究[J].文理導(dǎo)航（中旬），2014，（8）：19-19.

[3]胡海燕.導(dǎo)數(shù)公式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].理科考試研究（高中版），2014，（3）：37.