陜西 韓紅軍 張教訓(xùn)

含參數(shù)函數(shù)單調(diào)求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題涉及知識(shí)點(diǎn)多，考查面廣，敘述形式多變，解題方法靈活，能充分考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、計(jì)算功底和優(yōu)化思維能力.本文將此類問(wèn)題進(jìn)行歸類，探究每一種類型的共同屬性，尋找解題策略或方法.

一、函數(shù)y=f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈A都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在區(qū)間A內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為零

【變式】若函數(shù)f(x)=lnx+x2-ax為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

①若a<0，g(x)min=g(0)=1>0，滿足f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)；

【評(píng)注】注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解．

二、函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上單調(diào)，則區(qū)間A是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集

三、函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間A存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問(wèn)題

【變式2】(2016·長(zhǎng)春質(zhì)量檢測(cè)試題改編)若函數(shù)f(x)=e1-x(-a+cosx)(a∈R)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

四、函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上不單調(diào)，則區(qū)間A是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集

【例5】已知函數(shù)f(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1(k∈R)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

【解析】解法一(直接法)：f′(x)=3x2+2(k-1)x+k+5，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，所以導(dǎo)函數(shù)f′(x)在區(qū)間(0,3)上存在變號(hào)零點(diǎn)，即f′(x)=0存在變號(hào)實(shí)根.

【評(píng)注】函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)可以直接從正面考慮，即導(dǎo)函數(shù)存在變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為f′(x)在區(qū)間上有實(shí)根的問(wèn)題.也可以間接考慮，利用補(bǔ)集的思想求解.

【變式1】已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解得a≤-5.

解得a≥1.

函數(shù)y=f(x)在x∈R上單調(diào)遞增.

【變式2】若函數(shù)f(x)=2x2+(x-2a)|x-a|在區(qū)間(-3,1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

( )

A．[-4,1] B．[-3,1]

C．(-6,2) D．(-6,1)

所以0≤a<2；

解得-6

所以-6