湖北 李紅春

解析幾何是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的學(xué)科，在高中階段具有重要的地位，高考中解析幾何試題有著較大的區(qū)分度，面對(duì)繁瑣的計(jì)算不少學(xué)生望而生畏，其實(shí)不少解析幾何問題如果能有效利用平面幾何性質(zhì)，多一點(diǎn)想，就能少一點(diǎn)算，達(dá)到事半功倍的目的．

1.利用解三角形的知識(shí)

由三角形中已知邊和角求其余的邊和角的過程，稱為解三角形．解三角形通常需要包含一條邊在內(nèi)的三個(gè)已知條件，求解過程中通常需要運(yùn)用正弦定理和余弦定理．

余弦定理：在△ABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，則a2=b2+c2-2bc·cosA，b2=c2+a2-2ac·cosB，c2=a2+b2-2ab·cosC．

點(diǎn)評(píng)：從圖形直觀出發(fā)，借助橢圓定義，運(yùn)用余弦定理和直角三角形邊角關(guān)系，回避了直線方程代入橢圓方程的繁瑣，簡(jiǎn)潔至極．

穿孔問題在深水鉆孔樁施工過程中較為常見，其主要是指樁基鉆進(jìn)工作進(jìn)行中，鋼護(hù)筒內(nèi)部泥漿以較快速度流失，孔內(nèi)的水位高度出現(xiàn)了明顯的下降，嚴(yán)重情況下會(huì)下降到正常水面之下的現(xiàn)象。經(jīng)過對(duì)11#-1鉆孔樁出現(xiàn)穿孔問題的原因進(jìn)行了認(rèn)真地分析，主要是由于11#-1鉆孔樁鋼護(hù)筒在埋設(shè)工作中，存在著明顯的傾斜問題，鋼護(hù)筒底部的偏位情況較為明顯，護(hù)筒的半徑無法滿足實(shí)際需求。鉆孔工作過程中，鉆頭和鋼護(hù)筒的底腳部位摩擦較為明顯，導(dǎo)致鋼護(hù)筒埋設(shè)深度范圍內(nèi)的砂層穩(wěn)定性減弱，進(jìn)而導(dǎo)致穿孔問題的出現(xiàn)[1]。

2.利用三角形相似

如果兩個(gè)三角形的形狀相同，則稱兩個(gè)三角形相似．如果兩個(gè)三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例，或者有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形相似；對(duì)于直角三角形而言，如果有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，或者斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)直角三角形相似．

點(diǎn)評(píng)：由A是△BCD的垂心，結(jié)合圖形，容易發(fā)現(xiàn)圖形中的線線垂直關(guān)系，進(jìn)而挖掘出三角形相似，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，極大地縮短了思維流程．

3.利用相交弦定理

相交弦定理：如果AB,CD為圓O的兩條相交弦，交點(diǎn)為M，則AM·MB=CM·MD．

點(diǎn)評(píng)：先過點(diǎn)P作出直徑CD，再依據(jù)中線長(zhǎng)定理和橢圓的定義，借助相交弦定理搭起由PA·PB通向PF1·PF2的橋梁，避免了傳統(tǒng)解析幾何方法計(jì)算的繁瑣，讓人拍案叫好．

4.利用外角平分線的性質(zhì)

【例4】AB是拋物線y2=2px(p>0)過焦點(diǎn)F的弦，點(diǎn)P是拋物線上異于A,B的任意一點(diǎn)，直線PA,PB分別交拋物線準(zhǔn)線l于M,N，則點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)之積為定值-p2．

證明：作AH,PJ,BK垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)H,J,K,

點(diǎn)評(píng)：從拋物線定義出發(fā)，建立比例關(guān)系，借助外角平分線的性質(zhì)巧妙解題，妙不可言．

5.利用四點(diǎn)共圓定理

四點(diǎn)共圓定理：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng)：依據(jù)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓，尋求證明對(duì)角互補(bǔ)是破解本題的關(guān)鍵點(diǎn)．

6.利用切割線定理

切割線定理：點(diǎn)A為圓O外一點(diǎn)，AM為圓O的切線，M為切點(diǎn)，AC為圓O的割線，交圓于B,C兩點(diǎn)，則AM2=AB·AC．

點(diǎn)評(píng)：先借助切割線定理，建立等積式，進(jìn)而得出兩三角形相似，再借助相似三角形性質(zhì)解題，思路清晰，計(jì)算量?。?/p>

從以上幾例不難發(fā)現(xiàn)，平面幾何注重直觀，偏向于“形”，解析幾何依賴計(jì)算，側(cè)重于“數(shù)”，若能將“形”與“數(shù)”有機(jī)結(jié)合起來，充分考慮所給問題的幾何屬性，善于從圖形的幾何關(guān)系中抓住幾何本質(zhì)，挖掘其幾何內(nèi)涵，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用，便能有效減少解析幾何計(jì)算量、縮短思維流程，優(yōu)化解題過程．