江蘇 張路民

一、問題提出

數(shù)學(xué)解題是高中數(shù)學(xué)“教”與“學(xué)”的重要內(nèi)容，對(duì)于一道習(xí)題的解題可以有不同的思路，雖然會(huì)有相同的結(jié)果，但往往會(huì)有不同的收獲.因此，課堂教學(xué)中應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角思考問題，提高分析、解決問題的能力.愛因斯坦曾說過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要”.

筆者最近上了一堂高三二輪復(fù)習(xí)課，課上在處理一道高考試題時(shí)，學(xué)生們積極思考，從不同的角度提出了不同的解決方案，真正在數(shù)學(xué)課上體驗(yàn)了詩人筆下的“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.在整個(gè)討論過程中，同學(xué)們積極思考，筆者參與其中并做適時(shí)點(diǎn)撥，總體來說筆者對(duì)這節(jié)課比較滿意,課后靜下心來仔細(xì)反思仍有許多值得總結(jié)的地方，深有感觸，隨后整理成文，談?wù)勛约旱膸c(diǎn)思考.

二、題目及解法討論

題目：(2014·江蘇卷·第19題第2問節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex+e-x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【分析】本題是一道恒成立問題，解題的關(guān)鍵是要進(jìn)行“換元”，使問題變得更加簡潔明了.那么，如何換元以及換元后如何進(jìn)一步處理呢？請(qǐng)看同學(xué)們從不同角度進(jìn)行的激烈討論.

師：很好，你將問題轉(zhuǎn)化為我們比較熟悉的二次函數(shù)問題的確有助于問題解決.再仔細(xì)琢磨一下看看還有沒有什么不完善的地方.(同學(xué)們開始小聲討論)

師：的確，你的顧慮是對(duì)的，不僅要考慮判別式，其實(shí)還應(yīng)該考慮m≥0.

【收獲1】這是一種常規(guī)思路，二次函數(shù)問題也是我們高中階段比較熟悉、應(yīng)用較多的一種函數(shù)模型.通過這種解法可以幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固二次函數(shù)與二次不等式的關(guān)系.由于二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間存在緊密聯(lián)系，所以我們常常將二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次方程解的存在與分布、二次不等式的解集與恒成立等問題進(jìn)行化歸，從而得到解決.

學(xué)生乙：老師，我覺得這種方法太繁瑣，分類討論我們?nèi)菀族e(cuò)，我覺得采用分離參數(shù)法比較好.

師：是的，分類討論一直是同學(xué)們，尤其是我們文科生的薄弱項(xiàng)，下面我們就請(qǐng)乙同學(xué)說說如何分離參數(shù).

【收獲2】分離參數(shù)法的好處在于減少了分類討論的麻煩，學(xué)生更易接受.本解法的關(guān)鍵是整體換元(令t=e-x-1)后再確定值域.其優(yōu)點(diǎn)是有利于學(xué)生進(jìn)一步鞏固二次函數(shù)、反比例函數(shù)值域的求法，具體求解時(shí)數(shù)形結(jié)合，可減少錯(cuò)誤.

學(xué)生丙：老師，我采用的是乙的方法，但換元用的是甲的換法，即令t=ex>1，結(jié)果計(jì)算過程比乙簡單許多.

師：很好，看來同學(xué)們還是挺喜歡動(dòng)腦筋的，下面我們來聽聽丙同學(xué)有什么妙招.

【收獲3】看來不同的“換元”會(huì)有不同的過程，換的好將會(huì)事半功倍，這需要我們在平時(shí)的解題實(shí)踐中不斷總結(jié).顯然，借助“換元”以及適當(dāng)變形，有助于靈活運(yùn)用基本不等式探求有關(guān)分式函數(shù)的最值或值域問題，而本解法就是一個(gè)很好的詮釋.

學(xué)生?。豪蠋?，按這種思路是不是也可以令t=e-x∈(0,1)進(jìn)行換元？

師：當(dāng)然可以，同學(xué)們可以嘗試一下.

……

【收獲4】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要刨根問底的精神及不斷地嘗試.將多種換元方式進(jìn)行對(duì)比，才能好中選優(yōu)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探究精神.在探究過程中，也培養(yǎng)了學(xué)生不局限于一種方式解決問題、善于尋求突破的能力.

三、幾點(diǎn)思考

1.這節(jié)課從知識(shí)點(diǎn)的角度來說，學(xué)生的收獲還是很大的.雖然只有一道題，但它起到的作用是巨大的.從二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系開始，在整個(gè)討論交流的過程中還涉及到了分式函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí).這正是高三復(fù)習(xí)課所追求的目標(biāo)，盡量發(fā)揮一道題的所有功能，從各個(gè)不同的角度剖析它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.

2.從學(xué)生的角度來說，一堂課不在于做多少道題，關(guān)鍵在于從這道題中收獲了什么，掌握了哪些方法，對(duì)其他類似的題目有怎樣的幫助.課堂上幾位同學(xué)能積極思考，尤其是學(xué)生丙能打破常規(guī)改換t=ex，從而使問題更加簡單，這種勇于探索的精神值得表揚(yáng).學(xué)生們能發(fā)現(xiàn)前一種方法相對(duì)比較復(fù)雜，然后主動(dòng)探求相對(duì)較容易一點(diǎn)兒的方法，這體現(xiàn)了學(xué)生積極追求完美，好中選優(yōu)的探索精神，這一點(diǎn)值得鼓勵(lì)，也需要教師平時(shí)不斷滲透與培養(yǎng)，這有助于學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的快速提高.

3.從教師的角度來說，課堂教學(xué)內(nèi)容不在于多而貴在精.高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)重在知識(shí)和方法專題的復(fù)習(xí)，在知識(shí)專題復(fù)習(xí)中可以進(jìn)一步鞏固第一輪復(fù)習(xí)的成果，加強(qiáng)各知識(shí)板塊的綜合.尤其注意知識(shí)的交叉點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)，進(jìn)行必要的針對(duì)性專題復(fù)習(xí).要在復(fù)習(xí)中做到既有針對(duì)性又避免做無用功，既減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)又提高復(fù)習(xí)效率.當(dāng)然,要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題，就必然要求教師對(duì)題目有深入的理解，有較強(qiáng)的解題研題能力.就比如這節(jié)課，筆者就事先對(duì)這道題做了仔細(xì)研究，也從不同的角度進(jìn)行了思考，發(fā)現(xiàn)了其蘊(yùn)含的價(jià)值所以才選用到課堂上來.當(dāng)然也有考慮不周全的，經(jīng)過課堂與學(xué)生的探討也有意外收獲.比如學(xué)生丙與戊的解法，就給了筆者很大的啟發(fā)，也是促使筆者完成這篇文章的動(dòng)力所在.

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)都離不開解題，數(shù)學(xué)解題為學(xué)生提供了一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、提高數(shù)學(xué)能力、掌握數(shù)學(xué)思想方法的平臺(tái).數(shù)學(xué)解題本身不是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，不應(yīng)該把一堂堂活生生的數(shù)學(xué)課，變成滿黑板題目的習(xí)題課.一名好的數(shù)學(xué)老師，應(yīng)該把數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授作為一種途徑和載體，而不是目的；教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)的思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的意識(shí)，使他們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維.

數(shù)學(xué)解題教學(xué)一定要突出學(xué)生的主體地位，學(xué)生的思維不應(yīng)由老師掌控.傳統(tǒng)的教學(xué)方式是教師先對(duì)題目進(jìn)行分析，然后學(xué)生動(dòng)手，學(xué)生的分析問題、解決問題的能力沒有機(jī)會(huì)得到發(fā)展，思維能力也得不到培養(yǎng).在解題教學(xué)中，教師需要變主講為串講，將循循善誘精辟分析變?yōu)閷W(xué)生的思索感悟，要能夠放手讓學(xué)生參與自主探究、合作交流.讓學(xué)生在不斷嘗試下，在“做”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題，在“悟”中不斷提升解題技能.