云南 馬孟華

高三數(shù)學應如何復習備考，才能有效地提升備考效率，提升學生的思維水平，一直以來都是一線教師研究和實踐的重要課題.本文結合自身的課堂教學實踐，從數(shù)學課堂上常見的“一題多解”模式入手，拋開單純的解題過程，從對高考試題由淺入深、多維度視角的剖析中體現(xiàn)出試題蘊含的數(shù)學思想方法，站在體現(xiàn)數(shù)學思想方法的高度領略和感悟試題.從多種解法中提煉數(shù)學思想方法，再從數(shù)學思想方法的引領中優(yōu)化解題思路，兩者相輔相成，共同提升備考效率和思維水平.

在高考復習備考中，如果老師能適當?shù)?、有意識地選擇設計一些學生力所能及的典型問題進行一題多解，不僅會使學生提升對知識系統(tǒng)的橫向聯(lián)系和深刻理解，也可以開拓智力、培養(yǎng)和訓練學生的發(fā)散思維能力、優(yōu)化解題思路，最終在不同的解法思路下帶領學生領略和掌握數(shù)學思想方法這個強大的數(shù)學武器，最終達到通過解決一個問題來領悟多種數(shù)學思想方法，從而提升高考復習備考的效率，讓學生真正從思想武器的角度解決數(shù)學問題.

本文從2017年全國新課標卷Ⅲ理科12題的多維度分析入手，闡述了不同解法下蘊含的不同數(shù)學思想方法，并從中總結出解決高中階段最值、范圍問題的常用、有效的方法.

下面我們來看看2017年全國新課標卷Ⅲ理科12題.

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分析本題以向量知識為背景，考查最值問題，涉及代數(shù)、三角、解析幾何等內容，涉及知識面較廣.縱觀高考數(shù)學中最值問題的求解方法主要以雙變元消元法、三角換元法、數(shù)形結合法以及不等式放縮法為主，故可結合課堂教學實際，通過多方位、多層次的思考對本題采用一題多解的教學模式，在展示解題思路和方法的過程中帶領學生領悟數(shù)學思想，掌握求解最值問題的多種手段，提升復習備考效率.

解如圖所示，以點A為原點，AD方向為x軸正方向，AB方向為y軸正方向建立xAy坐標系，

故可得到以下各點的坐標：

A(0,0),B(0,1),C(2,1),D(2,0).

圓C與BD相切，則點C到BD的距離即為圓C的半徑r，由等面積法：

處理向量與圓綜合的問題，一般情況下會利用幾何和代數(shù)方法求解，結合題意，本題中的矩形條件就是題眼，自然想到了建立平面直角坐標系，轉化為代數(shù)方法求解.順利建立坐標系，將幾何問題轉化成代數(shù)問題.

設動點P的坐標為(x,y)，

結合要求λ+μ的最大值，

策略1雙變元消元法(函數(shù)思想)

雙變元消元法的核心在于將兩個變量控制的函數(shù)經(jīng)過消元轉化為一元函數(shù)，其前提條件是需知曉兩個變量之間的等式關系，最終將二元函數(shù)的最值問題轉化為一元函數(shù)的最值問題.

此時，z是變量x的一元函數(shù)，而求該函數(shù)的最大值也需采用換元法，

故此時可得λ+μ的最大值為3.

由于θ∈[0,π]，φ為銳角，故z=-sin(θ-φ)+2<3,

綜上,λ+μ的最大值為3.

評注此法應用了函數(shù)與方程思想，將雙變元函數(shù)通過消元法轉化為一元函數(shù)求最值，最后利用換元法求解一元函數(shù)最值，過程還需要分類討論，是比較復雜的一種解題方式.由于其復雜性和難操作性易被教師和學生所忽視.但筆者認為函數(shù)思想其實是求解此類問題中的一種通法，應該引起教師和學生的重視.一直以來，高考對數(shù)學思想方法的考查注重從學科整體意義和思想價值的高度立意，有明確的考查目的，加強針對性，注重通性通法，淡化特殊技巧，力圖有效地檢測考試對數(shù)學知識中所蘊含的數(shù)學思想方法的掌握程度.此法既強調了解決最值問題的一般處理模式，同時又在無形中拓寬和提升了學生解決一元函數(shù)最值問題的能力，對于高三課堂復習教學來說，既強調了對通式通法的掌握，又拓寬了研究數(shù)學問題的思路和方向，有效地提升了復習備考效率和學生的思維水平，讓學生能夠帶著數(shù)學思想和方法舉一反三，以不變應萬變.

策略2判別式法(方程思想)

策略3三角換元法/參數(shù)方程法(轉化和化歸思想)

則(*)式轉化為

故此時可得λ+μ的最大值為3.

評注此法實則采用了化歸和轉化的思想，通過將條件轉化為參數(shù)方程形式，使問題柳暗花明，相較于函數(shù)思想，此法優(yōu)勢明顯.化歸和轉化的思想是高考中必考的數(shù)學思想方法，其核心是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行變換，化歸為在已知知識范圍內已經(jīng)解決或容易解決的問題.該解法中，巧妙地將圓方程改寫為參數(shù)方程，將結果表達成了學生熟知的三角函數(shù)形式，故最值問題迎刃而解.

下面再來看看在轉化和化歸思想引導下的另一種解題策略.

策略4數(shù)形結合法(數(shù)形結合思想)

對待數(shù)學問題，學生不僅要善于對題目的表面形式進行觀察并發(fā)現(xiàn)其特點，而且也要善于挖掘條件和轉化其結論，把未知的條件或待求的結論化歸為已知條件或已知結論，綜合利用函數(shù)方程思想、轉化和化歸思想、數(shù)形結合思想解決問題.下面我們來看看本題的變式探究.

變式探究

在數(shù)形結合方法下，本題中求解λ+μ的最大值可改編成為：

變式2求λ2+4μ2+aλ+bμ+c(其中a,b,c為常數(shù))的最值.

解法：將λ2+4μ2+aλ+bμ+c化簡如下：

在數(shù)學習題教學復習備考中，恰當?shù)牟捎米兪秸蠌土暤慕虒W手段，以基本問題為載體，通過再生問題進行變式教學，以題根為基準對一定幅度的知識進行掃描教學，也是一種高效、有效的提升復習備考效率的手段，同時也是加強和鞏固對數(shù)學思想方法理解和應用的重要手段.

策略5不等式放縮法(分類與整合思想)

在前4種策略背景下，觀察到條件為變量x,y的二次方程，而結論卻是變量x,y的一次表達式，故可聯(lián)想到是否可以利用柯西不等式求解？下面來看看思維過程.

綜上,λ+μ的最大值為3.

小結本例從多角度對試題進行剖析，并在不同的解題策略中感悟和理解了不同數(shù)學思想方法的應用，收獲不小.以上五種策略的闡述在高三復習備考中不僅有效培養(yǎng)學生對數(shù)學思想方法的理解和掌握，而且也給出了高考中必考點：最值、范圍問題的常用處理方法(即“函數(shù)法”“判別式法”“換元法”“數(shù)形結合法”“不等式法”)，可謂一舉兩得，極大地提高了高考復習備考的效率，讓學生更有學習的欲望和動力，并提升了對數(shù)學學習、高考備考的信心.

下面我們再來看看高考數(shù)學和競賽數(shù)學試題中對最值、范圍問題的考查中所蘊含的數(shù)學思想方法.

解法一(雙變元消元法，函數(shù)思想)

解法二(不等式放縮法，分類和整合思想)

方向1構造柯西不等式求解

方向2構造重要不等式求解

由于a+b=5，故(a+1)+(b+3)=9，

當然，該方法利用配湊的方式得到結論的整體表達式，技巧性較強，學生難于接受和理解.這里我們還是比較偏向于使用柯西不等式法，方法簡潔明快，效果顯著.

解法三(代數(shù)換元法，數(shù)學結合思想、轉化與化歸思想)

方向1(數(shù)形結合法，數(shù)形結合思想)

方向2(三角換元法，轉化與化歸思想)

令x=3cosθ,y=3sinθ，

解法四(判別式法，方程思想)

再如：

分析從實數(shù)x,y滿足的等式關系來看，分離出x，并將等式關系化簡為x=f(y)的形式是極其困難且難以實現(xiàn)的.

解法一(函數(shù)與方程思想)

對方程兩邊平方，

方程變?yōu)?0t2-8xt+x2-4x=0(t≥0)，

故方程20t2-8xt+x2-4x=0有非負實數(shù)解，

所以x的取值范圍為{0}∪[4,20].

解法二(換元法，數(shù)形結合思想、分類與整合思想)

在思路2的基礎上，問題轉化為已知a,b滿足方程(a-1)2+(b-2)2=5(a,b≥0)，求a2+b2的取值范圍.

當動點(a,b)和定點O(0,0)重合時，動點到定點間的距離為0；

當然，全國數(shù)學聯(lián)賽試題難度較大，不宜放到高三復習課上進行講解.但從高考復習備考的角度，若將本題的結論改編為“求x的最大值”，則問題的難度就降低了，這樣就比較適合對高三學生的訓練和提升了.經(jīng)過改編后，本例不僅能夠從多維度提升學生的思維水平，而且也能加強學生對最值問題求解思路的深刻理解.在改編模式下，除了以上兩種解法外，還可以考慮不等式放縮法求最值，方法如下：

注意到右邊可利用柯西不等式進行放縮，即

“一題連數(shù)點，多解顯本質”.“數(shù)點”就是多種解題策略，而本質就是數(shù)學思想方法.高考對引導數(shù)學教學起著重要作用，要提高解題的能力和水平，首先應該站在較高的觀點上去研究解題，從數(shù)學的本質上看待解題，在解題的過程中體現(xiàn)數(shù)學思想方法，在思想方法的引領下不斷創(chuàng)新解題思路.最終以不變應萬變，才是我們數(shù)學高考備考以及日常教學所追求的.