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        《橢圓》教材分析

        2018-07-17 09:21:42林雪
        考試周刊 2018年62期
        關(guān)鍵詞:課程實(shí)施解讀橢圓

        摘要:圓錐曲線與方程在髙中數(shù)學(xué)課程中扮演著重要的角色,而橢圓作為選修2-1中第一個(gè)特殊的圓錐曲線,也是圓錐曲線的重要組成部分。通過建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)一步運(yùn)用方程探究它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),并且采用坐標(biāo)法解決一些實(shí)際問題或簡(jiǎn)單幾何問題,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。從實(shí)際應(yīng)用方面來看,橢圓與人類的科研、生產(chǎn)活動(dòng)以及生活都有非常密切的關(guān)系,尤其體現(xiàn)在研究橢圓透鏡、行星運(yùn)行的軌道、旋轉(zhuǎn)體軌道等等,所以對(duì)橢圓的理解和掌握顯得尤為重要。本文將從《橢圓》的教材解讀和課程實(shí)施這兩個(gè)方面進(jìn)行簡(jiǎn)單的研究。

        關(guān)鍵詞:橢圓;課程實(shí)施;解讀

        一、 《橢圓》的教材解讀

        (一) 橢圓

        1. 橢圓的定義

        把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距,用符號(hào)表示為:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).注意:(1)當(dāng)|F1F2|=2a時(shí),軌跡是以點(diǎn)F1、F2為端點(diǎn)的線段.(2)當(dāng)|F1F2|>2a時(shí),軌跡不存在。

        2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

        當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2,其中a>b>0;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2+x2b2=1,其中a>b>0;若給定了橢圓的方程為mx2+ny2=1,其中m>0,n>0,要根據(jù)m,n的大小關(guān)系來判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。

        3. 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

        標(biāo)準(zhǔn)方程

        x2a2+y2b2=1(a>b>0)

        y2a2+x2b2=1(a>b>0)

        圖形

        焦點(diǎn)坐標(biāo)

        (-c,0)、(c,0)

        (0,-c)、(0,c)

        頂點(diǎn)坐標(biāo)

        (±a,0)、(0,±b)(±b,0)、(0,±a)

        范圍

        |x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a

        焦距2c

        對(duì)稱性

        對(duì)稱軸:x軸、y軸;對(duì)稱中心:原點(diǎn)

        長(zhǎng)短軸

        長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b

        a,b,c關(guān)系

        c2=a2-b2,a>b>0,a最大

        離心率

        e=ca=1-b2a2,0

        (二) 橢圓的地位及作用分析

        教材中2.2節(jié)的橢圓作為本章的第一個(gè)具體的圓錐曲線,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了必修2的直線與圓的方程,對(duì)曲線和方程的概念有了一定的了解,同時(shí),也是運(yùn)用坐標(biāo)法研究的第一個(gè)具體的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其基本性質(zhì),為后面雙曲線、拋物線的學(xué)習(xí)和研究提供了理論基礎(chǔ),從思想上說,本節(jié)課是運(yùn)用《曲線與方程》思想解決二次曲線問題的一個(gè)特殊例子;從內(nèi)容上說,本節(jié)課是運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問題的實(shí)際演練,也是研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。同時(shí),也為進(jìn)一步研究另外兩種圓錐曲線——雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)。所以,本節(jié)內(nèi)容起著承上啟下的連接作用,在本章也占據(jù)重要的地位,也是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容,因此橢圓的學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)中有著舉足輕重和不可或缺的作用。

        二、 課程實(shí)施

        課程實(shí)施是實(shí)現(xiàn)預(yù)期教育結(jié)果的手段,它不僅僅是教師教的過程,更是學(xué)生學(xué)的過程。在課程實(shí)施中,要摒棄一些課堂中存在的單一、被動(dòng)與封閉的學(xué)習(xí)方式,提倡和發(fā)展多樣化的學(xué)習(xí)方式,特別是要提倡自主、探究、合作的學(xué)習(xí)方式,讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人,使學(xué)生的主體意識(shí)、能動(dòng)性和創(chuàng)造性不斷得到發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

        對(duì)于《橢圓》這一節(jié)的學(xué)習(xí),第一小節(jié)是橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程,第二小節(jié)是橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。在第一課時(shí)的課程實(shí)施中,主要采用探究式、啟發(fā)式相結(jié)合的教學(xué)方法,可以借助幾何畫板等多媒體工具展示橢圓的形成過程,并且讓學(xué)生也動(dòng)手操作,小組合作討論出橢圓的定義,在實(shí)際教學(xué)中,始終堅(jiān)持以學(xué)生為主體,為學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流的機(jī)會(huì)搭建平臺(tái),引導(dǎo)學(xué)生積極思考,鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的見解,教師進(jìn)行補(bǔ)充后,讓學(xué)生深入體會(huì)并掌握橢圓的定義,進(jìn)而達(dá)到從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。再運(yùn)用其定義推導(dǎo)出它的標(biāo)準(zhǔn)方程,并解釋說明a、b、c所表示的意義。通過教材的三個(gè)例題介紹不同的求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,讓學(xué)生進(jìn)一步深化本節(jié)課的知識(shí)。

        新課標(biāo)要求,立體幾何的教學(xué)要直觀感知,操作確認(rèn)。對(duì)于第二課時(shí)《橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》的課程實(shí)施中,同樣借助多媒體輔助手段及實(shí)物投影,創(chuàng)設(shè)問題情境,并通過圖形引導(dǎo)學(xué)生形象直觀地體驗(yàn)由數(shù)到形的過渡,便于學(xué)生觀察、認(rèn)知、探求、發(fā)現(xiàn)、歸納。通過觀察橢圓的圖形,回答出橢圓的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、橢圓的長(zhǎng)軸和短軸等等。利用幾何畫板,固定a的大小,改變c的大小,讓學(xué)生觀察橢圓的扁平程度和a、c的值的關(guān)系,進(jìn)而導(dǎo)出離心率e的范圍:0

        在整個(gè)課程實(shí)施中,始終堅(jiān)持學(xué)生為主體,教師為主導(dǎo)的作用,讓學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣,貫徹?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng),達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

        參考文獻(xiàn):

        [1]劉紹學(xué),錢佩玲,章建躍.人教A版數(shù)學(xué)選修2-1[M].北京:人民教育出版社,38-45.

        作者簡(jiǎn)介:

        林雪,四川省南充市,西華師范大學(xué)。

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