曾文 周朝彪 桂朝覲

豎直平面的圓周運動是高中物理的重難點內(nèi)容，由于此類題型涉及變速曲線運動及牛頓定理的靈活運用，因此學(xué)生對其較難掌握，為了讓學(xué)生對此類問題能有更清晰的認識和理解，下文就此類問題分四種情況進行討論。

一、繩拉球模型

一輕質(zhì)繩半徑為r，繩端系一質(zhì)量為m的物體，在豎直平面內(nèi)做圓周運動的受力分析。

1.最高點，如圖1所示：

（1）由于輕繩只能提供拉力，在最高點對小球受力分析，因此臨界條件為剛好由重力提供向心力，由牛頓第二定律可得：

mg=m■ ①

此時小球恰好能過最高點，臨界速度為

v=■ ②

（2）當v<■時，小球不能通過最高點。

（3）當v≥■時，小球可以通過最高點?？梢钥闯?，當小球運動速度越快時，其輕繩拉力越大。

2.最低點，如圖2所示：

由牛頓第二定律可得

F■=F■-mg=m■ ③

由此可見，當小球的運動速度越大時，輕繩拉力越大。

二、桿模型

一根長為r的輕桿，其一端與一質(zhì)量為m的小球相連，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動。

1.最高點，如圖3所示：

由于輕桿與輕繩不同，除了可以提供拉力之外還能提供支持力，因此其受力：

F■=mg±F■=m■ ④

（1）當V=0時，小球的重力和桿對小球的支持力滿足二力平衡，小球剛好能通過最高點。

（2）當④式取減號時，輕桿對小球的作用表現(xiàn)為支持力，此時小球速度越大，輕桿支持力越小，當v=■時，F(xiàn)■=0，即只由重力提供向心力。

（3）當④式取加號時，即v≥■時，輕桿對小球的作用表現(xiàn)為向下的拉力，此時小球速度越大，輕桿拉力越大。

2.最低點，如圖4所示：

最低點時與輕繩情況相同，均表現(xiàn)為拉力，小球速度越大時，輕桿對其的拉力越大。

三、圓軌內(nèi)側(cè)運動模型

一內(nèi)壁光滑半徑為r的圓環(huán)豎直放置在平面內(nèi)，質(zhì)量為m的小球沿其內(nèi)表面做圓周運動。

1.最高點時的情況和繩拉球模型一樣，如圖5所示即可得出：

（1）當v=■時，此時速度為臨界值，小球剛好能通過最高點。

（2）當v<■時，小球不能通過最高點。

（3）當v>■時，小球可以通過最高點且對壁有壓力。

2.最低點，如圖6所示：

這時由③式可知；小球運動速度越大，則內(nèi)軌的支持力越大。

四、小球在豎直管內(nèi)做圓周運動

一內(nèi)壁光滑豎直放置的半徑為r圓管形軌道，質(zhì)量為m的小球在其管內(nèi)做圓周運動，小球直徑略小于管內(nèi)徑。

1.最高點，如圖7所示：

此模型和輕桿模型一樣，軌道可能受小球的壓力和支持力，牛頓方程和④相同。

（1）當v=■時，此時只由重力提供向心力，小球不受軌道的作用力。

（2）當v<■時，管道對小球表現(xiàn)為內(nèi)管壁對小球的向上的支持力。

（3）當v>■時，管道對小球表現(xiàn)為外管壁對小球的向下的支持力。

（4）當v=0時，物體剛能過最高點；即為過最高點的臨界條件。

2.最低點，如圖8所示：

這時由③式可知；小球運動速度越大，則軌道對小球的支持力越大。

總結(jié)：分析圓周運動時，找準向心力的來源尤為重要；豎直平面內(nèi)的圓周運動在最高點和最低點問題的求解關(guān)鍵就是對質(zhì)點（小球）進行受力分析得出向心力即為合外力（F■），再由牛頓第二定律列出方程即可求解。