□ 王小權(quán) 戴銀杏

空間觀念是課程標(biāo)準(zhǔn)提出的核心概念之一，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分?！读x務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，小學(xué)生在圖形與幾何的學(xué)習(xí)過程中，能對實(shí)物及圖形的運(yùn)動與變化進(jìn)行適當(dāng)?shù)拿枋觯⒛馨盐障嗷ラg的關(guān)系。由此可見，物體及圖形的運(yùn)動已經(jīng)成為課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要途徑之一。為此，筆者開展了運(yùn)動變化觀點(diǎn)下的小學(xué)圖形與幾何教學(xué)的實(shí)踐，就是將物體和圖形的運(yùn)動融入課堂教學(xué)中，將靜態(tài)的幾何圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)等動態(tài)化處理，讓學(xué)生在創(chuàng)設(shè)的動態(tài)情境中獲得直觀體驗(yàn)，從而更加精準(zhǔn)、深刻地理解圖形的本質(zhì)特征和空間關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

一、動態(tài)挖掘概念本質(zhì)，精準(zhǔn)理解概念內(nèi)涵

小學(xué)生的思維以具體形象為主，教材在內(nèi)容的編排時一般都會順應(yīng)學(xué)生的思維特點(diǎn)，使學(xué)習(xí)素材力求體現(xiàn)直觀形象、易于感知。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，容易被事物外部的顯性表征所吸引，使學(xué)習(xí)活動流于表層，對具有高度抽象性和內(nèi)隱性的本質(zhì)特征卻感而不悟。因此，在圖形與幾何的教學(xué)中，可以借助動態(tài)處理，使概念內(nèi)隱的本質(zhì)特征顯性化，從而促進(jìn)學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的感悟與理解。

比如，“平行與垂直”一課，教材的編排意圖是讓學(xué)生任意畫兩條直線，然后通過觀察分類得出兩條直線的位置關(guān)系，并總結(jié)平行線的概念。如果就此按部就班進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生往往能熟練記住概念，但對于“兩條直線相交但還沒有交叉”的情況往往不能做出正確的判斷。筆者覺得問題的癥結(jié)在于學(xué)生對平行線的概念認(rèn)知建立在兩條直線“不相交”的外在表征上，而沒有透過這一現(xiàn)象挖掘出“平行線之間的距離處處相等”的本質(zhì)屬性。于是，筆者從動態(tài)處理的視角進(jìn)行了實(shí)踐探索。

（一）動態(tài)想象，呈現(xiàn)素材

課始，筆者通過多媒體演示對圖形的平移和旋轉(zhuǎn)知識進(jìn)行了回顧復(fù)習(xí)，然后組織學(xué)生通過空間想象創(chuàng)設(shè)了下面的動態(tài)情境：

師：請閉上眼睛，根據(jù)老師的描述展開想象，格子圖上有一條直線，它開始向上作平移運(yùn)動，然后停下來了。想一想，這兩條直線的位置關(guān)系是怎樣的？

此時，學(xué)生根據(jù)老師的描述展開空間想象。

師：格子圖上的一條直線繞著線上的某個點(diǎn)開始旋轉(zhuǎn)，它不停地轉(zhuǎn)，忽然停了下來。想一想，這兩條直線的位置關(guān)系又是怎樣的？

……

學(xué)生在動態(tài)想象中，既積累了直線運(yùn)動的活動經(jīng)驗(yàn)，又借助已有的圖形運(yùn)動經(jīng)驗(yàn)充分感知了平面內(nèi)兩條直線的空間關(guān)系，為后續(xù)的探究活動提供了研究素材，激活了相關(guān)的活動經(jīng)驗(yàn)，同時也促進(jìn)了空間想象能力的發(fā)展。

（二）經(jīng)驗(yàn)遷移，挖掘本質(zhì)

學(xué)生的學(xué)習(xí)是基于自身經(jīng)驗(yàn)的生長，創(chuàng)設(shè)與學(xué)生緊密聯(lián)系的平移情境,激活了學(xué)生已有的活動經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生對平行線本質(zhì)特征的挖掘。在學(xué)生完成作品后，筆者有針對性地挑選了部分作品（如下圖）進(jìn)行了交流。

師：請你仔細(xì)觀察，看看哪些作品是通過圖形平移得到的，哪些作品是通過圖形旋轉(zhuǎn)得到的？

在學(xué)生進(jìn)行區(qū)分后，教師繼續(xù)追問。

師：比較一下，通過平移得到的兩條直線和通過旋轉(zhuǎn)得到的兩條直線的位置關(guān)系有什么不同？

生：通過旋轉(zhuǎn)得到的兩條直線會相交，而通過平移得到的兩條直線不會相交。

師：通過平移得到的兩條直線為什么不會相交呢？

生：直線平移后，直線上的每一個點(diǎn)都平移了，所以每一處對應(yīng)點(diǎn)的距離都是相等的。

師：每一處的距離都要相等嗎？相差一點(diǎn)點(diǎn)也不行嗎？

生：只要有一處不相等，就不是通過平移得到的，所以就不平行。

……

以上過程中，學(xué)生把從平移中獲得的經(jīng)驗(yàn)遷移到平行線的認(rèn)知中，使“平行線之間的距離處處相等”這一隱性特征得以顯性化，加深了學(xué)生對概念本質(zhì)的深度理解，同時也為后續(xù)平行線的應(yīng)用埋下了伏筆。

(三)操作應(yīng)用，內(nèi)化概念

當(dāng)學(xué)生理解了概念的本質(zhì)屬性后，要及時引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐應(yīng)用加深對所學(xué)知識的理解并得到內(nèi)化。隨后，筆者讓學(xué)生經(jīng)歷畫平行線的過程，進(jìn)一步感悟“平移→平行→平移”的認(rèn)知過程，即從平移現(xiàn)象中學(xué)習(xí)平行的本質(zhì)特征，再用本質(zhì)特征去解釋平移的現(xiàn)象，深化概念的理解。

二、動態(tài)變式概念表征，深度拓寬概念外延

小學(xué)教材中，幾何概念的本質(zhì)屬性一般通過基本圖形的共性特征得到體現(xiàn)，因而易于被學(xué)生所感知，但也往往造成學(xué)生認(rèn)知上的局限。因此，筆者通過圖形的運(yùn)動變式概念表征，使學(xué)生從圖形“變”的現(xiàn)象中感悟“不變”的本質(zhì)，從而拓寬概念外延，突破認(rèn)知局限，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

比如，人教版五年級下冊“三角形的認(rèn)識”一課中，以銳角三角形為例學(xué)習(xí)了高的概念以后，需要引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)特征在直角三角形和鈍角三角形中進(jìn)一步認(rèn)識兩類特殊的高，這也是學(xué)生認(rèn)識高的一個難點(diǎn)，筆者從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行了探索。

（一）動中察變，感知規(guī)律

教學(xué)中，在學(xué)生認(rèn)識了銳角三角形中的高后，筆者出示了平行線內(nèi)的一個銳角三角形，并作動態(tài)演示（如下圖）：兩條平行線間的銳角三角形ABC，以BC為底畫出三角形的高，然后把頂點(diǎn)A沿著平行線中的一條直線向右平移，此時三角形底邊上的高也會隨著頂點(diǎn)A向右移動，形成了一系列同底等高的銳角三角形，然后引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)圖形運(yùn)動的變化規(guī)律。

師：三角形的什么在變，什么沒有變？

生：三角形的形狀在變，但底不變。

生：高隨著頂點(diǎn)移動，但長短不變。

師：你能說說高的位置移動與三角形的形狀變化之間有什么聯(lián)系嗎？

生：高的位置越來越靠近AC這條邊。

繼續(xù)演示：向右平移頂點(diǎn)A，當(dāng)出現(xiàn)高與AC重合時停止。

師：高在什么位置？

生：三角形的高與直角邊重合了，這時直角邊AC既是三角形的邊，又可以看作是三角形的高。

……

此環(huán)節(jié)的教學(xué)，通過圖形的動態(tài)演示，讓學(xué)生在觀察圖形的變與不變中，感知圖形的形狀和高的位置在變，但三角形高的本質(zhì)不變。

（二）變中求聯(lián)，拓寬外延

在學(xué)生認(rèn)識了直角邊上的高，感知了三角形高的位置移動變化規(guī)律后，筆者繼續(xù)讓學(xué)生通過動態(tài)變化想象鈍角三角形鈍角邊上的高。

師：如果直角三角形的頂點(diǎn)A繼續(xù)向右邊平移，想象一下，會產(chǎn)生什么三角形？它的高又會在什么位置呢？

學(xué)生展開動態(tài)想象，大部分學(xué)生對于高的位置不置可否。此時教師繼續(xù)演示：向右平移頂點(diǎn)A，形成了一個鈍角三角形。

師：這是什么三角形？（鈍角三角形）它的高在什么位置？

生：在三角形的外面。

師：這還是三角形的高嗎？

生：還是三角形的高，因?yàn)檫@還是一條從三角形的頂點(diǎn)A向它的對邊BC所做的一條垂直線段。

師：通過剛才的一系列變化，你有什么發(fā)現(xiàn)?

生：不管哪一條高，都是頂點(diǎn)到它的對邊作一條垂直線段，但位置不一樣了。銳角三角形的高在三角形里面，直角三角形的高與直角邊重疊，鈍角三角形的高跑到三角形的外面了。……

以上的教學(xué)過程，筆者從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，抓住三類三角形“同底等高”的這一聯(lián)系點(diǎn)，通過平移三角形的頂點(diǎn)，拓寬了三角形高的外延，突破了三角形高的認(rèn)知局限，同時也突出了三角形高的本質(zhì)屬性，促進(jìn)了學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

（三）聯(lián)中促通，突破難點(diǎn)

當(dāng)學(xué)生完整建構(gòu)了三角形高的概念后，畫高成了學(xué)生學(xué)習(xí)的重要任務(wù)，特別是畫鈍角三角形外面的高時，學(xué)生往往找不到三角板擺放的位置。筆者在實(shí)踐中采取“聯(lián)中促通、動態(tài)遷移”的方法突破了畫高難點(diǎn)。

師：畫這條鈍角邊上的高，你覺得三角尺放在什么位置合適呢？（出示一個鈍角三角形）

生：我們可以借助平移高的方法，讓三角板的一條直角邊與三角形的底邊重合，然后沿著三角形的底邊向頂點(diǎn)所在一邊平移，直到三角尺的另一直角緊靠著頂點(diǎn)，然后畫出高。

……

以上教學(xué)片段中，學(xué)生在畫鈍角三角形外面的高時，沒有采取從頂點(diǎn)向?qū)呑饕粭l垂線的常規(guī)畫法，而是借助了之前因平移頂點(diǎn)而導(dǎo)致高的位置移動的活動經(jīng)驗(yàn)，通過平移三角板的方式找到了高的準(zhǔn)確位置，實(shí)現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)的融通和方法的遷移，突破了學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

三、動態(tài)梳理概念關(guān)系，系統(tǒng)建立知識結(jié)構(gòu)

圖形與幾何教學(xué)中，每一個概念都有著各自獨(dú)特的屬性，概念之間也有著非常密切的聯(lián)系。在動態(tài)中梳理概念之間的關(guān)系，既可以清晰地掌握概念的本質(zhì)特征，同時又可以系統(tǒng)構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)。

例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了五年級上冊平面圖形的面積后，在學(xué)生借助面積計算公式梳理知識后，筆者嘗試讓學(xué)生通過圖形的運(yùn)動尋找多邊形間的特殊關(guān)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。

（一）變中求異，初步感知

師：平行四邊形和梯形是四邊形家族中的重要成員，它們間有什么不同的地方呢？

生：它們都是四邊形，最大的不同是平行四邊形有兩組對邊平行，而梯形只有一組對邊平行。

筆者通過動態(tài)演示：把梯形上底的一個頂點(diǎn)進(jìn)行平移，使兩腰也平行，變成了平行四邊形。

師：通過剛才的演示，什么在變，什么沒有變？

生：當(dāng)梯形的上、下底長度相等時，該梯形也就成了一個“特殊”的梯形。

……

學(xué)生在動態(tài)演示過程中，初步感知了通過改變圖形的特征，可以實(shí)現(xiàn)圖形間的相互轉(zhuǎn)化，從“另類”的視角打開了圖形關(guān)系梳理的一扇窗。

（二）變中求同，系統(tǒng)建構(gòu)

當(dāng)學(xué)生初步感知了梯形和平行四邊形的變與不變之后，筆者借助多媒體繼續(xù)演示：沿著梯形的上底向右平移頂點(diǎn)A，（如右上圖）當(dāng)上下底相等時，圖形變成了上下底相等的“特殊梯形”（平行四邊形）；如果反之，當(dāng)這個A點(diǎn)逐漸挨近B點(diǎn)，當(dāng)上底的兩個頂點(diǎn)重合時，圖形變成了上底等于零的“特殊梯形”（三角形）。

在圖形的動態(tài)變化過程中，學(xué)生感悟了改變梯形上下底的長度關(guān)系，梯形可以在平行四邊形和三角形之間互相轉(zhuǎn)化，那么梯形的面積計算公式就可以將平行四邊形和三角形的面積計算方法包括其中，達(dá)到以簡馭繁、以少統(tǒng)多的效果，使概念間的關(guān)系在動態(tài)梳理中更加系統(tǒng)。

(三)變中求解，綜合應(yīng)用

我們經(jīng)常會碰到這樣的一類題目：比較兩條平行線之間的平行四邊形、三角形和梯形的面積大?。ㄈ缦聢D）。對于此類題目，我們一般的處理方法是假設(shè)出高的值，然后運(yùn)用公式進(jìn)行計算比較。

以上方法是建立在圖形面積公式的熟練計算的基礎(chǔ)上，如果我們借助圖形的動態(tài)處理，把三角形和平行四邊形分別看作上底是零、上下底相等的特殊梯形。那么在高相等的前提下，只要比較梯形上下底和的大小，就可以輕而易舉地得出三個圖形面積的大小關(guān)系，既解決了問題，又發(fā)展了學(xué)生的思維。

總之，運(yùn)動變化觀點(diǎn)下的圖形與幾何教學(xué)，其實(shí)質(zhì)是借助物體與圖形的運(yùn)動，把抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成動態(tài)的具體表象，使幾何表征更加直觀形象，空間關(guān)系更加簡潔清晰，知識結(jié)構(gòu)更加完整系統(tǒng)，有利于促進(jìn)學(xué)生空間觀念的深刻發(fā)展。

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[1]張奠宙.小學(xué)數(shù)學(xué)如何實(shí)現(xiàn)從直觀到抽象的飛躍[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2015（5）.

[2]朱樂平.談小學(xué)空間與圖形教學(xué)內(nèi)容的動態(tài)處理[J].江蘇教育研究，2009（11B）.