□ 周君斌

在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念之前，學(xué)生的頭腦中并非一片空白。通過(guò)日常生活的各種渠道和自身的實(shí)踐，學(xué)生對(duì)許多數(shù)學(xué)概念已經(jīng)形成了初步的認(rèn)識(shí)和觀念，建構(gòu)了大量樸素的“前概念”。也就是說(shuō)，學(xué)生數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，總是建立在“前概念”的基礎(chǔ)之上。由此，在設(shè)計(jì)“面積的意義”教學(xué)活動(dòng)前，為了更全面、準(zhǔn)確地了解學(xué)生的“前概念”，筆者采用問(wèn)卷調(diào)查的方式，對(duì)班級(jí)47名學(xué)生進(jìn)行了“前概念”調(diào)查研究，以便設(shè)計(jì)出更加合理、更加有效的教學(xué)流程，從而提高課堂教學(xué)的有效性。

一、調(diào)查內(nèi)容及結(jié)果

調(diào)查題1：你聽(tīng)說(shuō)過(guò)“面積”嗎？你能用自己的話來(lái)說(shuō)一說(shuō)什么叫面積嗎？

調(diào)查意圖：

考查學(xué)生對(duì)“面積”一詞的知曉率和認(rèn)知程度。

調(diào)查結(jié)果：

調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，在對(duì)“面積”一詞的知曉度上，有21.3%的學(xué)生從不同場(chǎng)合聽(tīng)說(shuō)過(guò)。從他們的表述來(lái)看，基本上是用“占地”“一樣?xùn)|西的范圍”“地方的大小”等生活化的語(yǔ)言來(lái)描述面積的概念。此外，還有學(xué)生知道“平方米是一個(gè)面積單位”?？傮w來(lái)看，一部分學(xué)生在日常生活中對(duì)“面積”已經(jīng)有了初步的感知，但缺乏深入觀察和思考。

調(diào)查題2：下面六個(gè)圖形中，哪些圖形可以看出它的大小，哪些圖形沒(méi)有大小？先在你認(rèn)為有大小的圖形下面的（）里面打“√”，然后從中選一個(gè)圖形，用你喜歡的方式表示出該圖形的大小。

調(diào)查意圖：

教材都是用“物體表面或封閉圖形的大小”來(lái)定義“面積”。在這個(gè)定義中，首先要抓住面積的度量對(duì)象：物體表面或封閉圖形，然后是“大小”。那么，學(xué)生在學(xué)習(xí)面積之前，他的直覺(jué)或者說(shuō)他原有的知識(shí)積累，能否對(duì)“怎么樣的圖形才有大小”做出正確的判斷？并且，在他們的心目中，圖形的大小指的是哪里呢？帶著這樣的疑問(wèn)，筆者設(shè)計(jì)了這道調(diào)查題，意在考查學(xué)生對(duì)“面積”概念的內(nèi)涵和外延的原始認(rèn)知。

調(diào)查結(jié)果：

首先，在判斷圖形有無(wú)大小上，只有15人做出了正確的選擇，占樣本總?cè)藬?shù)的31.9%。而在錯(cuò)誤選擇上，主要是“葉片實(shí)物圖”和“曲邊不規(guī)則圖形”。需要注意的是，只有2人選擇了角，說(shuō)明在先前的“周長(zhǎng)”概念學(xué)習(xí)里，學(xué)生已經(jīng)對(duì)“封閉圖形”有了較為豐厚的經(jīng)驗(yàn)。故而，課堂上不需要做太多的解釋。

其次，在表示圖形的大小上，21.3%的學(xué)生表示正確。這部分學(xué)生是用涂一涂或畫(huà)一畫(huà)的方式表示出大小。而在錯(cuò)誤表示中，多數(shù)學(xué)生是用粗線描出圖形的一周，認(rèn)為圖形的大小指的就是圖形的一周。需要注意的是，筆者通過(guò)訪談發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生雖然描畫(huà)了圖形的外緣邊線，但他們心里想著的是“邊線里邊的一整片”。在他們看來(lái)，“我把外圍邊線描畫(huà)一遍，也就是把邊線里面的整片區(qū)域包圍進(jìn)來(lái)了”。不僅如此，相對(duì)于內(nèi)部區(qū)域的白色，外緣邊線的黑色也在視覺(jué)上給學(xué)生帶來(lái)了強(qiáng)烈的刺激。

調(diào)查題3：如下圖所示，將正方形甲割成兩片，然后再拼成乙圖。請(qǐng)問(wèn)甲、乙兩圖，哪一個(gè)比較大？（）

A.甲圖比較大 B.乙圖比較大

C.甲圖和乙圖一樣大 D.無(wú)法比較

調(diào)查意圖：

面積是一個(gè)幾何量。在皮亞杰看來(lái)，“守恒是獲得數(shù)和量概念的重要條件，兒童沒(méi)有守恒概念就不能真正認(rèn)識(shí)數(shù)和量?！苯橛诖耍瑸榱丝疾閷W(xué)生是否具有守恒概念，筆者安排了這道調(diào)查題。

調(diào)查結(jié)果：

調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，有70.2%的學(xué)生不受形狀變化的影響，做出正確判斷。而有27.7%的學(xué)生受知覺(jué)變化的影響，認(rèn)為“當(dāng)形狀改變時(shí)，圖形的大小也改變了”。

調(diào)查題4：小明用同樣長(zhǎng)的兩根鐵絲圍成了甲、乙兩個(gè)圖形，那么（ ）。

A.甲比乙大 B.乙比甲大

C.一樣大 D.無(wú)法比較

調(diào)查意圖：

一個(gè)封閉圖形，不僅有面積，還有周長(zhǎng)。面積與周長(zhǎng)是同時(shí)存在于一個(gè)封閉圖形的兩個(gè)幾何量。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，教完面積之后，經(jīng)常有學(xué)生混淆圖形的周長(zhǎng)與面積。那在沒(méi)有學(xué)習(xí)面積之前，學(xué)生是否也會(huì)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題？帶著這樣的思考，筆者設(shè)計(jì)了這道調(diào)查題，意在考查學(xué)生對(duì)圖形大小與周長(zhǎng)關(guān)系的原始認(rèn)知。

調(diào)查結(jié)果：

按照預(yù)想，這兩個(gè)圖形的形狀差距較大，學(xué)生利用已有的生活經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)當(dāng)能輕易得出圖形甲比圖形乙大的結(jié)論。但結(jié)果表明：有80.9%的學(xué)生認(rèn)為圖形甲和圖形乙一樣大。究其原因，這部分學(xué)生是從周長(zhǎng)的角度去思考圖形的大小，認(rèn)為周長(zhǎng)相等即大小相等。實(shí)際上說(shuō)明學(xué)生受先前“周長(zhǎng)”概念學(xué)習(xí)的負(fù)遷移，會(huì)更加關(guān)注圖形的外緣邊線，而不是所圍平面區(qū)域的大小。

調(diào)查題5：在方格紙上數(shù)一數(shù)，然后填寫(xiě)在橫線上。（不滿一格的都按半格計(jì)算）

調(diào)查意圖：

方格紙是比較或度量圖形面積的重要工具。這道題讓學(xué)生用格子個(gè)數(shù)來(lái)刻畫(huà)圖形的面積，考查學(xué)生能否在方格紙上正確數(shù)出一個(gè)圖形所占的單位個(gè)數(shù)，是否具有基本測(cè)量單位的觀念。

調(diào)查結(jié)果：

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，有36人能在方格紙上正確數(shù)出每個(gè)圖形所占的格子數(shù)，占樣本總數(shù)的76.6%。對(duì)于不完整的方格，學(xué)生想到可以從圖中切出一個(gè)三角形并將它拼補(bǔ)到另一個(gè)三角形，從而得到基本測(cè)量單位?？梢?jiàn)，多數(shù)學(xué)生不僅具有面積守恒的觀念，而且能運(yùn)用正方形作為基本測(cè)量單位來(lái)進(jìn)行度量。而在錯(cuò)誤答案中，有12.3%的學(xué)生認(rèn)為甲圖占3個(gè)方格，丙圖占6個(gè)方格；另有2人認(rèn)為丙圖占8個(gè)方格。不難看出，這部分學(xué)生只計(jì)數(shù)了圖形里的完整方格，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到三角形與正方形所表示的基本測(cè)量單位之間的聯(lián)系。對(duì)他們來(lái)說(shuō)，還沒(méi)有基本測(cè)量單位的觀念。

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調(diào)查題6：兩個(gè)長(zhǎng)方形，都被信封遮住了一部分。猜一猜哪個(gè)長(zhǎng)方形大，寫(xiě)一寫(xiě)你的想法。

調(diào)查意圖：

面積是對(duì)“面”的度量。因此，學(xué)習(xí)面積，肯定要研究面的大小。而研究面的大小，學(xué)生就要經(jīng)歷比較兩個(gè)或多個(gè)面的大小。需要追問(wèn)的是，學(xué)生是采用什么策略來(lái)判斷兩個(gè)圖形的大小呢？由此想到設(shè)計(jì)這樣一道調(diào)查題，意在考查學(xué)生在圖形大小判斷上所采用的認(rèn)知策略。

調(diào)查結(jié)果：

調(diào)查顯示，有17人只給出了猜想，沒(méi)有陳述理由。而在給出理由的學(xué)生中，將近20%的學(xué)生是用部分代替了整體。他們之所以認(rèn)為②號(hào)比①號(hào)大，是因?yàn)棰谔?hào)長(zhǎng)方形露出來(lái)的部分要比①號(hào)的大；其次，30%左右的學(xué)生是以兩個(gè)長(zhǎng)方形的某一個(gè)維度作為判斷圖形大小的標(biāo)準(zhǔn)。其中，有8人是從寬的角度去考慮大小，認(rèn)為②號(hào)長(zhǎng)方形的寬比①號(hào)的寬一些，所以②號(hào)比①號(hào)大；有7人是從長(zhǎng)的角度去考慮大小，猜想①號(hào)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)會(huì)比②號(hào)長(zhǎng)，所以①號(hào)比②號(hào)大。此外，還有5人是從長(zhǎng)方形的兩個(gè)維度綜合考慮，具有辯證意識(shí)。

二、教學(xué)建議與思考

（一）直面學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)，在舉例與對(duì)話中，修正原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)

從前測(cè)調(diào)查中可以看到，有學(xué)生早已從買房、搬家等渠道了解面積、面積單位等詞匯。不僅如此，對(duì)于小學(xué)三年級(jí)的學(xué)生而言，已經(jīng)在前期的生活和學(xué)習(xí)中積累了“大小”的觀念，無(wú)論是在區(qū)分哪些圖形有大小上，還是在用自己的方式表示某一圖形的大小上，都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了鮮活的學(xué)習(xí)素材和學(xué)習(xí)資源，關(guān)鍵在于我們?nèi)绾纬尸F(xiàn)并處理學(xué)生的錯(cuò)誤資源（或錯(cuò)誤的理解）。筆者想到，以學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)為切入口，上課伊始，開(kāi)門見(jiàn)山，直接揭題，通過(guò)“你們聽(tīng)說(shuō)過(guò)面積嗎？在哪兒聽(tīng)過(guò)？”“我們身邊哪兒有面積？”等問(wèn)題，激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)。在這個(gè)過(guò)程中，通過(guò)學(xué)生的舉例和對(duì)話，既實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的提取和檢驗(yàn)，也實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對(duì)物體面積的認(rèn)識(shí)。而在學(xué)生認(rèn)識(shí)物體的面積后，讓學(xué)生試著用自己喜歡的方式表示出一組圖形的面積（見(jiàn)下圖）。接著，通過(guò)“并聯(lián)反饋”的方式（既呈現(xiàn)正確的做法，也呈現(xiàn)錯(cuò)誤的做法），引導(dǎo)學(xué)生在討論、辯論中對(duì)原有認(rèn)知進(jìn)行修正和重構(gòu)，逐步實(shí)現(xiàn)面積概念的同化和學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

（二）在“線”與“面”的辨析中，區(qū)分面積與周長(zhǎng)

從前測(cè)調(diào)查中不難發(fā)現(xiàn)，在相當(dāng)一部分學(xué)生的心目中，“線的長(zhǎng)短”即“面的大小”。對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，“線”與“面”混為一談。鑒于此，在建立“面積”概念時(shí)，教師就要強(qiáng)化“面積”的本質(zhì)，注意面積與周長(zhǎng)的概念區(qū)分。如當(dāng)有學(xué)生舉例介紹數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積時(shí)，可以讓學(xué)生置身于“指周長(zhǎng)”與“摸面積”的辨析活動(dòng)，使學(xué)生結(jié)合具體材料初步感知“面積在物體內(nèi)部，周長(zhǎng)在外圍邊線”。此外，在用自己的方式表示圖形的面積時(shí)，再次安排辨析，通過(guò)對(duì)不同作品的比較和討論，凸顯面積是對(duì)“面”的度量的核心本質(zhì)。概念建立的過(guò)程是比較、辨析伴隨的過(guò)程。為了強(qiáng)化兩者的區(qū)分，教師可以適時(shí)呈現(xiàn)一道概念辨析練習(xí)。例如，有一個(gè)長(zhǎng)方形花壇，現(xiàn)在要在花壇的四周圍上柵欄，還要在花壇內(nèi)鋪上草坪（見(jiàn)右圖）。想想看，哪個(gè)情形需要考慮花壇的面積？面積和周長(zhǎng)有什么區(qū)別？

①在花壇的四周圍上柵欄②給花壇鋪上草坪

（三）在“一維”與“二維”的感悟中，發(fā)展空間觀念

學(xué)生在判斷兩個(gè)圖形的大小時(shí)，多數(shù)是以圖形的某一維度（長(zhǎng)或者寬）作為判斷標(biāo)準(zhǔn)。那么，怎樣引導(dǎo)學(xué)生的思維從沿著一個(gè)方向延展走向沿著兩個(gè)方向延展呢？筆者想到，在練習(xí)中可以設(shè)計(jì)一個(gè)猜一猜的游戲環(huán)節(jié)。先讓學(xué)生根據(jù)“每行擺了幾個(gè)，擺了幾行”的直觀圖示猜想長(zhǎng)方形的面積，再讓學(xué)生根據(jù)“長(zhǎng)和寬”猜想長(zhǎng)方形的面積，接著讓學(xué)生思考“只看到一條邊，能不能想象這個(gè)長(zhǎng)方形的面積”，使學(xué)生直觀而又深刻地感悟到：要想象一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，至少要知道長(zhǎng)與寬兩個(gè)元素。顯然，這樣的應(yīng)用拓展，不僅有助于加深學(xué)生對(duì)面積概念的理解，而且也為接下來(lái)長(zhǎng)方形面積計(jì)算的學(xué)習(xí)進(jìn)行了有機(jī)的滲透。

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[1]劉加霞,易玫.運(yùn)用定義辨析,生成對(duì)“面積”的理解:“面積”課例研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)，2012（6）.

[2]張穎穎.概念，在“線”與“面”的行進(jìn)中明晰[J].小學(xué)教學(xué)參考，2016（6）.