李愛民(江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院， 江蘇 徐州 221116)

0 引 言

彈性直梁的平衡和穩(wěn)定性問題起源于1730年Daniel Bernoulli和Euler的工作[1]，即最經(jīng)典的歐拉-伯努利梁，在材料力學(xué)中有具體的闡述[2-3]。但是，歐拉-伯努利方程只是針對梁的小變形進(jìn)行分析。隨著技術(shù)的發(fā)展，人們開始對梁大變形進(jìn)行研究，如梁的平面大變形的橢圓解[4-5]，在研究梁大撓度的過程中，梁屈曲穩(wěn)定有一定的臨界值，即前屈曲過渡到后屈曲，實(shí)際運(yùn)用中，需要推導(dǎo)出不同約束條件下屈曲的臨界值[6]，進(jìn)而對其大撓度進(jìn)行求解[7-8]。國外早已對受軸向壓縮的梁進(jìn)行研究，如文獻(xiàn)[9-10]中對受軸向力屈曲梁的穩(wěn)態(tài)性探究，而大多數(shù)是對梁在橫向力作用下特性的研究分析[11]。趙劍[12-13]則利用屈曲的跳躍特性設(shè)計(jì)出加速度開關(guān)等。隨著研究的進(jìn)一步深入，對彈性直梁的研究不僅局限于對其力學(xué)性能的分析，而是在力學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)它的剛度可變以及振動(dòng)特性[14-17]。

本文針對受軸向力的彈性直梁進(jìn)行理論建模、仿真和實(shí)驗(yàn)三個(gè)部分的非線性屈曲分析，獲得偏轉(zhuǎn)角、軸向力、撓度等之間的關(guān)系曲線，發(fā)現(xiàn)受軸向力梁剛度可變的特性，并作出剛度變化曲線。彈性直梁剛度可變的特性在減振、隔振的領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用。

1 軸向受力屈曲梁理論模型

以兩端固支的彈性直梁為例，選擇一端施加軸向力P，當(dāng)軸向力大于穩(wěn)定臨界值時(shí)，直梁將發(fā)生大撓度非線性屈曲變形，如圖1所示。

圖1 受軸向力梁大變形

顯然，圖形是左右對稱的，故可以得到圖2。

圖2 受軸向力梁大變形1/2圖

進(jìn)一步分析，圖2類似于固定導(dǎo)向機(jī)構(gòu)，可以把圖2簡化如下圖3所示，它是圖1的1/4。通過力平移的知識(shí)，對圖1的受力分析能夠簡化為對圖3進(jìn)行分析。

圖3 受軸向力梁大變形1/4圖

圖中：P為軸向力(N)；l為梁原長度(m)；l1為梁被壓縮后的長度(m)；Ux為軸向壓縮量(m)；WB為撓度(m)；M0，Mr為作用彎矩；E為彈性模量；I為慣性矩。

在平移1/4處的自由端，M0=M1+M2，其中，M1是初始力偶，M2是附加力偶，則

M2=PwB/2

(1)

(2)

即：

(3)

(4)

對式(4)兩邊進(jìn)行積分得：

(5)

(6)

(7)

所以

(8)

(9)

由圖3知，B′是屈曲梁1/4處的拐點(diǎn)，根據(jù)數(shù)學(xué)拐點(diǎn)的定義，M0=0。故曲率公式為：

(10)

令

(11)

則

(12)

對式(3)積分以及三角函數(shù)倍角公式轉(zhuǎn)換，得

(13)

設(shè)sin(θ0/2)=Κ，引入新變量φ，令

(14)

對式(5)兩邊求導(dǎo)，得

(15)

將式(6)代入到式(4)，并結(jié)合橢圓積分公式，得

(16)

可以推導(dǎo)出軸向力作用下，梁的X、Y方向的位移變化量[2]

(17)

(18)

因此，它的垂直位移和軸向位移為：

(19)

(20)

同時(shí)，可以得到在X軸方向的壓縮量為：

(21)

綜上，可以得出軸向力，撓度的表達(dá)式為：

(22)

而對于受軸向力梁，它在X軸上的剛度可表示為：

(23)

根據(jù)以上理論公式推導(dǎo)，使用橢圓積分分別計(jì)算出軸向力與軸向位移、撓度、剛度之間的對應(yīng)關(guān)系，如表1所示。

2 軸向受力屈曲梁workbench仿真

Ansys Workbench作為經(jīng)典的有限元分析軟件，具有準(zhǔn)確、真實(shí)、可靠的特點(diǎn)。本文使用其對彈性直梁進(jìn)行非線性屈曲分析，彈性直梁的長度為200 mm，橫截面是矩形，寬度為30 mm，厚度為1 mm，彈性模量E為200 GPa。具體流程如圖4所示。

首先建立上述參數(shù)的彈性直梁，然后導(dǎo)入workbench里，接著，按照圖4的流程進(jìn)行設(shè)置和求解，如圖5所示。

由圖5，第1個(gè)Static Structural包括Linear Bucking模塊，主要是對梁進(jìn)行線性屈曲分析，通過在Workbench里添加約束，對梁的模型施加1 N的軸向力可以得到梁屈曲的臨界值，為493.49 N，與材料力學(xué)計(jì)算的臨界值493.48 N基本相等，驗(yàn)證了建模的準(zhǔn)確性。梁的彎曲情況如圖6所示。

表1 參數(shù)關(guān)系表

圖4 非線性屈曲流程圖

圖5 非線性分析

圖6 臨界屈曲圖

接著由APDL模塊提取其幾何缺陷，再進(jìn)行幾何模型的重新生成，最后進(jìn)行非線性屈曲分析。如圖7所示，當(dāng)力大于臨界值后繼續(xù)增大，彈性梁非線性屈曲和跳躍曲線圖。

(a) 屈曲梁大變形圖(b) 屈曲梁跳躍曲線

明顯地，在1 725 s附近有跳躍現(xiàn)象，即梁軸向力的大小此時(shí)已大于其臨界穩(wěn)定值。

通過以上仿真分析，結(jié)合第1部分梁公式的理論推導(dǎo)，可以得出軸向力與撓度、軸向力與橫向位移、橫向位移與撓度的理論曲線與仿真曲線圖，如圖8所示。

由圖8可知，仿真分析與理論計(jì)算基本一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論模型建立的正確性。而在梁被壓縮過程中，梁剛度是可變的，如表1所示剛度隨軸向力先變小后又變大。剛度可變在工程應(yīng)用中具有重要意義。

(a) 軸向力與撓度曲線圖

3 試驗(yàn)研究

根據(jù)第2節(jié)的分析，取與仿真中的梁相同的尺寸，使用萬能拉壓機(jī)，對梁進(jìn)行壓縮實(shí)驗(yàn)，如圖9所示。

在圖9中，在梁的1/4處有一個(gè)藍(lán)色標(biāo)記，表示數(shù)據(jù)的測量開始點(diǎn)，在測量過程中，使用電腦控制壓力機(jī)行走的速度，試驗(yàn)中為5 mm/min，并每隔1 min記錄并提取軸向力與撓度之間的關(guān)系數(shù)據(jù)。具體的測量值如表2所示。結(jié)合理論和仿真，得出實(shí)驗(yàn)與其對比圖，如圖10所示。其中，可以清楚地看出，實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)與理論以及仿真數(shù)據(jù)基本吻合，也證明了本文理論的正確性。

4 結(jié) 語

(1) 本文以一根彈性直梁為研究對象，對其在兩端固支的情況下受軸向力作用時(shí)進(jìn)行非線性屈曲分析研究。

表2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)關(guān)系表

圖10 實(shí)驗(yàn)與理論和仿真數(shù)據(jù)對比

(2) 建立梁非線性屈曲的理論數(shù)學(xué)模型，用橢圓積分進(jìn)行求解。然后，建立其三維模型，導(dǎo)入Ansys Workbench里進(jìn)行有限元分析和實(shí)驗(yàn)分析，驗(yàn)證理論計(jì)算的正確性。對現(xiàn)實(shí)中柔性梁受軸向力的變形提供理論依據(jù)和指導(dǎo)意義。

(3) 在對柔性梁力學(xué)的分析中發(fā)現(xiàn)不同軸向力，導(dǎo)致梁剛度的變化，即存在變剛度的特性，而剛度的可變在工程機(jī)械、艦船領(lǐng)域有重要應(yīng)用，為后續(xù)研究開發(fā)提供一定的理論指導(dǎo)。

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