劉明

摘 要 針對離散數(shù)學(xué)課程的課時短、難度大導(dǎo)致的學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不足，效率低下，教學(xué)效果不理想的問題，本文提出了一種理論結(jié)合科研實際的離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)動力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的。在理論授課的同時，結(jié)合科研實際中離散數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用，對離散數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)定義和具體應(yīng)用進(jìn)行類比分析，提高學(xué)生的感知認(rèn)識，實現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的有效提升。

關(guān)鍵詞 離散數(shù)學(xué) 類比分析 教學(xué)方法

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.02.050

Abstract Focusing on the problem of short time and difficult to grasp of discrete mathematics curriculum， which results in lacking interest in learning of the students， inefficiency and unsatisfactory teaching effect， this paper puts forward a discrete mathematics teaching method based on scientific research combing the theory so as to cultivate the students' autonomous learning power and achieve the final goal of stimulating students learning interest. Along with the theoretical teaching， the practical applications of discrete mathematics are introduced into the classes， the analogical analysis of mathematical definition and specific application in discrete mathematics are carried out to improve the students' perception. Effective improvements of teaching quality can be obtained with satisfactory.

Keywords Discrete Mathematics； analogical analysis； teaching method

0 引言

離散數(shù)學(xué)（Discrete Mathematics）是計算機(jī)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，在計算機(jī)科學(xué)中有著重要而廣泛的應(yīng)用，是計算機(jī)專業(yè)課——數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯原理、數(shù)據(jù)庫和算法分析等課程的先導(dǎo)基礎(chǔ)課程。此外，其還是計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、軟件工程、通信工程、電子信息工程、電磁場與微波技術(shù)以及智能科學(xué)技術(shù)等計算機(jī)類、信息類本科專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程之一。目前，離散數(shù)學(xué)已經(jīng)在當(dāng)下流行的機(jī)器學(xué)習(xí)、模式識別和圖像處理等科研領(lǐng)域中起到了重要的數(shù)學(xué)支撐作用。

鑒于離散數(shù)學(xué)的重要作用，如何讓相關(guān)專業(yè)學(xué)生掌握其精髓至關(guān)重要，需要相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式等方面不斷地開拓創(chuàng)新。本文提出一種在教學(xué)中結(jié)合相關(guān)科研實際的教學(xué)方法，以期化繁為簡，達(dá)到深入淺出地傳授離散數(shù)學(xué)中的理論知識點，激發(fā)學(xué)生的興趣，提高教學(xué)質(zhì)量的目的。理論結(jié)合實際的教學(xué)方法既提高了學(xué)生的理論水平，又為后續(xù)學(xué)生攻讀碩士研究生和博士研究生打下科研基礎(chǔ)，可大幅度提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的興趣和能力。

1 面臨的困難

離散數(shù)學(xué)具有難度大和課時短的特點，雖然已經(jīng)有諸多有效的教學(xué)方式和方法被提出，但在實際教學(xué)過程中可以發(fā)現(xiàn)，雖然同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情和理解能力確實取得了一定程度的進(jìn)步，但距離預(yù)期的目標(biāo)仍然較遠(yuǎn)，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)熱情和動力仍然不足，對概念和定義的理解仍然不夠透徹。

根據(jù)教育部“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)指導(dǎo)委員會的建議，國內(nèi)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)大致可以分為科學(xué)型、工程型和應(yīng)用型三種類型，每種類型對應(yīng)的學(xué)時分別為108個學(xué)時、90個學(xué)時和72個學(xué)時。然而，在實際的教學(xué)過程中，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)課時量常常會被壓縮，一般正式授課時間約為48學(xué)時，我校為54學(xué)時。如何在有限的時間里把大量知識點傳授給學(xué)生，并同時將能力傳播給學(xué)生，給“離散數(shù)學(xué)”的教學(xué)提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。通過減少學(xué)時數(shù)量、降低考試難度的途徑則會南轅北轍，使得學(xué)生無法認(rèn)識到“離散數(shù)學(xué)”在個人專業(yè)建設(shè)上的重要地位。

離散數(shù)學(xué)由于其本身的數(shù)學(xué)性質(zhì)，難度較大。若在實際教學(xué)中，把“離散數(shù)學(xué)”作為一門數(shù)學(xué)課進(jìn)行授課，采用數(shù)學(xué)系老師采用的“定義—定理—證明—習(xí)題”的教學(xué)模式，則嚴(yán)重忽視了“離散數(shù)學(xué)”的實際應(yīng)用背景，導(dǎo)致學(xué)生本能的厭惡與排斥，降低了學(xué)習(xí)興趣，最終影響教學(xué)質(zhì)量。

面對這些困難，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中急需尋找新突破來改善離散數(shù)學(xué)的教學(xué)方法。想要激發(fā)學(xué)生的主動性和興趣，必須加強(qiáng)理論聯(lián)系實際的環(huán)節(jié)。

2 理論講授與實際應(yīng)用的結(jié)合

如前所述，教師很容易把離散數(shù)學(xué)課程當(dāng)成數(shù)學(xué)課來處理，只講定義、概念和理論，而對這些知識的實際應(yīng)用背景則介紹甚少，甚至完全不涉及。想要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，授課必須結(jié)合相關(guān)領(lǐng)域的實際應(yīng)用背景進(jìn)行，這樣才能提高教學(xué)的針對性，使學(xué)生覺得學(xué)有所用，激發(fā)興趣。那么研究如何為離散數(shù)學(xué)的各部分教學(xué)內(nèi)容找到應(yīng)用的實例，是理論結(jié)合實際的重中之重。

教師將其自身的科研及學(xué)科前沿的課題引入教學(xué)中是一種極佳的途徑，因為教師對自己的課題研究時間和深度都足夠，對其有深入的理解，因此可以深入淺出的結(jié)合離散數(shù)學(xué)中的定義和概念。這樣就可以使學(xué)生盡早接觸科研，使學(xué)生們的科研能力得到鍛煉，學(xué)生不僅掌握基礎(chǔ)理論，而且培養(yǎng)了學(xué)生的科研能力和科研興趣。以下通過本課題組科研項目中用到的一個較為簡單的科研實例對圖論部分的基礎(chǔ)定義和概念開展分析。

2.1 模式識別中圖模型的構(gòu)建

2.1.1 圖的基本概念

無向圖：邊沒有方向的圖。

連通：在某個已知的無向圖里，從圖中的某一點a到另一點b或者從b到a之間存在一條路徑，便稱a和b之間為相互聯(lián)通的。

單純的定義無法使學(xué)生產(chǎn)生直觀的認(rèn)識，更無法意識到這些定義對實際的工程實踐與科學(xué)研究有什么意義。結(jié)合實際應(yīng)用開展分析與教學(xué)可達(dá)到事半功倍的效果。

2.1.2 模式識別中圖的使用

在模式識別領(lǐng)域中，如何捕獲數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，并保持降維前后數(shù)據(jù)的本質(zhì)結(jié)構(gòu)對高精度識別至關(guān)重要。為此國內(nèi)外學(xué)者付出了諸多努力，一種有效的方式為將流形學(xué)習(xí)理論引入到模式識別的框架中，其通過近鄰矩陣的構(gòu)建描述數(shù)據(jù)的局部結(jié)構(gòu)。將近鄰矩陣的每一個元素建模為以下形式：

（1）

其中，和表示數(shù)據(jù)集中的第個和第個樣本，[ ]表示指數(shù)函數(shù)，為常數(shù)，表示樣本的個近鄰點，表示樣本的個近鄰點。通過近鄰矩陣對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述后，可通過目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化算法實現(xiàn)高精度識別。

事實上，近鄰矩陣在本質(zhì)上就是采用加權(quán)圖對數(shù)據(jù)進(jìn)行描述。該圖為一個具有多個節(jié)點的無向圖，每一個樣本用圖中的一個節(jié)點表示。對于某個給定的樣本而言，如果其他樣本位于其個近鄰點范圍，則在兩者之間連接一條邊，并施加一個根據(jù)公式（1）計算得到的權(quán)值；若樣本不位于其個近鄰點范圍，則兩者之間沒有邊連接。通過這種圖模型的構(gòu)建，就可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確描述，為模式識別中的特征提取提供重要的結(jié)構(gòu)保持信息，該圖的示意圖如圖1所示，圖1中每種標(biāo)記表示一類樣本，近鄰點數(shù)量。

通過這個簡單的例子，既可以讓學(xué)生從枯燥的數(shù)學(xué)定義中擺脫出來，而且也使得學(xué)生對于圖的理解不再簡單地停留在概念上，可使得學(xué)生不再困惑所學(xué)究竟為何用。事實上，更復(fù)雜的圖模型的使用可能會使學(xué)生對概念的理解更加清晰，因為更復(fù)雜的圖模型會引入更細(xì)節(jié)的把握，但也有可能使得學(xué)生陷入背景問題而脫離了離散數(shù)學(xué)本身，因此我們暫時僅在教學(xué)中引入簡單的圖模型，這樣既提高了同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，也達(dá)到了教學(xué)的目的。

3 結(jié)論

“離散數(shù)學(xué)”作為計算機(jī)大類專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，除了計算機(jī)領(lǐng)域，其在諸多電子信息相關(guān)領(lǐng)域也具有廣泛的應(yīng)用。本文提出了在教學(xué)時結(jié)合相關(guān)科研領(lǐng)域中的實際應(yīng)用例子，深入淺出地傳授和講解“離散數(shù)學(xué)”中的知識點，采用理論教學(xué)結(jié)合科研實踐的思路，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，激發(fā)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)興趣，從而提高教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生的理論水平和科研能力都得到有效的提高。

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