陳世英, 李維國, 鹿曉陽

(1.中國石油大學(xué)(華東)儲運與建筑工程學(xué)院,山東青島 266580; 2.山東建筑大學(xué)土木工程學(xué)院,山東濟(jì)南 250101)

網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化設(shè)計的思想為離散變量優(yōu)化設(shè)計,以桿件截面尺寸為設(shè)計變量,以結(jié)構(gòu)質(zhì)量等為目標(biāo)函數(shù),結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、局部(桿件)穩(wěn)定性和整體穩(wěn)定性為約束條件,尋求滿足約束條件且目標(biāo)函數(shù)最小的桿件截面取值[1-3]?，F(xiàn)行的空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程[4]規(guī)定單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)必須進(jìn)行整體穩(wěn)定性驗算,其彈塑性穩(wěn)定承載力須大于兩倍的均布外荷載。整體穩(wěn)定性是單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)設(shè)計的關(guān)鍵問題[5-8],在優(yōu)化設(shè)計過程中必須將整體穩(wěn)定承載力作為約束條件充分考慮[9-10],否則無法保證優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力安全。單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)是缺陷敏感結(jié)構(gòu),整體穩(wěn)定承載力隨缺陷的不同而變化顯著[11-14],沈世釗等[5,15]試圖尋找最不利缺陷以獲得最不利的彈塑性穩(wěn)定承載力,但準(zhǔn)確找到結(jié)構(gòu)的最不利缺陷分布幾乎不可能[16]。長期以來,均采用一致缺陷法或隨機(jī)缺陷法來解決結(jié)構(gòu)的初始幾何缺陷問題[17-19]。在通常的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化設(shè)計“桿件分組”方式中,會將網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)桿件按照空間位置的對稱性分成若干組[20-21],記做空間位置分組法。當(dāng)整體穩(wěn)定性約束條件和初始幾何缺陷同時引入到截面優(yōu)化設(shè)計中,通過分析發(fā)現(xiàn)[22],基于空間位置分組法優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)僅在設(shè)定缺陷下其穩(wěn)定承載力滿足設(shè)計要求,在其他可能出現(xiàn)的缺陷下往往不能滿足?？梢?基于空間位置分組法的優(yōu)化設(shè)計,使網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力對缺陷分布的敏感性增加,無法保證優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力安全。筆者結(jié)合網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的截面優(yōu)化設(shè)計原理提出基于等穩(wěn)定要求的單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化設(shè)計方法,在充分考慮網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)桿件強(qiáng)度、剛度、雙重非線性整體穩(wěn)定性和隨機(jī)初始缺陷條件下,對跨度為60 m的K6網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)按缺陷敏感區(qū)域進(jìn)行桿件分組并進(jìn)行基于序列兩級優(yōu)化算法的截面優(yōu)化設(shè)計。

1 基于等穩(wěn)定要求截面優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

設(shè)計變量為

x={A,Iy,Iz,Wy,Wz,ρ}.

式中,x對應(yīng)一種型鋼的截面屬性;A為截面積,m2;Iy、Iz分別為對y、z軸的慣性矩,m4;Wy、Wz分別為對y、z軸的抗彎截面模量,m3;ρ為線密度,kg/m。

桿件分組:按網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的缺陷敏感區(qū)域?qū)U件進(jìn)行分組。

目標(biāo)函數(shù):同等用鋼量情況下網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力隨缺陷波動最小,表示為

minD=D(Pcr1,Pcr2,…,Pcrl) .

(1)

式中,pcri為第i個隨機(jī)缺陷下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力,kN/m2;l為隨機(jī)缺陷個數(shù);D為l個穩(wěn)定承載力的標(biāo)準(zhǔn)差。

(2)

式中,W為網(wǎng)殼的用鋼量;m1為桿件的分組數(shù);ρk為第k組桿件的線密度;Ak為第k組桿件的橫截面積;lk為第k組桿件的總長度,m。

應(yīng)力約束[23]為

(3)

式中,N為桿件軸力,kN;My和Mz分別為繞y軸和z軸的彎矩,kN·m;Wy和Wz分別為兩主軸的截面抗彎模量,m3;γy和γz為與截面模量相應(yīng)的截面塑性發(fā)展系數(shù),均取1.15;f為桿件的屈服應(yīng)力,kPa。

彎矩作用下平面內(nèi)穩(wěn)定性約束為

(4)

其中

彎矩作用下平面外穩(wěn)定約束為

(5)

式中,φz為彎矩作用平面外的軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù);φb為均勻彎曲的受彎構(gòu)件整體穩(wěn)定系數(shù),取1.0;η為截面影響系數(shù),閉口截面η=0.7;βty為等效彎矩系數(shù),取1.0。

長細(xì)比約束[4]為

λ≤[λ].

(6)

式中,[λ]為桿件的許用長細(xì)比,壓桿取150,拉桿取250。

最大位移約束[4]為

Δmax≤ln/400 .

(7)

整體穩(wěn)定性約束[4]為

Pcr≤2Q.

(8)

式中,Δmax為網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)最大節(jié)點位移,m;ln為網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)跨度,m;Q為網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)均布外載荷,kN/m2;Pcr為網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)彈塑性穩(wěn)定承載力,kN。

2 基于離散變量的序列兩級截面優(yōu)化方法

約束條件按其性質(zhì)可分為局部性與整體性約束兩類。在截面優(yōu)化過程中求解應(yīng)力、長細(xì)比等局部性約束條件時采用一維搜索方法,得到滿足局部約束條件的桿件截面尺寸,即第一級優(yōu)化。整體性約束條件含有各個單元的設(shè)計變量,采用相對差商法[24]進(jìn)行整體尋優(yōu),以第一級優(yōu)化的結(jié)果作為第二級優(yōu)化的初始值,反復(fù)迭代直至整體性約束條件滿足。進(jìn)行0階修正可改進(jìn)該算法的結(jié)果精度。

采用APDL語言編寫結(jié)構(gòu)建模程序、缺陷施加程序和進(jìn)行彈塑性大變形分析。桿件模型采用beam189單元,屈服準(zhǔn)則采用von Mise準(zhǔn)則[25],材料本構(gòu)關(guān)系為理想彈塑性。用FORTRAN編寫基于離散變量的序列兩級算法截面優(yōu)化程序,通過接口程序完成FORTRAN與ANSYS的相互調(diào)用和數(shù)據(jù)交換。桿件采用熱軋無縫鋼管Q235,從型鋼表[26]中以抗彎截面系數(shù)的升序排列為原則共提取63種型鋼組成桿件截面離散集,依次編號為1#～63#,1#截面取Φ48 mm×3 mm。文中使用的桿件截面編號和對應(yīng)尺寸包括：23#/Φ108 mm×4.0 mm，30#/Φ146 mm×4.5 mm，31#/Φ152 mm×4.5 mm，32#/Φ159 mm×4.5 mm，33#/Φ168 mm×4.5 mm，34#/Φ168 mm×5.0 mm，35#/Φ180 mm×5.0 mm。

3 結(jié)構(gòu)缺陷敏感區(qū)域分析

網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)是缺陷敏感結(jié)構(gòu),許多學(xué)者對其敏感區(qū)域進(jìn)行了分析[27-29]。從缺陷與穩(wěn)定承載力波動關(guān)系的角度提出網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力敏感區(qū)域,并將敏感區(qū)域與桿件分組相結(jié)合,提出了一種新的截面優(yōu)化分組方法。

算例1:K6型單層凱威特網(wǎng)殼,跨度為60 m,矢高為15 m,環(huán)向桿件圈數(shù)為10圈;當(dāng)某一個節(jié)點有缺陷時,分析結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力值的變化規(guī)律。由于網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的對稱性,可僅計算缺陷出現(xiàn)在圖1所示節(jié)點上的情況,缺陷值取跨度的1/300。單個節(jié)點存在缺陷時結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力變化規(guī)律見圖2。

圖1 1/6結(jié)構(gòu)節(jié)點編號Fig.1 Node number of one-sixth structure

圖2 單個節(jié)點有缺陷時結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力Fig.2 Critical-limit load under single joint imperfection

由圖2可以看出,相比于凸缺陷,節(jié)點發(fā)生凹缺陷時,穩(wěn)定承載力更低。其中,1#～94#節(jié)點上存在凹缺陷時,承載力低于4.5 kN/m2,94#～175#節(jié)點上存在凹缺陷時,承載力為4.5～5.5 kN/m2。175#～223#節(jié)點上存在凹缺陷時,承載力為5.5～6.5 kN/m2。272#～278#節(jié)點(支座節(jié)點)上存在凹缺陷時,承載力為6.5～7.5 kN/m2?？梢?節(jié)點缺陷所處位置在殼體中上部時對結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性影響較大;節(jié)點缺陷在殼體中部偏下時對結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性影響較小。支座節(jié)點缺陷對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性能影響較小。

定義相同緯度的節(jié)點為一組,網(wǎng)殼節(jié)點可分為10組,緯度最高的一組節(jié)點定義為第一環(huán)節(jié)點(圖1中,2#、3#節(jié)點所在的環(huán)),緯度最低一組節(jié)點定義為第10環(huán)節(jié)點(圖1中272#～282#節(jié)點所在的環(huán))。缺陷出現(xiàn)在各環(huán)節(jié)點上時結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力變化曲線見圖3。

圖3 十種環(huán)向缺陷下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力Fig.3 Critical-limit load of structure with 10 hoop imperfections

由圖3可以看出,相比于凸缺陷節(jié)點存在凹缺陷時,絕大多數(shù)情況下穩(wěn)定承載力更低?？紤]凹缺陷的情況,當(dāng)殼體中上部節(jié)點整環(huán)出現(xiàn)缺陷時(1～7環(huán)),結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力為3.0～4.0 kN/m2,當(dāng)殼體靠近支座處節(jié)點整環(huán)出現(xiàn)缺陷時(8～9環(huán)),結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力為4.0～5.0 kN/m2,當(dāng)支座位置的環(huán)向節(jié)點(10環(huán))發(fā)生缺陷時,對結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性承載力影響很小。

4 基于等穩(wěn)定要求的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化設(shè)計

網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)存在缺陷敏感區(qū)域,且敏感程度不同。提出了基于敏感區(qū)域的桿件分組方法,將缺陷敏感性相近區(qū)域的桿件分為一組。

算例2: 結(jié)構(gòu)模型尺寸與算例1相同,外載荷Q為1.9 kN/m2,滿跨均勻布置?；诮Y(jié)構(gòu)敏感區(qū)域?qū)U件共分為3組(圖4)?？v向所有桿件為第1組;環(huán)向桿件分為兩組,1～7環(huán)桿件為第2組,8～10環(huán)桿件為第3組;基于空間位置的桿件分組見圖5,桿件共分為20組。隨機(jī)生成28種均值為0,均方差為R/3的正態(tài)分布隨機(jī)缺陷(所有節(jié)點上均有缺陷),最大缺陷值R取跨度的1/300。

當(dāng)所有桿件取相同桿件截面時(桿件不分組),在28種缺陷下網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力(桿件截面為Φ168 mm×4.5 mm(33#))分別為5.002 4、4.064 7、4.568 7、4.596 1、3.962 1、4.459 3、4.461 8、4.801 9、3.820 4、4.298 9、4.475 8、4.596 9、4.216 4、4.138 9、4.387 5、3.758 1、4.693 7、4.391 4、4.787 2、4.297 9、4.393 4、4.823 0、4.795 7、4.724 1、4.398 9、4.418 5、4.849 4、4.734 1 kN/m2。當(dāng)桿件取33#截面時,在第16組缺陷下穩(wěn)定承載力不滿足約束條件(3.758 1<2Q)。為提高第16組缺陷下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力,全部桿件增大為34#截面,此時結(jié)構(gòu)的耗鋼量增大約7 t。

為對比分析未優(yōu)化結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力對缺陷的敏感性,按照缺陷敏感區(qū)域分組方法(圖4)和空間位置分組方法(圖5)對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行截面優(yōu)化設(shè)計,取第16#隨機(jī)缺陷為設(shè)計缺陷。

圖4 基于敏感區(qū)域的桿件分組Fig.4 Group based on sensitive area

圖5 基于空間位置的桿件分組(標(biāo)號相同桿件同組)Fig.5 Group based on space position(bars grouped together with the same number)

采用空間位置分組方法優(yōu)化后，桿件的截面取值編號為(1～20組)：24#、 24#、29#、24#、33#、33#、33#、38#、33#、24#、31#、24#、31#、23#、30#、23#、30#、21#、30#、21#，在28種缺陷下的穩(wěn)定承載力分別為2.895 7、2.452 7、3.529 7、2.473 7、2.723 6、2.483 9、3.185 3、2.893 2、3.223 3、2.743 3、2.497 3、2.795 3、2.182 2、2.915 9、2.706 4、3.896 9、2.542 6、2.656 1、2.976 8、2.977 6、2.736 8、3.458 7、3.261、2.510 8、2.458 3、3.173 3、3.162 3、3.275 3 kN/m2。

采用等穩(wěn)定方法優(yōu)化后桿件截面取值編號為(1～3組)：33#、35#、23#，在28種缺陷下的穩(wěn)定承載力分別為4.891 2、4.949 9、5.278 1、4.694 4、4.372 3、4.805 6、4.599 5、4.705 1、4.242 6、4.966 8、4.776 8、4.427 6、4.531 2、4.491 3、4.732 9、4.107 1、5.211 4、4.488 1、5.198 2、4.431 3、4.769 7、5.154 1、4.853 3、4.949 4、4.431 1、4.688 3、4.304 3、5.125 9 kN/m2。

采用空間位置分組方法優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)僅在設(shè)計缺陷(16#缺陷)下滿足穩(wěn)定承載力設(shè)計要求，在其他27種隨機(jī)缺陷下，穩(wěn)定承載力均小于2Q，不滿足整體穩(wěn)定承載力設(shè)計要求。采用基于缺陷敏感區(qū)域分組方式優(yōu)化得到的等穩(wěn)定結(jié)構(gòu)模型，在28種隨機(jī)缺陷下穩(wěn)定承載力均滿足設(shè)計要求。

未經(jīng)截面優(yōu)化、空間位置分組方法優(yōu)化和等穩(wěn)定方法優(yōu)化得出的3種結(jié)構(gòu)模型，在28種缺陷下其穩(wěn)定承載力曲線見圖6，穩(wěn)定承載力與缺陷的敏感性關(guān)系見表1。在未截面優(yōu)化、等穩(wěn)定優(yōu)化、空間位置優(yōu)化和空間位置優(yōu)化[30]情況下，不同缺陷下結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.32、0.31、0.40和0.46,文獻(xiàn)[30]中僅考慮了3種缺陷進(jìn)行分析，本文中考慮了28種隨機(jī)缺陷。

圖6 三種結(jié)構(gòu)模型的穩(wěn)定承載力Fig.6 Critical-limit loads of three structural models

結(jié)構(gòu)模型穩(wěn)定承載力/(kN·m-2)均值最大值最小值耗鋼量/kg 未截面優(yōu)化(33#)4.465.003.7663 193.9 空間位置分組優(yōu)化2.893.902.1851 063.9 等穩(wěn)定優(yōu)化4.725.284.1161 093.3

由圖6可見,本算例中穩(wěn)定承載力下限值為2Q=3.8 kN/m2。用空間位置分組優(yōu)化方法得到的截面優(yōu)化結(jié)果僅在16#缺陷(設(shè)計缺陷)下滿足穩(wěn)定承載力設(shè)計要求,在其他27種缺陷下均不能滿足穩(wěn)定性設(shè)計要求。未經(jīng)截面優(yōu)化的結(jié)構(gòu)模型,當(dāng)截面取值為33#截面時,16#缺陷下其穩(wěn)定承載力不能滿足設(shè)計要求,9#缺陷出現(xiàn)時其承載力也是臨界滿足。基于等穩(wěn)定要求優(yōu)化得到的設(shè)計模型,在所有缺陷下均滿足穩(wěn)定承載力設(shè)計要求,且有較合理的安全儲備。

相比于未經(jīng)截面優(yōu)化設(shè)計的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu),采用基于等穩(wěn)定要求設(shè)計出的結(jié)構(gòu)具有均值更大和均方差更小的穩(wěn)定承載力。采用基于空間位置分組優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)均值小且標(biāo)準(zhǔn)差大,即優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力對缺陷更加敏感,不能保證結(jié)構(gòu)在不同初始缺陷下的穩(wěn)定承載能力均滿足設(shè)計要求。

5 結(jié) 論

(1)將彈塑性整體穩(wěn)定承載力和隨機(jī)初始幾何缺陷引入到網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的截面優(yōu)化設(shè)計過程中,保證優(yōu)化設(shè)計后的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)具有足夠安全的穩(wěn)定承載力。

(2)在同等耗鋼量下,將較大的截面分配給缺陷敏感性大的區(qū)域,較小截面尺寸分配給缺陷敏感性小的區(qū)域,確保了網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)在隨機(jī)出現(xiàn)的缺陷下具有魯棒性較強(qiáng)的穩(wěn)定承載力。

(3)基于等穩(wěn)定要求的截面優(yōu)化設(shè)計方法可以使結(jié)構(gòu)具有均值更大、均方差更小的穩(wěn)定承載力。通常采用的基于位置分組的截面優(yōu)化設(shè)計方法不能保證結(jié)構(gòu)在不同初始缺陷下的穩(wěn)定承載能力均滿足設(shè)計要求,是不推薦采用的優(yōu)化分組方法。

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