陳 雷， 湯苑楠， 劉 剛， 盧興國

(1. 中國石油大學(華東)儲運與建筑工程學院,山東青島 266580；2.山東省油氣儲運安全省級重點實驗室,山東青島 266580; 3.中國石化銷售有限公司華南分公司，廣東廣州 510000)

為保證原油管道的安全經(jīng)濟運行，須全面把握原油管道停輸再啟動過程，許多學者[1-3]開展了膠凝原油管道測試研究。室內(nèi)環(huán)道是常見測試手段之一，其測量原理是Hagen-Poiseuille流動。在Hagen-Poiseuille流動的初始階段，必然存在管內(nèi)流速分布不斷變化的非穩(wěn)態(tài)過程，造成測量黏度值與真實黏度值的差異。為明晰相關(guān)測試影響因素，減小測試誤差，有必要掌握非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動階段流體表觀的測試結(jié)果與真實流變性的差異以及不同邊界條件對于非穩(wěn)態(tài)流動過程的影響。最經(jīng)典的非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動為“置有牛頓流體的無限長水平圓管，初始靜止，然后突然施加恒定壓力，流體開始運動”。Papanastasiou等[4]采用分離變量法給出了恒壓力邊界條件下圓管內(nèi)不可壓縮非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動的解析解，但并未討論恒流量條件下的非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動。Bar[5]對兩種不可壓縮牛頓流體混合物展開研究，得出非定常平板和軸對稱Poiseuille流動下的速度分布解析解。Erdogan[6-7]控制恒壓力邊界條件，對兩個無限大平板間以及圓管內(nèi)牛頓流體的非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動展開研究。Erdogan等[8]，研究了牛頓流體和二階流體的剪切應力隨時間變化規(guī)律的差異。Siddique等[9]控制與時間有關(guān)的剪切應力邊界，對不可壓縮的廣義Oldroyd-B流體進行研究，得到級數(shù)形式的速度分布和剪切應力的通用解。Fetecau[10]對幾何形狀為軸對稱的圓管的無邊界區(qū)域內(nèi)的Oldroyd-B 流體進行研究。Muzychka等[11]通過尋求非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動和斯托克斯第一問題的關(guān)聯(lián)，建立了描述內(nèi)表面剪切應力以及速度分布隨時間變化的簡易模型，并對結(jié)果進行了漸近分析。Hayat等[12-13]控制周期性壓力邊界和恒壓力邊界，對兩平板間不可壓縮二階流體進行研究。此外，還有一些學者采用數(shù)值計算的思想展開了相關(guān)探究。Vinay等[14]建立了非牛頓流體圓管內(nèi)非穩(wěn)態(tài)流動的數(shù)值計算模型，對方程組進行離散求解。Negr?o等[15]考慮了管道徑向速度的變化開展研究。但上述學者僅討論了恒壓力邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)流動過程。目前，關(guān)于Poiseuille流動的非穩(wěn)態(tài)過程研究，主要關(guān)注流體非穩(wěn)態(tài)速度分布函數(shù)的求解，邊界條件集中在恒壓力邊界條件，并未關(guān)注不同邊界條件下流動過程的差異以及非穩(wěn)態(tài)過程對細管法測試黏度準確性的影響。筆者對不同邊界條件下的圓管內(nèi)非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動過程進行分析，對比邊界條件對于非穩(wěn)態(tài)過程的影響。暫不考慮流體本身流變性的變化，選取牛頓流體為研究對象，考慮徑向速度分布，采用數(shù)值計算方式，以無量綱黏度和無量綱時間為非穩(wěn)態(tài)過程表征量，討論不同邊界條件對非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動過程的影響。

1 問題描述

1.1 細管法黏度測試基礎(chǔ)原理

細管法測定液體的流動性廣泛應用于各種流體流變性的測量[16]。對于穩(wěn)定的管道層流，兩端壓差P恰好提供流體圓柱體在管道內(nèi)壁上的黏滯力，管壁剪切應力τ與壓差Δp之間滿足

(1)

式中，L為細管長度，m；R為細管半徑，m。

對于牛頓流體與冪律流體的穩(wěn)定圓管層流，其管壁處剪切速率可表示為

(2)

根據(jù)式(1)與(2)可獲得流體剪切速率與剪切應力的關(guān)系，進而確定流體黏度或本構(gòu)方程。測量黏度的表達式為

(3)

式中，μM為測量黏度，Pa·s。

細管法開展流體測試，必須滿足的核心條件是流體應為與時間無關(guān)的不可壓縮流體，流動狀態(tài)為充分發(fā)展的穩(wěn)定層流[16]。然而在實際流動過程中，在非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動階段，管內(nèi)流體速度不斷變化，基于細管法黏度測試原理計算的黏度數(shù)值不再是流體真實黏度。有必要明確非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動階段測試的流體表觀流變性與理想均勻剪切條件下流體的真實流變性間的差異，從而探究初始非穩(wěn)態(tài)流動階段速度分布的發(fā)展對細管法測試的初始流變數(shù)據(jù)的影響。

1.2 表征非穩(wěn)態(tài)過程的無量綱參數(shù)定義

1.2.1 無量綱黏度

(4)

1.2.2 無量綱時間

在利用解析方法進行非穩(wěn)態(tài)流動的相關(guān)研究中通常利用無量綱時間描述非穩(wěn)態(tài)流動過程[7]，無量綱時間的定義為

(5)

1.3 不同邊界條件選取說明

在實際管道非穩(wěn)態(tài)流動測試中恒流量[19]和恒壓力[20-21]是最為常用的加載條件。除此之外，在控制流量邊界下初期可能存在流量從0線性增加的情況[22]。選取的邊界條件分別為恒流量邊界、流量從0線性增加邊界和恒壓力邊界。

定義截面上平均速度概念為

(6)

為計算方便所有的恒流量條件轉(zhuǎn)換為恒平均速度邊界條件，從0線性增加的流量條件轉(zhuǎn)換為從0線性增加的平均速度邊界。三大邊界條件為:①恒平均速度邊界條件；②從0線性增加的平均速度邊界條件；③恒壓力邊界條件。

2 非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動模型建立

對于不同邊界條件下的圓管內(nèi)Poiseuille流動，如圖1所示，取一段管長為L，管徑為R的圓管，管道保持水平，管內(nèi)充滿不可壓縮牛頓流體。初始狀態(tài)全線壓力、速度均為0。在管道始端突然施加一定的加載條件，流體開始運動。

如圖2所示，圓管內(nèi)空間被劃分為n個圓筒微元，i表示微元界面位置，I表示微元中心位置。設(shè)i=1等價于I=1，i=n等價于I=n。

圖1 圓管Poiseuille流動示意圖Fig.1 Schematic of Poiseuille flow in circular pipe

圖2 圓管Poiseuille流動系統(tǒng)空間微元劃分示意圖Fig.2 Spatial grid distribution of Poiseuille flow in circular pipe

2.1 動量守恒方程

對于徑向第I(1

(7)

式中，上標t+Δt表示下一時刻，s；t表示當前時刻，s；ρ為流體密度，kg·m-3；Δr為微元寬度，m；Δt為時間步長，s。

2.2 剪切應力

對于牛頓流體，其流變特性遵從牛頓內(nèi)摩擦定律，即認為當流體受到外力作用時，其剪切速率與剪切應力的響應成正比。用流變方程描述為

(8)

2.3 剪切速率

(1)I=0。界面處剪切速率可近似描述為

(9)

(2)0

(10)

(3)I=n。界面處剪切速率可描述為

(11)

2.4 邊界條件

(1)恒平均速度邊界。

(12)

式中，v0為施加的恒定平均速度，m·s-1。

(2)從0線性增加的平均速度邊界。

(13)

式中，a為加速度，m·s-2。

(3)恒壓力邊界。

恒壓力邊界條件下圓管進出口壓力均為恒定值，分別表示為

p(x=0)=p0,

(14)

p(x=L)=0 .

(15)

式中，x為圓管軸向坐標，m；p(x=0)表示圓管入口位置處的壓力，Pa；p(x=L)為管道出口壓力，Pa；p0為施加的恒定壓力，Pa。

2.5 初始條件

初始時刻，流體靜止，則有

(16)

剪切速率初始值為

(17)

剪切應力初始值為

τt=0i=0, 1≤i≤n.

(18)

3 牛頓流體非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動

3.1 數(shù)值計算基礎(chǔ)參數(shù)定義

采用數(shù)值計算方法，通過編譯程序?qū)εｎD流體非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動特性進行研究，采用控制單一變量法研究不同因素對于非穩(wěn)態(tài)過程的影響規(guī)律。在數(shù)值計算過程中所需基礎(chǔ)參數(shù)的默認值設(shè)置：μ=1 Pa·s，L=1 m，R=0.025 m，ρ=800 g·m-3，Δt=10-7s，n=20。研究某一參數(shù)影響時，僅改變該參數(shù)數(shù)值，其他參數(shù)保持默認值不變，對比計算結(jié)果，分析該參數(shù)對于非穩(wěn)態(tài)過程的影響規(guī)律。

3.2 數(shù)值計算模型驗證

文獻[4]中給出了恒壓力邊界條件下的牛頓流體非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動速度分布函數(shù)的解析解。Erdogan[7]根據(jù)速度分布函數(shù)解析解，推導出流量隨無量綱時間變化的解析解，表示為

(19)

式中，Q為非穩(wěn)態(tài)過程測量流量；-π(ΔP/Δr)R4/8μ為流動達到穩(wěn)定后的流量；λn為貝塞爾函數(shù)。

圓管流動中，在恒壓力邊界條件下，黏度與流量成反比[16]。即無量綱黏度應與無量綱流量互為倒數(shù)，則有

(20)

通過編譯程序，對牛頓流體進行數(shù)值求解，與解析解進行對比，驗證數(shù)值計算模型的可靠性。無量綱黏度隨無量綱時間的變化如圖3所示。

圖3 恒壓力邊界條件下無量綱黏度數(shù)值解與解析解對比Fig.3 Comparison between numerical and analytical solutions of dimensionless viscosity under constant pressure condition

由圖3可知，由數(shù)值模型計算求解的無量綱黏度變化規(guī)律與文獻[7]一致，說明所建立的模型具有一定的可靠性。

3.3 牛頓流體非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動特點

根據(jù)上述牛頓流體非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動的數(shù)值模型，編譯程序，計算不同邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)流動過程相關(guān)參數(shù)。

在Poiseuille流動的初始非穩(wěn)態(tài)階段，牛頓流體的速度分布隨時間發(fā)生變化。以恒平均速度邊界條件為例，取平均速度v0為0.05 m·s-1，其他參數(shù)根據(jù)默認值進行數(shù)值計算，記錄不同時刻牛頓流體在圓管內(nèi)的速度分布，如圖4所示。

從圖4可以看出，在流動發(fā)展的初始階段，同一截面各位置處的流速相差較小，隨著時間增加流速逐漸發(fā)展至穩(wěn)定狀態(tài)，管中心處流速最大，管壁處流速最小，整個截面中流速呈拋物線型分布，且不再隨時間變化，僅與截面上所處位置有關(guān)，即流動得到充分發(fā)展。

由分析可知，Poiseuille流動的初始非穩(wěn)態(tài)階段主要是由徑向速度分布發(fā)展的非穩(wěn)態(tài)過程導致。

圖4 恒平均速度邊界下管內(nèi)速度分布隨時間變化Fig.4 Velocity distribution under constant average velocity conditions

4 各因素對非穩(wěn)態(tài)過程的影響規(guī)律

4.1 流體性質(zhì)與管徑參數(shù)影響

4.1.1 不同流體黏度下非穩(wěn)態(tài)流動差異

圖5 不同黏度條件下無量綱黏度對比Fig.5 Dimensionless viscosity under different viscosity conditions

從圖5可以看出，隨著時間增加無量綱黏度逐漸降至1，即測試黏度逐漸接近真實黏度。根據(jù)無量綱黏度曲線的變化規(guī)律可知，同一時刻的真實黏度越大，其對應的無量綱黏度越小，即測量偏差越小，無量綱黏度趨近1所需的時間也越短，即流動達到穩(wěn)定所需的時間也越短。

4.1.2 不同管徑下的非穩(wěn)態(tài)流動差異

圖6 不同管徑條件下無量綱黏度對比Fig.6 Dimensionless viscosity under different pipe diameter conditions

從圖6可以看出，隨著時間增加無量綱黏度逐漸降至1，即測試黏度逐漸接近真實黏度。同一時刻對應的管徑越大，其對應的無量綱黏度越大，即測量偏差越大，無量綱黏度趨近1所需的時間也越長，達到穩(wěn)定流動所需的時間也越長。

4.1.3 非穩(wěn)態(tài)階段無量綱化描述

圖7為不同黏度和管徑條件下無量綱黏度隨無量綱時間變化。由圖7可知，不同黏度和管徑條件下，牛頓流體在非穩(wěn)態(tài)過程中的無量綱黏度隨無量綱時間的變化規(guī)律完全一致，即無量綱黏度可視為僅與無量綱時間相關(guān)的函數(shù)。

圖7 不同黏度和管徑條件下無量綱黏度隨無量綱時間變化Fig.7 Change of dimensionless viscosity with dimensionless time under different viscosity and pipe diameter conditions

4.2 不同邊界條件下非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動

4.2.1 邊界條件參數(shù)取值的影響

分別在各邊界條件下取不同數(shù)值進行計算。具體取值情況為：①恒平均速度邊界條件下，取平均速度分別為0.01、0.05、0.10 m·s-1；②從0線性增加的平均速度邊界條件下，取加速度分別為0.01、0.1、1 m·s-2；③恒壓力邊界條件下，取邊界壓力分別為600、1 000、2 000 Pa。

4.2.2 邊界條件類型影響

3種邊界條件下的無量綱黏度對比如圖9所示。

圖8 各邊界下不同參數(shù)下的無量綱黏度對比Fig.8 Comparison of dimensionless viscosities under different parameter in each boundary condition

(21 )

圖9 不同類型邊界條件下無量綱黏度對比Fig.9 Comparison of dimensionless viscosity under different kinds of boundary conditions

相比恒壓力邊界，恒平均速度邊界條件下Poiseuille流動達到穩(wěn)定所需的時間更短。而相比恒平均速度邊界，非定常的平均速度邊界會造成Poiseuille流動的非穩(wěn)態(tài)過程顯著延長。

5 結(jié) 論

(1)3種邊界條件下非穩(wěn)態(tài)過程使得黏度測量結(jié)果較流體真實黏度偏大。隨著非穩(wěn)態(tài)階段時間增大測量黏度逐漸趨近于真實黏度。

(2)以無量綱黏度表征非穩(wěn)態(tài)階段特征，隨著時間延長無量綱黏度逐漸降至1，且不同邊界條件下達到1所對應的無量綱時間為定值。

(3)在同一類型邊界條件下無量綱黏度僅與無量綱時間有關(guān)，與邊界條件中的平均速度、壓力及加速度均無關(guān)。

(4)對比不同類型邊界條件，從0線性增加的平均速度邊界會造成Poiseuille流動的非穩(wěn)態(tài)過程顯著延長，恒壓力邊界條件所需的流動發(fā)展時間次之，恒平均速度邊界條件對應的非穩(wěn)態(tài)過程最短。

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