摘 要：乘、除法是學(xué)生學(xué)習(xí)了加、減法之后再學(xué)習(xí)的新運(yùn)算。學(xué)生學(xué)習(xí)乘、除法需要更多的數(shù)學(xué)理解，要以新的思維方式進(jìn)行思考。一般認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)乘、除法是計(jì)算概念的一次擴(kuò)展，是認(rèn)知上的一次飛躍。在學(xué)生學(xué)習(xí)乘、除法之前，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行鋪墊性訓(xùn)練，以降低學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識第一時(shí)間所產(chǎn)生的難度，提高新知的掌握水平。同時(shí)，乘、除法的學(xué)習(xí)拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野和應(yīng)用數(shù)學(xué)的空間，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，特別是推理能力。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新思維 數(shù)學(xué)理解 拓展

乘、除法是學(xué)生學(xué)習(xí)了加、減法之后再學(xué)習(xí)的新運(yùn)算。學(xué)生學(xué)習(xí)乘、除法需要更多的數(shù)學(xué)理解，要以新的思維方式進(jìn)行思考。一般認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)乘、除法是計(jì)算概念的一次擴(kuò)展，是認(rèn)知上的一次飛躍。在學(xué)生學(xué)習(xí)乘、除法之前，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行鋪墊性訓(xùn)練，以降低學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識第一時(shí)間所產(chǎn)生的難度，提高新知的掌握水平。同時(shí)，乘、除法的學(xué)習(xí)拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野和應(yīng)用數(shù)學(xué)的空間，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，特別是推理能力。

1 乘、除法學(xué)習(xí)的鋪墊性訓(xùn)練

乘法涉及兩個(gè)數(shù)，分別是每個(gè)集合中物體的個(gè)數(shù)和集合的個(gè)數(shù)，即通常教學(xué)中所說的相同加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)。乘法是表示同數(shù)連加的一種方法，求幾個(gè)相同加數(shù)的和可以用乘法計(jì)算，這說明乘法與加法密切聯(lián)系。但是，與加法相比較，由于乘法中每個(gè)數(shù)所起的作用不同，理解乘法中每個(gè)數(shù)是如何聯(lián)系的，對學(xué)生的抽象思維能力要求更高。因此，在正式學(xué)習(xí)乘法之前，有必要安排一些鋪墊性的訓(xùn)練。

1.1 乘法的鋪墊訓(xùn)練

1）同數(shù)相加。乘法的本質(zhì)是一類特殊的加法，這里所指的特殊就是加數(shù)相同。例如，結(jié)合圖示直觀，初步感知每份量、份數(shù)與總數(shù)之間的關(guān)系。把同數(shù)相加的問題情境轉(zhuǎn)譯成“幾個(gè)幾相加等于幾”，為學(xué)習(xí)乘法的含義打下基礎(chǔ)。2）一與多對應(yīng)。一與多對應(yīng)是指一個(gè)與多個(gè)相對應(yīng)，它是學(xué)生遇到的比較簡單的乘法形式，如1輛汽車有4個(gè)輪子，就是這種對應(yīng)關(guān)系。日常生活中這種例子比比皆是。例如，在正式學(xué)習(xí)乘法之前，讓學(xué)生通過數(shù)每個(gè)集合中物體的個(gè)數(shù)與集合的個(gè)數(shù)，體會(huì)這些數(shù)的含義以及它們之間的關(guān)系，為學(xué)習(xí)乘法積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。3）遞推計(jì)算。這里所指的“遞推”不是指演繹推理中的遞推關(guān)系，而是在同數(shù)相加的計(jì)算中，基于已有的計(jì)算結(jié)果，結(jié)合相同加數(shù)個(gè)數(shù)的變化推算出新的得數(shù)。這種訓(xùn)練結(jié)合20以內(nèi)的進(jìn)位加法進(jìn)行，使學(xué)生在熟練加法計(jì)算的同時(shí)，獲得對相同加數(shù)、相同加數(shù)的個(gè)數(shù)等概念的初步理解。隨著學(xué)生認(rèn)數(shù)范圍的擴(kuò)展，這類鋪墊可以結(jié)合不同的基礎(chǔ)進(jìn)行。例如，學(xué)習(xí)兩位數(shù)加一位數(shù)之后安排：

聯(lián)系進(jìn)位加法的學(xué)習(xí)安排：

1.2 除法的鋪墊訓(xùn)練

除法學(xué)習(xí)的早期鋪墊主要包括兩個(gè)方面：一是理解除法的上位概念——平均分，二是積累把物體平分的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這兩個(gè)方面是相互聯(lián)系的，在實(shí)際教學(xué)中也可以結(jié)合在一起進(jìn)行。例如，教學(xué)時(shí)，可以呈現(xiàn)幾種不同的分法，如通過正反兩種例子的比較，幫助學(xué)生建立平均分的概念。進(jìn)一步，可引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖或操作學(xué)具，把物體拆分成相等的集合。平均分對兒童來說是很生動(dòng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在平均分活動(dòng)中，需要考慮三個(gè)因素：一是全體的大小，二是分為幾部分和每部分的大小，三是各部分必須相等。這些思考構(gòu)成了理解平均分的基礎(chǔ)。平均分通常有兩種含義：一是多個(gè)物體的平均分配，二是一個(gè)物體的平均分。前者是認(rèn)識除法的基礎(chǔ)，后者是認(rèn)識分?jǐn)?shù)的起點(diǎn)。一般在學(xué)習(xí)除法之前只講前者，對于基礎(chǔ)較好的班級，也可以適當(dāng)考慮后者。例如，讓學(xué)生判斷下圖中哪些是把長方形平均分：乘法是加法的重復(fù)，除法也可以看作減法的重復(fù)，乘法和除法的實(shí)際計(jì)算結(jié)果可以由連加或連減導(dǎo)出。這些運(yùn)算之間的聯(lián)系，可以通過問題情境的驅(qū)動(dòng)與形數(shù)結(jié)合的方式，讓學(xué)生感受和體會(huì)。需要說明的是，以上這些鋪墊訓(xùn)練都是結(jié)合不同學(xué)習(xí)階段的重要基礎(chǔ)進(jìn)行的，這樣既可以鞏固當(dāng)前的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，又不會(huì)增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。換句話說，我們所強(qiáng)調(diào)的早期鋪墊，側(cè)重于從知識內(nèi)在聯(lián)系的角度設(shè)計(jì)，而不是為了新知學(xué)習(xí)提前重新構(gòu)建一個(gè)基礎(chǔ)。

2 表內(nèi)乘除法練習(xí)中的思考性訓(xùn)練

用橫排的方式學(xué)習(xí)乘法口訣，以“同數(shù)相乘”作為“幾”的口訣起始句。在學(xué)習(xí)2～4的乘法口訣時(shí)，結(jié)合“乘加”、“乘減”的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)乘法口訣，理解乘法口訣的相互聯(lián)系。

學(xué)習(xí)7，8，9的口訣時(shí)，只剩下6句。借助正方形格子圖的直觀，引導(dǎo)學(xué)生編寫同數(shù)相乘的口訣：先利用正方形內(nèi)8行8列的格子引出8×8=64，八八64，再將其內(nèi)縮一行一列編“七七”的口訣，外擴(kuò)一行一列編“九九”的口訣。進(jìn)而以同數(shù)相乘的口訣為基礎(chǔ)，利用乘加、乘減計(jì)算推導(dǎo)出另外三句口訣。在教學(xué)5～9的乘法口訣時(shí)，用口訣求積與用口訣求商相結(jié)合，相互促進(jìn)，進(jìn)一步理解乘、除法的關(guān)系。乘、除法的問題情境豐富多變，如乘法主要有四種情境，分別是等組、倍數(shù)比較、矩形隊(duì)列、搭配（笛卡爾積），這些情境為設(shè)計(jì)多樣的練習(xí)提供了資源。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)提供不同的問題情境，豐富學(xué)生對乘、除法的理解，使學(xué)生有機(jī)會(huì)在學(xué)習(xí)乘、除法的過程中，培養(yǎng)靈活的思維能力，學(xué)習(xí)重要的數(shù)學(xué)思想。乘、除法聯(lián)系著許多重要的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想，如倍數(shù)、比例、函數(shù)思想等。這些知識可以整合在表格式的應(yīng)用問題中加以滲透。例如，學(xué)習(xí)4的乘法口訣時(shí)，可以安排：這里創(chuàng)設(shè)了兩個(gè)量“共變”的情境，學(xué)生需要考慮變量之間是如何聯(lián)系的，初步體會(huì)函數(shù)關(guān)系，并可為理解比例關(guān)系打下基礎(chǔ)。乘、除法學(xué)習(xí)聯(lián)系廣泛，教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)有目的地開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過設(shè)計(jì)有針對性的練習(xí)，培養(yǎng)不同的數(shù)學(xué)能力。例如，同樣是形數(shù)結(jié)合，可以安排：這里創(chuàng)設(shè)的兩個(gè)問題情境都需要學(xué)生自己構(gòu)建算式，但側(cè)重的基礎(chǔ)和培養(yǎng)的能力不一樣。前一個(gè)是乘法中較為基礎(chǔ)的等組情境，但因?yàn)樾枰臻g觀念而增加了思考性；后一個(gè)是乘法中的倍數(shù)比較，把計(jì)算建立在圖形合與分的基礎(chǔ)上。在乘、除法的學(xué)習(xí)中，對倍數(shù)概念進(jìn)行正向和逆向的應(yīng)用，可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。推理是人們獲得新知的重要手段。任何推理都由兩部分組成，一部分是推理所依據(jù)的已知判斷，即前提；另一部分是推出的新的判斷，即結(jié)論。根據(jù)前提與結(jié)論不同的聯(lián)系方式，可以設(shè)計(jì)出不同形式和不同層次的乘法推理練習(xí)。

2.1 一對多的推理。

每份量（1條裙子的價(jià)格）聯(lián)系著已知條件（前提）與所求問題（結(jié)論），根據(jù)條件與問題之間的直接聯(lián)系構(gòu)建乘法算式。在學(xué)生學(xué)習(xí)到一定階段，可逐步抽象化，以圖形推算的形式呈現(xiàn)，并用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)系條件與問題。例如，

如果★=▲▲▲，那么9個(gè)★=□個(gè)▲。

2.2 三段推理。例如，如果■=★×4 ，★=▲×9，那么■=□個(gè)▲。

由兩個(gè)條件作為前提，根據(jù)兩個(gè)條件之間的聯(lián)系，構(gòu)建新的條件（結(jié)論）。

2.3 對應(yīng)推理。

根據(jù)每份對應(yīng)量的差不變，感知“每份量的差×份數(shù)=總數(shù)差”的數(shù)量關(guān)系。掌握這種數(shù)量關(guān)系，可以解決較復(fù)雜的問題，如下面的差對應(yīng)問題：4. 關(guān)系推理。例如，

已知▲×●=24。如果▲-●=5，那么▲+▲+●=□；如果▲-●=2，那么▲+▲+●=□。根據(jù)數(shù)與數(shù)、式與式之間的關(guān)系，推算出圖形表示的數(shù)。

有些數(shù)學(xué)問題之所以復(fù)雜，是因?yàn)榻鉀Q問題所需要的條件不是直接知道的，或者說被隱蔽起來了。解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)條件之間的關(guān)聯(lián)并推導(dǎo)新條件，這往往需要推理能力的支持。即使是較簡單的數(shù)學(xué)問題，這種能力也可能是解題的關(guān)鍵。如歸一問題：

如果■=21，那么■表示多少？解題時(shí)需要根據(jù)已知條件構(gòu)建出一個(gè)新的條件，即每個(gè)正方形表示21÷3=7。

總之，乘、除法的學(xué)習(xí)，不只是掌握運(yùn)算技能，還要通過豐富多變的練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，特別是要重視運(yùn)用抽象的推理解決問題。

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作者簡介

劉佳（1975-），女，漢族，新疆烏魯木齊，小學(xué)數(shù)學(xué)教師，一級教師。