李朋

【摘 要】本文在思考數(shù)學(xué)例題教學(xué)如何超越模仿、理解和鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的層面，實(shí)現(xiàn)舉一反三、提高思維品質(zhì)的基礎(chǔ)上，從心理學(xué)角度出發(fā)，提出把握教學(xué)起點(diǎn)、創(chuàng)設(shè)有效教學(xué)基礎(chǔ)；開(kāi)辟多通道、實(shí)現(xiàn)思維貫通；進(jìn)行問(wèn)題變式、促進(jìn)有效遷移三大教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 例題教學(xué) 多元表征 變式

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）01B-0139-02

如果說(shuō)概念和定理的教學(xué)成為人們關(guān)注、研究的熱點(diǎn)，那么例題教學(xué)就是研究者忽視的角落。在課堂教學(xué)中，例題教學(xué)是激活舊知，理解和運(yùn)用新知的重要手段，是培養(yǎng)思維能力和創(chuàng)新力的關(guān)鍵。應(yīng)試教育下的例題教學(xué)往往只注重方法和技能的講解，使學(xué)生記憶、模仿，停留在一招一式的層面。例題教學(xué)如何超越模仿、理解和鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的層面，實(shí)現(xiàn)舉一反三、提高思維品質(zhì)的高度？出于對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考，本文從心理學(xué)角度提出例題有效教學(xué)的策略。

一、把握教學(xué)起點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)有效教學(xué)基礎(chǔ)

作為教學(xué)者，在教學(xué)之初應(yīng)該了解教學(xué)對(duì)象的知識(shí)儲(chǔ)備情況，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，從而達(dá)到有效教學(xué)的目的，所以教學(xué)的起點(diǎn)關(guān)鍵在學(xué)生，即學(xué)習(xí)者知識(shí)內(nèi)存及思維發(fā)展?fàn)顩r，教學(xué)者要實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)就要?jiǎng)?chuàng)設(shè)條件促成學(xué)生思維的生長(zhǎng)。下面我們通過(guò)一道例題進(jìn)行教學(xué)探究。

〖例 1〗 x1 和 x2 是方程 x2-（k-2）x+k2+3k+5=0 的兩個(gè)實(shí)根，求 x12+x22 最值。

首先，教學(xué)者針對(duì)上述例題要了解問(wèn)題求解背后需要的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、定理及公式等，摸清學(xué)習(xí)者對(duì)此知識(shí)點(diǎn)掌握情況、相關(guān)解題技巧運(yùn)用能力。比如本題主要考查完全平方公式的拆分與組合以及韋達(dá)定理的掌握，教學(xué)者在施教過(guò)程中可以通過(guò)提問(wèn)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)、暗示等方式來(lái)掌握學(xué)習(xí)者當(dāng)前對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解情況，從而達(dá)到有效引導(dǎo)和合理教學(xué)。其次，非智力因素對(duì)解題也會(huì)產(chǎn)生影響，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，尋找未解問(wèn)題與已有知識(shí)之間聯(lián)結(jié)點(diǎn)，教學(xué)者主動(dòng)搭建平臺(tái)，因勢(shì)利導(dǎo)完成學(xué)生思維生長(zhǎng)即問(wèn)題的解決。

我們可以通過(guò)學(xué)生畫思維導(dǎo)圖的形式了解學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)知和思維的變化，將隱性思維變化顯性化。比如，以下是一個(gè)學(xué)生畫出的例 1 的思維導(dǎo)圖，從（圖 1）可以清晰地了解學(xué)生的知識(shí)和思維狀況。

二、開(kāi)辟多通道，實(shí)現(xiàn)思維貫通

作為學(xué)習(xí)者對(duì)某一問(wèn)題認(rèn)知一般可以通過(guò)視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)等外在感知，達(dá)到從外到內(nèi)的轉(zhuǎn)化。知識(shí)的外在多元表征能夠與學(xué)習(xí)者內(nèi)在認(rèn)知產(chǎn)生交互作用，建構(gòu)起對(duì)新知識(shí)認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決，同時(shí)多元表征系統(tǒng)內(nèi)的關(guān)聯(lián)也對(duì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)起到關(guān)鍵作用。

（一）多元表征在問(wèn)題中的展現(xiàn)。多元表征在學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)知識(shí)、解決問(wèn)題過(guò)程中一般可以歸納為四類，文字表征、符號(hào)表征、圖表表征、實(shí)物表征（圖 2），在認(rèn)知過(guò)程中可能出現(xiàn)一個(gè)表征或兩個(gè)以上表征。

〖例 2〗 求證：分別過(guò)已知直線外一點(diǎn)與這條直線上三點(diǎn)的三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)。

上述求證問(wèn)題，學(xué)習(xí)者看到問(wèn)題是以文字表征的形式出現(xiàn)，這就對(duì)學(xué)習(xí)者語(yǔ)言能力提出要求，作為教學(xué)者可以通過(guò)多元表征將文字表征轉(zhuǎn)化為其他外在形式，構(gòu)建多渠道、多樣化形式理解問(wèn)題達(dá)到知識(shí)的內(nèi)化。針對(duì)這道題，我們除文字表征外可以采用以下幾種表征：

1.語(yǔ)言展示：將文字通過(guò)語(yǔ)言讀出來(lái)達(dá)到對(duì)學(xué)習(xí)者進(jìn)行聽(tīng)覺(jué)刺激的目的。

2.圖形展示：圖形展演引起學(xué)生視覺(jué)刺激，以取得數(shù)形結(jié)合的效果。

3.符號(hào)展示：符號(hào)最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)特點(diǎn)，可使邏輯推理及思維得到傳達(dá)。這道題的符號(hào)表征如下：

已知，Dl；A，B，C∈l，且有 DAl=A，DBl=B，DCl=C，求證 DA，DB，DCa。

這個(gè)問(wèn)題通過(guò)文字表征、語(yǔ)言表征、圖形表征、符號(hào)表征和轉(zhuǎn)譯，使問(wèn)題通過(guò)多個(gè)途徑反映出來(lái)，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題理解多元化，易激活學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)接點(diǎn)，迅速找到解題策略。

（二）多元表征的轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)譯。在解題方面，利用多元表征的轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)譯，可使深度理解。以橢圓的第二定義的教學(xué)為例。

〖例 3〗 點(diǎn) M（x，y）與定點(diǎn) F（c，0））的距離和它到定直線 l∶x= 的距離的比是常數(shù) （a>c>0），求點(diǎn) M 的軌跡。

對(duì)單一表征的教學(xué)而言，從符號(hào)表征方面按照求軌跡方程的步驟推導(dǎo)出 M 的軌跡方程。

2008 年我們對(duì)宜州某高中進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果表明，這樣的教學(xué)不利于學(xué)生形成對(duì)橢圓第二定義的深刻理解，看下面案例。

〖問(wèn)題〗動(dòng)點(diǎn) M 到定點(diǎn) F（-5，0）的距離和它到定直線 的距離的比是 0.6，則 M 的軌跡方程為 。

通過(guò)對(duì)橢圓第二定義的單一表征學(xué)習(xí)，大多數(shù)學(xué)生仍以軌跡方程推導(dǎo)的方式來(lái)完成該問(wèn)題，沒(méi)有形成橢圓第二定義的多元表征及轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)譯的知識(shí)圖式。

對(duì)于表征而言，數(shù)值表征比符號(hào)表征更利于接受。我們可用幾何畫板，呈現(xiàn)如圖 4，通過(guò)拖動(dòng)圖中的 M 點(diǎn)，改變|MF|與 d （動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離）的數(shù)值大小，點(diǎn) M 畫出的軌跡是一個(gè)橢圓，同時(shí)通過(guò)右邊的表格驗(yàn)證 M 點(diǎn)滿足的條件是：|MF|與 d 的比值是常數(shù)，通過(guò)把與文字表征相近的圖形表征和數(shù)值表征呈現(xiàn)給學(xué)生，從而在直觀上給學(xué)生完成由“第二定義”這一符號(hào)表征向“橢圓”這一圖形表征的轉(zhuǎn)譯，再通過(guò)理論上的推導(dǎo)完成由“第二定義”這一符號(hào)表征向“橢圓方程”這一方程的符號(hào)表征的轉(zhuǎn)譯，從而有利于建構(gòu)橢圓第二定義的多元表征圖式，達(dá)到對(duì)橢圓第二定義的深刻理解。我們的教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，按這一策略進(jìn)行教學(xué)之后的測(cè)試中，大多數(shù)學(xué)生在解決上面的問(wèn)題中能通過(guò)尋找以下的關(guān)系解決該問(wèn)題：

這個(gè)問(wèn)題通過(guò)利用符號(hào)表征、數(shù)值表征、圖形表征以及不同表征之間的轉(zhuǎn)譯，促進(jìn)學(xué)生多種內(nèi)部心理發(fā)生交互加工，進(jìn)行心理深加工，在問(wèn)題解決的過(guò)程中促進(jìn)了大腦開(kāi)發(fā)。

三、進(jìn)行問(wèn)題變式，促進(jìn)有效遷移

例題變式分成兩大類，一種就是對(duì)要解決的問(wèn)題的條件、結(jié)論等進(jìn)行相應(yīng)改變和組合，這通常屬于在同一種表征內(nèi)的變式，如例 4；另一種就是情境和表征發(fā)生改變，比如上面的例 2 和例 3 ，我們稱為表征間變式。例題變式教學(xué)使學(xué)生在解決原題的基礎(chǔ)上，能夠深刻理解、把握問(wèn)題核心本質(zhì)，產(chǎn)生遷移，舉一反三。

〖例 4〗 已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是 3，底長(zhǎng)為 5，求周長(zhǎng)。

這是人教版小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三角形一章的一道參考題目，我們可以將此題進(jìn)行問(wèn)題變式：

變式 1：已知等腰三角形一腰長(zhǎng)為 3，周長(zhǎng)為 11，求底邊長(zhǎng)；

變式 2：已知等腰三角形一邊長(zhǎng)為 3，另一邊長(zhǎng)為 5，求周長(zhǎng)；

變式 3：已知等腰三角形的一邊為 4，另一邊長(zhǎng)為 8，求周長(zhǎng)；

變式 4：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為 x，求底邊長(zhǎng) y 的取值范圍；

變式 5：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為 x，底邊長(zhǎng)為 y，周長(zhǎng)是 11。

請(qǐng)先寫出二者的函數(shù)關(guān)系式，再在平面直角坐標(biāo)內(nèi)畫出二者的圖象。

其中變式 1 是培養(yǎng)逆向思維能力；變式 2 為分類的思想的運(yùn)用；變式 3“底只能為 8”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，加深對(duì)三角形的理解；變式 4 把數(shù)字上升為符號(hào)，利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力；變式 5 與前面相比，主要在于對(duì)條件 0

總之，通過(guò)對(duì)例題的變式教學(xué)，加深了對(duì)知識(shí)技能和思想方法的掌握和理解，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、靈活性。

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（責(zé)編 盧建龍）