肖長江，王曉磊，魏 勇

（燕山大學(xué)里仁學(xué)院，河北秦皇島 066004）

基于Matlab的勻質(zhì)擺桿所受轉(zhuǎn)軸約束力分析

肖長江，王曉磊，魏 勇

（燕山大學(xué)里仁學(xué)院，河北秦皇島 066004）

分析重力場中勻質(zhì)桿繞固定軸的擺動過程，給出軸對桿約束力的大小和方向隨桿擺角和擺長變化的定量關(guān)系，利用Matlab分析了約束力的變化特點，更加直觀形象地闡釋了其變力屬性。

Matlab；勻質(zhì)桿；轉(zhuǎn)動慣量；力矩；約束力

勻質(zhì)桿的擺動問題是物理學(xué)中的典型問題，擺動過程中其約束力的大小和方向是不斷變化的，找出約束力變化的規(guī)律及影響因素對于明確其變力屬性有很重要的實際意義，對物理教學(xué)也有一定參考意義。為便于分析，對約束力和擺長進行了無量綱化處理。

1 勻質(zhì)擺桿所受約束力的理論分析

圖1 勻質(zhì)桿的定軸擺動

對O軸而言，桿所受合力矩為重力力矩，即，

設(shè)桿處于水平位置時，角速度為0，進一步，由角加速度的定義

分離變量，并積分得

由公式（1）和公式（2）可得，質(zhì)心的切向加速度和法向加速度分別為

故，質(zhì)心總加速度的大小為

方向用總加速度與切向的夾角θ表示

對桿而言，所受外力為重力和軸對桿的約束力，由質(zhì)心運動定理［1－2］可知m g＋N＝ma，如圖2所示，三個力構(gòu)成一個三角形，利用余弦定理可得

將公式（3）和（4）代入上式得，支持力的大小隨θ角和e的變化關(guān)系如下式所示：

圖2 對勻質(zhì)桿整體的受力分析

關(guān)于支持力的方向可以用支持力與豎直方向的夾角α表示，由正弦定理得，

將公式（3）代入得

將公式（4）代入上式，可得支持力方向隨θ角和e的變化關(guān)系

2 對約束力的數(shù)值模擬結(jié)果

利用Matlab對公式（5）進行分析，得出約束力大小隨擺角和擺長的變化曲線，如圖3所示，由圖可知除擺長e＝0情況外，隨擺角增大，擺桿所受約束力在非線性減小，且當(dāng)擺角約在0～1 rad范圍內(nèi)時，無論擺長怎么變化，約束力始終大于重力；當(dāng)擺角約在1.2 rad以上時，無論擺長怎么變化，約束力始終小于重力；當(dāng)擺角約在1～1.2 rad之間時，擺長的變化亦會影響到約束力的變化。當(dāng)擺長e＝0時，無論擺角如何變化，約束力不變，并且始終等于重力。

圖3 約束力隨擺角和擺長的變化

利用Matlab對公式（6）分析，如圖4所示，約束力的方向角隨擺角的增大先增大后減小，中間存在一個極值，且除e＝0的情況外，隨相對擺長e的增大，該極值也在增大。

對于θ角為負值的情況，由于擺動的對稱性，故只需將角度變換一下符號即可，這里不再贅述，以上分析說明擺桿所受約束力的大小和方向不僅與擺角有關(guān)還與擺長有關(guān)，因此擺桿的約束力有其復(fù)雜性。

圖4 約束力方向角隨擺角和擺長的變化

3 結(jié) 語

基于剛體定軸轉(zhuǎn)動定律和質(zhì)心運動定理，得出勻質(zhì)桿所受軸的約束力的大小與方向和桿的擺角與擺長之間的定量關(guān)系，利用Matlab給出了數(shù)值模擬結(jié)果，并對結(jié)果進行了分析，這對于任意轉(zhuǎn)動剛體所受軸的約束力的分析具有一定借鑒意義，同時有助于加深學(xué)生對擺動物體所受約束力的變力屬性的認識。

［1］ 盧德馨.大學(xué)物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］ 宋偉等.大學(xué)物理［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2009.

Analysis of the Constraint Force of the Spindle in Uniform Mass Distribution Rod of Fixed Axis Based on Matlab

XIAO Chang－jiang，WANG Xiao-lei，WEI Yong

（Liren College，Yanshan University，Hebei Qinhuangdao 066004）

The constraint force of the spindle in uniform mass distribution rod of fixed axis rotation is analysed in gravity field，and the quantified relationship between the magnitude and direction of constraint force and the oscillation angle and oscillation length is given.The relationship graph between them is given by Matlab.It is visual for the cognition of the variable force nature of the constraint.

Matlab；uniform mass distribution rod；inertia；torque；constraint force

O 301

A

1007-2934（2011）05-0073-03

2011-06-07