方杏

在數(shù)學(xué)、物理甚至社會(huì)生活中，反問(wèn)題都是普遍存在的，因?yàn)槭挛锸瞧毡槁?lián)系和相互作用的。本文就數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)中的反問(wèn)題進(jìn)行研究，包括加減法運(yùn)算和乘除法運(yùn)算、數(shù)的擴(kuò)展、簡(jiǎn)便運(yùn)算、算術(shù)與代數(shù)的銜接以及問(wèn)題解決，可以啟發(fā)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)，成為教師的教學(xué)工具和學(xué)生的思維工具。

反問(wèn)題（inverse problem）是相對(duì)于原問(wèn)題（direct problem）提出的。在兩個(gè)問(wèn)題中，如果其中一個(gè)問(wèn)題中的結(jié)構(gòu)或元素包含了另一個(gè)問(wèn)題的解的部分或全部，那么，我們稱這兩個(gè)問(wèn)題互為相反問(wèn)題。數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題，無(wú)論難易，都不是孤立存在的。例如正比例函數(shù)和反比例函數(shù)、原命題和逆命題等等。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中，課程目標(biāo)明確提出培養(yǎng)學(xué)生“從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題”，“養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣”。應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的這種反問(wèn)題意識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷反問(wèn)題的思考，認(rèn)識(shí)問(wèn)題的相反面。在數(shù)學(xué)思考和學(xué)習(xí)中拓寬一些相反方面的視角，進(jìn)而提出反問(wèn)題并解決反問(wèn)題，這不僅是逆向思維的一種具體表現(xiàn)，也是培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí)和創(chuàng)新能力的有效途徑。

1 反問(wèn)題介紹

反問(wèn)題是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系中的一個(gè)基本組成部分。學(xué)生們最早接觸到的是算數(shù)中的反問(wèn)題，例如自然數(shù)及其四則運(yùn)算，包括自然數(shù)的擴(kuò)展，算術(shù)和代數(shù)的銜接等。

1.1 四則運(yùn)算與反問(wèn)題

反問(wèn)題對(duì)于自然數(shù)及其四則運(yùn)算是至關(guān)重要的。在純形式算術(shù)中，理解加減運(yùn)算和乘除法的逆關(guān)系，可以強(qiáng)化學(xué)生靈活高效地進(jìn)行計(jì)算。在加法和減法題目中，以下列舉組合、均衡和比較問(wèn)題這幾類(lèi)，說(shuō)明相反問(wèn)題在這幾類(lèi)情況下使用算術(shù)運(yùn)算的關(guān)系：在組合問(wèn)題中，集合與分離是一對(duì)相反關(guān)系，例如，將17個(gè)男生和21個(gè)女生組成一個(gè)班，或者把班上學(xué)生分成男生和女生兩個(gè)組；均衡問(wèn)題的形式是“A需要增加多少才能變成B？”該問(wèn)題列算式對(duì)應(yīng)的減法是間接加法，即是加法的逆運(yùn)算；在比較問(wèn)題中，例如：A>B，A與B的差和B與A之間的互補(bǔ)差是相反關(guān)系。

同理，除法是乘法的逆運(yùn)算，乘除是一對(duì)相反關(guān)系。在均分問(wèn)題中，總量可以通過(guò)除法運(yùn)算進(jìn)行平均分，或者求等量的幾份的總和，即為相反問(wèn)題。在單位轉(zhuǎn)化中，例如將1平方米轉(zhuǎn)化成10000平方厘米，或?qū)?0000平方厘米化成1平方米，存在相反關(guān)系。同乘法比較，例如，小紅有糖果的數(shù)量是小明的3倍，即小明有糖果的數(shù)量是小紅的三分之一。乘法變形，如將A縮小20%，列算式為：A （1-20%），即A ，是間接的除法運(yùn)算。

1.2 數(shù)的概念的擴(kuò)展與反問(wèn)題

數(shù)字系統(tǒng)的拓展對(duì)學(xué)生理解概念和構(gòu)建數(shù)字系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其評(píng)估有著重要意義。人們對(duì)數(shù)字的認(rèn)識(shí)是從計(jì)數(shù)開(kāi)始的，即1，2，3，4，…，稱之為自然數(shù)（natural numbers）。在自然數(shù)中，加法是封閉的，即兩個(gè)自然數(shù)之和也是自然數(shù)；但其逆運(yùn)算減法是不封閉的，就造成了一種不平衡，所以需要構(gòu)建負(fù)數(shù)。例如：a>b，a-b=c成立，而b-a在自然數(shù)范圍內(nèi)是沒(méi)有意義的，但是數(shù)c=a-b確實(shí)存在，所以就寫(xiě)成b-a=-c，稱之為一個(gè)負(fù)數(shù)。引入負(fù)數(shù)后，加減運(yùn)算就打通了。即：加上一個(gè)正數(shù)就等于減去它的相反數(shù)。

乘法在學(xué)校數(shù)學(xué)中首先是以重復(fù)添加的形式出現(xiàn)的，同樣在自然數(shù)中封閉。且其逆運(yùn)算除法不封閉，這就需要通過(guò)構(gòu)造有理數(shù)體系來(lái)平衡的。在分?jǐn)?shù)乘除法中，一般的乘法很容易得到理解：A 就是用A乘以a再除以b。而在除法中，A除以 等于A乘以 的倒數(shù) ， 即：A A 。如此，分?jǐn)?shù)的除法就可以用乘法逆運(yùn)算解決了。

1.3 簡(jiǎn)便運(yùn)算與反問(wèn)題

這種對(duì)數(shù)的概念及其相反問(wèn)題的理解，有利于學(xué)生快速有效地進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算。當(dāng)一個(gè)學(xué)生學(xué)會(huì)了計(jì)算86 57 142時(shí)，那么他可以根據(jù)加減運(yùn)算的相反關(guān)系，很快找到其相關(guān)問(wèn)題143 86或者85 58的答案。在算術(shù)運(yùn)算中時(shí)常都是伴隨著各種相反關(guān)系，理解這些關(guān)系，并且讓學(xué)生利用這些關(guān)系靈活運(yùn)用四則運(yùn)算，可以檢驗(yàn)計(jì)算和進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。例如：計(jì)算 。一個(gè)學(xué)生可以很流暢迅速地按照順序進(jìn)行計(jì)算，并且得出正確答案，說(shuō)明該學(xué)生很擅長(zhǎng)計(jì)算，但是對(duì)于數(shù)及其運(yùn)算的意義的理解卻未必明確。仔細(xì)觀察算式，不難發(fā)現(xiàn)分子可以寫(xiě)成273 的形式，算式就化簡(jiǎn)為 ，很容易得到答案273。計(jì)算流暢性與對(duì)概念的理解之間的差別是內(nèi)在抽象的，我們很難界定，因此相反問(wèn)題的提出就可以作為一種外在檢驗(yàn)，很好地解決這一困惑，這就需要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)反問(wèn)題的思考。

1.4 算術(shù)與代數(shù)的銜接

算術(shù)與代數(shù)在解決問(wèn)題方法上是不同的。算術(shù)運(yùn)算是為求出結(jié)果而直接進(jìn)行的計(jì)算，而代數(shù)往往需要構(gòu)建一種形式或模型，再進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果，是結(jié)構(gòu)性的思考。例如，計(jì)算15-7，學(xué)生會(huì)有意識(shí)無(wú)意識(shí)地運(yùn)用代數(shù)原理由7+8=15推導(dǎo)出15-7=8（或者15-8=7）。其思考過(guò)程背后其實(shí)就是 。這種聯(lián)系加法和減法的思維過(guò)程，我們稱之為關(guān)系演算（relational calculus）。關(guān)系演算是鏈接算術(shù)和代數(shù)的中心?？蓪⑸鲜鏊闶綄?xiě)成代數(shù)形式，為：7+x=15和x+8=15，其答案就可以通過(guò)加減法的相反關(guān)系來(lái)計(jì)算獲得，這同樣也適用于乘除法。利用算術(shù)的方式解決問(wèn)題，思維是逆向的，而代數(shù)的方法思維是順向的。從算術(shù)到代數(shù)的過(guò)渡其實(shí)是實(shí)現(xiàn)思維方式的轉(zhuǎn)化過(guò)程。這種關(guān)系演算可以讓學(xué)生自主建構(gòu)出一般關(guān)系，聯(lián)系算術(shù)與代數(shù)的算法，讓學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程性的思考，銜接算術(shù)和代數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生從算術(shù)到代數(shù)運(yùn)算的過(guò)渡。

1.5 問(wèn)題解決

應(yīng)用問(wèn)題是小學(xué)階段數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，要解決好問(wèn)題，首先學(xué)生對(duì)于要解決的問(wèn)題和已知信息需要很好的理解，再建立起已知與未知條件之間的聯(lián)系，最后進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果。例如解決下列問(wèn)題：

問(wèn)題1：小明用存錢(qián)罐存錢(qián)，存了20枚5毛硬幣和10枚1元硬幣。（1）小明存了多少枚硬幣？（2）小明一共存了多少錢(qián)？

題目中已知條件為：“5毛硬幣20枚”、“1元硬幣10枚”，目標(biāo)問(wèn)題為：“總硬幣枚數(shù)”和“總錢(qián)數(shù)”。解答思路是很明確的：

（1）20+10=30（枚）

（2）0.5 （元）

問(wèn)題2：小明用存錢(qián)罐存錢(qián)，存了5毛硬幣和1元硬幣共30枚，一共值20元。小明存了5毛硬幣和1元硬幣各多少枚？

分析題目可知，已知信息為：“硬幣總枚數(shù)”和“總面值數(shù)”（或總錢(qián)數(shù)），目標(biāo)問(wèn)題為：“5毛硬幣枚數(shù)”和“1元硬幣枚數(shù)”。解答的方式可以有多種，這里只列出兩種方法作說(shuō)明：

算術(shù)方法：1元硬幣數(shù)量：

5毛硬幣數(shù)量：

（2）方程方法：設(shè)有5毛硬幣x枚，1元硬幣y枚。列方程，得：

解得：

與問(wèn)題1比較，問(wèn)題2的解題過(guò)程較為復(fù)雜，并且思維過(guò)程正好相反。原因在于問(wèn)題1與問(wèn)題2的已知條件與未知條件互換了，問(wèn)題1中包含了問(wèn)題2的問(wèn)題答案，問(wèn)題2中也含有問(wèn)題1的目標(biāo)問(wèn)題。不妨稱問(wèn)題1為原問(wèn)題（direct problem），那么問(wèn)題2則為其反問(wèn)題（inverse problem）。問(wèn)題解決的過(guò)程中最重要的是要建立已知與未知條件的聯(lián)系，而這種反問(wèn)題思考就是學(xué)生理解問(wèn)題本質(zhì)的過(guò)程。

2 反問(wèn)題研究的啟示

不僅在數(shù)學(xué)，物理甚至社會(huì)生活中，反問(wèn)題都是普遍存在的，因?yàn)槭挛锸瞧毡槁?lián)系和相互作用的。本文就數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)中的反問(wèn)題進(jìn)行研究，包括加減法運(yùn)算和乘除法運(yùn)算、自然數(shù)的擴(kuò)展、簡(jiǎn)便運(yùn)算、算術(shù)與代數(shù)的銜接以及問(wèn)題解決，可以在小學(xué)階段內(nèi)啟發(fā)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)，成為教師的教學(xué)工具和學(xué)生的思維工具。在課堂教學(xué)中，教師可以運(yùn)用反問(wèn)題來(lái)創(chuàng)設(shè)不同的問(wèn)題情境，通過(guò)原問(wèn)題與反問(wèn)題相反關(guān)系的結(jié)構(gòu)性特征，轉(zhuǎn)換學(xué)生思考問(wèn)題的角度，提升學(xué)生對(duì)問(wèn)題理解的深度和靈活度。這樣可以讓學(xué)生從表面學(xué)習(xí)層次的理解，上升到問(wèn)題本質(zhì)。學(xué)生往往習(xí)慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問(wèn)題，尋求解決問(wèn)題的辦法，而反問(wèn)題思考，可以打破學(xué)生固化的順向思維方式，逐步形成逆向思維。培養(yǎng)學(xué)生的反問(wèn)題意識(shí)，認(rèn)識(shí)問(wèn)題內(nèi)部的相反關(guān)系，提出反問(wèn)題并解決問(wèn)題的過(guò)程，也是建構(gòu)全面的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，對(duì)學(xué)生更深入的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)有所裨益。

（作者單位：首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院）