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        積分上限函數(shù)的研究與應(yīng)用

        2018-05-14 23:46:33高吉賈文太
        科技風(fēng) 2018年29期
        關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

        高吉 賈文太

        摘要:積分上限函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個重要概念,本文通過推導(dǎo)給出幾類積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并通過例子說明其應(yīng)用。

        關(guān)鍵詞:積分上限函數(shù);導(dǎo)數(shù);應(yīng)用

        在一元函數(shù)積分學(xué)中,為證明原函數(shù)存在定理及牛頓—萊布尼茲公式,引進(jìn)積分上限函數(shù)的概念。下面我們在給出積分上限函數(shù)的基礎(chǔ)上,討論它的應(yīng)用。

        一、積分上限函數(shù)的定義

        定義:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]可積,則對于每一個取定的x∈[a,b],對應(yīng)唯一一個積分值,即Φ(x)=∫xaf(t)dt,x∈[a,b]稱為函數(shù)f(x)的積分上限函數(shù)。積分上限函數(shù)有明顯的幾何意義:設(shè)x∈[a,b]有f(x)0,則積分上限函數(shù)Φx=∫xaftdt是區(qū)間a,x上的區(qū)邊梯形的面積。

        二、積分上限函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

        定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則積分上限的函數(shù) φ(x)=∫xaf(t)dt在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù),且它的導(dǎo)數(shù)是φ′(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x)(a≤x≤b).

        證給自變量x以增量Δx,且使x+Δx在連續(xù)區(qū)間內(nèi),則

        φ(x+Δx)=∫x+Δxaf(t)dt,函數(shù)φ(x)在x處的增量為Δφ(x),則

        Δφ(x)=φ(x+Δx)-φ(x)

        =∫x+Δxaf(t)dt-∫xaf(t)dt

        =∫x+Δxxf(t)dt.

        應(yīng)用積分中值定理,Δφ(x)=f(ξ)·Δx(ξ在x與x+Δx之間),所以Δφ(x)Δx=f(ξ)(Δx≠0).

        令Δx→0,由于f(x)是連續(xù)函數(shù),因此,當(dāng)Δx→0時,ξ→x,則limΔx→0Δφ(x)Δx=limξ→xf(ξ)=f(x).

        即φ′(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x).

        定理2 ddx∫g(x)af(t)dt=f[g(x)]·g′(x),其中g(shù)(x)是可導(dǎo)函數(shù).

        例1求ddx∫πxsint2dt.

        解∫πxsint2dt=-∫xπsint2dt,

        ddx∫πxsint2dt=-ddx∫xπsint2dt=-sinx2.

        例2求ddx∫x20sintdt(x>0).

        解首先要搞清楚函數(shù)關(guān)系,定積分∫x20sintdt是上限x2的函數(shù),而上限x2又是x的函數(shù),因此,對x求導(dǎo)要按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行。

        ddx∫x20sintdt=(∫x20sintdt)′x2·(x2)′x=sinx2·2x=2xsinx.

        三、 積分上限函數(shù)在極限中的應(yīng)用

        例3求limx→1∫x1(t2-1)dtln2x.

        解limx→1∫x1(t2-1)dtln2x=00limx→1x2-12lnx·1x=limx→1x(x2-1)2lnx

        =limx→1x3-x2lnx=00limx→13x2-12x=1.

        例3求ddx∫x20sintdt(x>0).

        解首先要搞清楚函數(shù)關(guān)系,定積分∫x20sintdt是上限x2的函數(shù),而上限x2又是x的函數(shù),因此,對x求導(dǎo)要按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行。

        ddx∫x20sintdt=(∫x20sintdt)′x2·(x2)′x=sinx2·2x=2xsinx.

        四、積分上限函數(shù)在單調(diào)性的應(yīng)用

        例4.設(shè)f(x)∈(0,+ 并且x∈[0,+

        SymboleB@ )時,f(x)0,

        證明:函數(shù)F(x)=∫x0tf(t)dt∫x0f(t)dt在(0,+

        內(nèi)有定義(∵f(x)>0,x>0∫x0tf(t)dt>0)

        由定理1.4得,當(dāng)x>0時

        ddx∫x0tf(t)dt=xf(x);ddx∫x0f(t)dt=f(x).

        故F′(x)=xf(x)∫x0f(t)dt-f(x)∫x0tf(t)dt(∫x0f(t)dt)2=f(x)∫x0(x-t)f(t)dt(∫x0f(t)dt)2

        ∵f(x)>0,t∈(0,x),(x-t)>0

        ∴ f(x)∫x0(x-t)f(t)dt>0,即F′(x)>0

        從而F(x)在(0,+內(nèi)為增函數(shù)。

        作者簡介:高吉(1985),2007年參加工作,現(xiàn)包頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教師;賈文太(1985),2007年參加工作,現(xiàn)任職北方重工業(yè)集團(tuán)公司。

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