王艷海 魏江南 孟義昌 張玉 馬乾偉 擺永強(qiáng)

摘 要：為了解決交通運(yùn)輸和工業(yè)行業(yè)中移動重物的起重機(jī)動臂和支撐點(diǎn)不穩(wěn)定的擺動幅度問題，采用一個(gè)懸掛點(diǎn)在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的擺球系統(tǒng)模型來模擬這一問題的動力學(xué)過程。應(yīng)用拉格朗日方程推導(dǎo)了擺球運(yùn)動的微分方程，采用四階龍格-庫塔算法進(jìn)行了數(shù)值求解，得到了給定懸掛點(diǎn)圓周運(yùn)動半徑、頻率和擺長的條件下，擺球做穩(wěn)定圓周運(yùn)動的擺角，計(jì)算了擺球的穩(wěn)定運(yùn)動軌跡，并將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了對比，理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果精確吻合。研究內(nèi)容在科研和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，研究結(jié)果對起重機(jī)的機(jī)械吊臂設(shè)計(jì)有重要的參考價(jià)值。同時(shí)，文中所用到的理論建模、計(jì)算機(jī)編程、數(shù)值計(jì)算、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等也可以作為一個(gè)非常好的教學(xué)案例，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)理論解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：理論力學(xué)；圓周運(yùn)動；拉格朗日方程；四階龍格-庫塔算法

中圖分類號：O311.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-1542（2018）03-0238-05

在一個(gè)力學(xué)擺的系統(tǒng)中，如果擺球的懸掛點(diǎn)在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在某些給定的初始條件下，擺球?qū)霭霃礁〉姆€(wěn)定的圓周運(yùn)動，這一研究題目來自第二十九屆國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽IYPT第二題：滯后的擺。對該問題的研究，無論在科研、工程技術(shù)領(lǐng)域和教學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用，有助于對起重機(jī)吊臂的設(shè)計(jì)[1-3]，也可以作為理論力學(xué)教學(xué)的補(bǔ)充，增強(qiáng)學(xué)生對理論力學(xué)相關(guān)理論知識的理解，提高學(xué)生將物理理論應(yīng)用到實(shí)際問題中去的能力[4-6]。

1 理論模型

一根長為R的硬質(zhì)桿，桿的一端固定在o點(diǎn)，另一端s繞o點(diǎn)作水平圓周運(yùn)動，并在硬質(zhì)桿的s端連接一根長度為l的細(xì)繩，細(xì)繩的下端懸掛一個(gè)金屬擺球，繩子的伸縮和質(zhì)量不計(jì)。s端開始運(yùn)動后，小球開始擺動，如圖1所示（擺球的三維坐標(biāo)系，xoy平面為水平面）。給定不同的初始條件，小球會呈現(xiàn)出不同的運(yùn)動軌跡，研究擺球做半徑小于R的穩(wěn)定的圓周運(yùn)動的條件。該系統(tǒng)所受的約束是完整約束，可以應(yīng)用拉格朗日方程進(jìn)行求解[1-2，7-14]。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)器材包括：交流變壓器（0～300 V，可調(diào)），風(fēng)扇（55 W），單擺小球，轉(zhuǎn)速測量儀，米尺，視頻拍攝儀，細(xì)繩。

實(shí)驗(yàn)過程如下：在風(fēng)扇葉片上距離轉(zhuǎn)軸15 cm處鉆一個(gè)小孔，把半徑為1 cm的擺球用細(xì)繩系在風(fēng)扇小孔處，把風(fēng)扇轉(zhuǎn)動面放置為水平并固定好，調(diào)節(jié)交流變壓器電壓控制風(fēng)扇轉(zhuǎn)速，用轉(zhuǎn)速測速儀測量風(fēng)扇的實(shí)際轉(zhuǎn)速，用視頻拍攝儀拍攝小球的運(yùn)動軌跡。根據(jù)數(shù)值模擬部分設(shè)定的初始條件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，采用運(yùn)動軌跡分析軟件Tracker恢復(fù)擺球的軌跡，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，如圖5所示。實(shí)線為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，擺球軌跡非常接近于圓（離心率很小的橢圓）。偏離圓軌跡的原因有二：其一是由于在實(shí)驗(yàn)中初始條件非常難以控制，很難達(dá)到其理想值；其二是拍攝的角度稍微偏離了豎直方向（這是為了避開風(fēng)扇葉片對擺球的遮擋），導(dǎo)致用Tracker軟件恢復(fù)擺球軌跡時(shí)帶來誤差。圖5中虛線為初始條件θ=11.6°，其他值與數(shù)值模擬計(jì)算部分相同時(shí)的擺球的理論計(jì)算軌跡，從圖中可以看出數(shù)值模擬計(jì)算的軌跡與實(shí)驗(yàn)軌跡符合的很好。擺球做圓周運(yùn)動時(shí)擺線與豎直方向平均夾角的實(shí)驗(yàn)值為11.02°，與理論值的平均夾角（11.6°）的相對誤差約為6.2%，誤差很小，理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合的很好。懸掛點(diǎn)和擺球的運(yùn)動步調(diào)如圖6所示，圖中實(shí)線和虛線分別表示懸掛點(diǎn)和擺球的運(yùn)動步調(diào)。兩點(diǎn)的運(yùn)動步調(diào)剛好相反，說明擺球的運(yùn)動步調(diào)滯后于懸掛點(diǎn)，滯后的相位為π，實(shí)驗(yàn)中也確實(shí)如此。

4 結(jié) 語

本文研究了懸掛點(diǎn)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動時(shí)擺球的運(yùn)動規(guī)律，應(yīng)用保守力系的拉格朗日方程推導(dǎo)了擺球運(yùn)動的微分方程，并采用python語言進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果精確吻合。研究表明當(dāng)滿足一定的初始條件時(shí)，小球也將在水平面內(nèi)做穩(wěn)定的半徑更小的勻速圓周運(yùn)動，而且相位滯后懸掛點(diǎn)為π，該運(yùn)動對初值非常敏感，如果偏離特定的初始條件，擺球的運(yùn)動軌跡將變得混亂，其緊鄰的軌道是多個(gè)自由度簡諧振動的疊加。研究結(jié)果可以作為理論力學(xué)教學(xué)的一個(gè)極佳的案例，將物理學(xué)原理應(yīng)用到具體的實(shí)際問題中去，涉及到理論推導(dǎo)、計(jì)算機(jī)編程模擬計(jì)算和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，將單純枯燥的理論與計(jì)算和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)術(shù)研究能力。同時(shí)，本文的理論結(jié)果和數(shù)值模擬程序也可以應(yīng)用到起重機(jī)的吊臂設(shè)計(jì)等相關(guān)機(jī)械設(shè)計(jì)的實(shí)際問題當(dāng)中[18-20]。

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