王春勇

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?在數(shù)學(xué)分析課程改革中融入Mathematica軟件輔助計(jì)算，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想與概念的理解，提高動(dòng)手實(shí)踐能力和解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?數(shù)學(xué)分析;Mathematica軟件;無(wú)窮小;導(dǎo)數(shù);積分

[中圖分類號(hào)] ?G642 ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)] ?2096-0603（2018）25-0188-01

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)系各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)甚至科研工作基本功的訓(xùn)練都起到非凡的作用，關(guān)系到整個(gè)數(shù)學(xué)系教學(xué)的成敗[1]。在課程改革中，借助Mathematica軟件的強(qiáng)大計(jì)算能力和作圖能力，有助于凸顯抽象概念的直觀意義，了解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景，提高學(xué)生的動(dòng)手能力。

一、動(dòng)手做數(shù)學(xué)，逐步提煉出抽象的概念

整個(gè)數(shù)學(xué)分析都建立在極限的概念之上，而數(shù)列極限的“ε-N”定義[2]是學(xué)生遇到的一個(gè)“攔路虎”。為了掃清障礙，可以設(shè)計(jì)如下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：

（1）輸入數(shù)列an=■，作出數(shù)列在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的一系列點(diǎn);

（2）輸入衡量標(biāo)準(zhǔn)ε=■，計(jì)算滿足|an-0|<ε的臨界值N（ε）;

（3）變動(dòng)ε，依次求出相應(yīng)的臨界值N（ε）;

（4）動(dòng)態(tài)顯示ε-N的依賴關(guān)系，體會(huì)“任給一個(gè)正數(shù)ε，總存在相應(yīng)的正數(shù)N（ε），自N（ε）以后，各項(xiàng)都與極限值接近”，進(jìn)而提煉出一般性的概念。

類似地，對(duì)重要極限■1+■n=e，也可以作出散點(diǎn)圖，直觀體驗(yàn)極限過(guò)程[3]。

二、揭示數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)部的矛盾，深化對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)

級(jí)數(shù)■un蘊(yùn)含著兩個(gè)方面的矛盾，一方面項(xiàng)數(shù)無(wú)窮多，即n→∞，另一方面加項(xiàng)un→0。為了讓學(xué)生體驗(yàn)無(wú)窮小與無(wú)窮大的對(duì)抗過(guò)程，可以設(shè)計(jì)如下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：

（1）輸入級(jí)數(shù)通項(xiàng)un=■，p=2利用Mathematica的列表功能產(chǎn)生足夠多的項(xiàng);

（2）輸入n=10000，計(jì)算Sn=■uk，n=1，2…，10000;

（3）作出{Sn}的散點(diǎn)圖，觀察趨勢(shì);

（4）變動(dòng)n，體會(huì)n→∞對(duì)和式的影響;

（5）變動(dòng)p，體會(huì)un→0對(duì)和式的影響;

（6）直觀感知級(jí)數(shù)收斂的條件是un=O（■）。

三、借助幾何直觀，直指數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)

泰勒展開(kāi)式采用最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式逼近復(fù)雜的函數(shù)，應(yīng)用很廣，但學(xué)生對(duì)冗長(zhǎng)的公式望而生畏。為揭示泰勒公式的本質(zhì)，可設(shè)計(jì)如下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：

（1）輸入超越函數(shù)f（x）=sinx，利用Mathematica作出簡(jiǎn)圖[4，5];

（2）輸入一次函數(shù)f1（x）=x，作出簡(jiǎn)圖并與f（x）=sinx相比較，體會(huì)兩者在原點(diǎn)切線相同而在其他區(qū)間頗有差異;

（3）添加高次修正項(xiàng)f3（x）=-■x3，作出簡(jiǎn)圖并與f（x）=sinx相比較，體會(huì)兩者在原點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)均相等，從而兩曲線在較大范圍內(nèi)吻合;

（4）繼續(xù)輸入更高階的修正項(xiàng)fn（x）=■xn，體會(huì)修正項(xiàng)的效果，直觀地感受泰勒公式的本質(zhì)。

四、數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)比翼齊飛，大大增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力

硬算固然是數(shù)學(xué)的基本功，繁雜的計(jì)算可以提升學(xué)生的思維品質(zhì)，但較大的計(jì)算量往往也是制約學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的瓶頸。而科學(xué)計(jì)算器Mathematica大大提高了學(xué)生的計(jì)算能力，內(nèi)置的函數(shù)庫(kù)、專業(yè)的軟件包使得學(xué)生可以輕松地調(diào)用命令計(jì)算復(fù)雜的積分、超長(zhǎng)的表達(dá)式、難解的方程組。這將學(xué)生從繁雜的計(jì)算中解脫出來(lái)，學(xué)生只需要關(guān)注實(shí)際問(wèn)題本身，引進(jìn)合適的數(shù)學(xué)工具刻畫(huà)對(duì)象及各種約束條件，然后把計(jì)算和作圖交給Mathematica去完成。這對(duì)于思路靈活的大學(xué)生，無(wú)疑是一種巨大的鼓舞，他們更樂(lè)于把熱情和精力集中在新鮮有趣的現(xiàn)實(shí)對(duì)象上。

比如，關(guān)于流量的計(jì)算即第二型曲面積分一直是難點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生興趣、鼓舞信心，可以設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)：

（1）把液體的流速沿坐標(biāo)軸分解，得■=（x，y，z）=（P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z））;

（2）輸入曲面的方程S：z=z（x，y）;

（3）編寫(xiě)Ma thematica代碼[4，5]，計(jì)算法向量、投影曲面等;

（4）讓Mathematica計(jì)算第二型曲面積分。

改變流速和曲面，計(jì)算相應(yīng)的曲面積分。通過(guò)軟件輔助計(jì)算，激起學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣;鼓舞學(xué)生信心，掌握核心數(shù)學(xué)思想、列出表達(dá)式，則軟件輔助計(jì)算可輕松解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題！

五、結(jié)語(yǔ)

引入Mathematica輔助數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)，大大提高了計(jì)算能力與作圖水平，豐富了教學(xué)手段，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)的許多不足，有助于揭示數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)，還原數(shù)學(xué)思維的直觀面貌，鼓舞學(xué)生不畏艱難、迎難而上的研究熱情，讓更多的學(xué)生學(xué)到更實(shí)用的數(shù)學(xué)以解決他們各自面對(duì)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].高等教育出版社，1993.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].4版.高等教育出版社，2010.

[3]王小華.基于Mathematica的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，12（4）：195-198.

[4]王福貴，王曉玲.Mathematica及其數(shù)學(xué)應(yīng)用[M].中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社，2013.

[5]楊玨.Mathematica應(yīng)用指南[M].人民郵電出版社，2000.