D）的重要內容，曲面造型不僅在理論上具有很高的研究價值， 而且在航空航天、工程設計、動畫制作及計算機圖形設計等領域有著廣泛的應用。隨著科學技術的發(fā)展，傳統(tǒng)的曲面造型方法已無法滿足曲面復雜化和多樣化的需要［1］。 因此，曲面拼接技術應運而生，其理論思想和構造方法幾乎滲透了所有的學科。在計算機輔助幾何設計（CAGD）中，用B 樣條或T 樣條構造曲面因擬合效果好、 程序便于編寫而成為曲面造型的重要方法。但是，當B 樣條曲面的控制頂點發(fā)生變化時， 整個曲面形狀容易

：2 第一類平移曲面本小節(jié)先討論第一類平移曲面M1：r（u，v）=（u，v，f（u）+g（v））。直接計算可得：則的第一基本量為：則有如下定理定理1：對Heisenberg 群中第一類平移曲面M1:r（u，v）=（u，v，f（u）+g（v）），當曲面M1為極小曲面時，函數(shù)f（u），g（v）滿足如下微分方程：對H=0 式關于u，v 求偏導，得：等式兩邊同除以f"g"，再對u，v 求偏導，可得：回代到H=0 的等式中，有：對其關于u，v 求偏導后，再對等式兩邊

方程的微積分中，曲面方程的積分不僅是數(shù)學課程的重點，同樣也是難點.對曲面積分的計算，我們經(jīng)常將其與以前所學過的積分的計算思路、方法與技巧聯(lián)系起來，解題過程看起來復雜難懂.弄清了曲面積分計算的方法，我們不僅可以更好地掌握曲面積分的性質，對曲面積分有更深入的了解，而且還能夠提高對曲面積分的計算能力，更加熟練地掌握關于曲面積分計算的一些技巧，這對今后學習其他更加復雜的方程微積分的求有很大的幫助.通常，我們在實際學習過程中會發(fā)現(xiàn)大部分曲面積分題目都很難做到迎刃而解

型的Bézier曲面因為在形狀設計上的靈活性，得到了大量的應用。同時學術界為克服它在控制多邊形不變時不能調整曲面外形的缺點，引入了形狀參數(shù)。例如，文獻[1]構造了三角域上的局部形狀可調的三次Bézier曲面；文獻[2]從幾何角度定義了帶形狀參數(shù)的四次Bézier曲面；文獻[3]在不升次的前提下，擴展了三角域上的三次Bézier曲面；文獻[4]分析了三角域上生成三角多項式曲面的方法。文獻[1-4]中的曲面除了繼承原有的特性，還能利用形狀參數(shù)來調節(jié)曲面的形狀，

研究。當用B樣條曲面構造i階(i=1,2,…,n)連續(xù)的4邊曲面或N邊曲面時,要求被插值的跨界導矢之間必須滿足一定的約束條件,跨界導矢不能獨立地給出,約束條件難以滿足[8-10],而Coons曲面是由已知的邊界曲線生成的。因此,我們將Coons曲面的構造原理與B樣條曲線相結合,構造了一種新的曲面,稱為Coons類混合B樣條曲面,簡稱CNSBS曲面。本文根據(jù)邊界曲線和跨界導矢構造過渡的CNSBS曲面。結果顯示,該曲面與周邊B樣條曲面處處C1連續(xù)。1 曲面定義

不斷創(chuàng)新，特別在曲面設計方面，采用流線型，不僅體現(xiàn)了時尚美，還體現(xiàn)了科技感。隨著計算機技術的不斷發(fā)展，CAD軟件對產(chǎn)品的創(chuàng)新性設計起到了很大的促進作用。UGNX是一款面向設計、仿真和制造的高性能軟件，能實現(xiàn)整個產(chǎn)品開發(fā)設計過程，適用于現(xiàn)代工業(yè)的需求。近些年，國內外UGNX研究應用的工程技術人員做了大量有益的技術工作，其軟件版本不斷更新，為設計創(chuàng)新性產(chǎn)品的建模提供了更完善的方法，已有使用NX對復雜、不規(guī)則曲面建模的大量科技文獻發(fā)表，取得了非常好的效果。UGN

題詞：車身 A級曲面 拼接 光順1 前言在汽車車身A級曲面逆向設計中，由于曲面形狀非常復雜，難以用單一的曲面對其進行光順，大多先采用分塊光順的方法[1]，然后再利用橋接、匹配、圓角過渡等方式拼接分塊光順好的曲面，但直接采用上述方式得到的拼接曲面的光順精度達不到工程要求，因此需對拼接曲面的光順方法進行研究。目前，對于拼接曲面的光順問題已有學者進行了相關研究，但有些研究局限于曲面拼接理論的探討[2-4]，或利用連續(xù)條件進行拼接[5]，或采用如小波基多尺度分解方

整曲率線網(wǎng)的光滑曲面設計鄭薈瑩，伯彭波(哈爾濱工業(yè)大學(威海)計算機科學與技術學院，山東 威海 264209)為了設計具有規(guī)整曲率線網(wǎng)且無臍點的光滑曲面，提出一種曲面交互設計算法。采用Bézier曲面片光滑拼接構成的復合曲面作為表達形式，通過交替曲率線網(wǎng)的優(yōu)化和曲面細分得到自由形狀的設計曲面，所得曲面具有規(guī)整曲率線網(wǎng)而且沒有臍點。以此復合Bézier曲面為基礎，通過圓紋樣條曲面優(yōu)化算法得到結構規(guī)整的圓紋樣條曲面，同時也能得到圓錐曲面條模型以及曲面多層支撐結

34)0 引 言曲面拼接在工程設計中的廣泛應用,使其成為了目前科研領域中的重要課題,而曲面拼接在許多學者的探索下,誕生了很多種曲面拼接的方法。滾動球法是由Rossignac和Requicha提出[1],滾球法可以概括為一個球與2個待拼接曲面同時相切的球滾動時形成的掃掠曲面。偏微分方程法(PDE)在幾何造型中的最初應用就是構造過渡面[2]。蒙皮是應用在飛機業(yè)和船舶業(yè)中包圍在骨架結構外形成的維形構件。蒙皮構造法由Woodward提出,這個過程就如在建造機翼時在

組，吉林 長春）曲面積分是微積分理論的重要內容，具有高度的抽象性和嚴謹性，同時也具有廣泛的應用性。一、第一型曲面積分的概念與性質定義設∑為光滑曲面，函數(shù)f（x，y，z）是定義在∑上的有界函數(shù)。把∑任意分成n個小塊△Si（i=1，2，…，n），△Si也表示其面積。在△Si上任取一點（ξi，ηi，ζi），用λ表示∑的直徑中最大者。如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)f（x，y，z）在曲面∑上的第一型曲面積分，或對面積的曲面積分，記為第一型曲面積分的性質：性質1（線

空零件如復合材料曲面構件和鈑金曲面零件的制造過程中，模具是一種必不可少的工藝裝備。它主要利用自身的外形，通過一定的方法使得一些具有流動性或塑性變形的坯料成形，得到要求的形狀和尺寸。與零件相接觸的模具型面需要在零件曲面的基礎上向外延拓，以布置與成形工藝相關的結構，如圖1所示。延拓曲面為零件曲面的自然延伸，要求與零件曲面光滑過渡。圖1 模具延拓曲面示意圖圖2 分段延拓的缺陷零件曲面多是經(jīng)過多種操作得到的組合曲面，而模具型面是由工裝設計人員對零件曲面進行延拓、裁

，對于其在曲線和曲面上的形式并未明確，目前主要在連續(xù)型曲面上提出了相關假設。我們知道第二型曲面積分的不等式性質一般不成立，所以一般情況下,第二型曲面積分的中值定理亦不再成立，欲使其成立，那么對曲面的要求將更加嚴格，本文便給出了這樣的曲面，同時將中值定理的“連續(xù)性”弱化為“介值性”和“可積性”,并在其上定義和證明了第二型曲面積分的中值定理。一、定義和定理欲使第二型曲面積分的中值定理成立，那么對曲面的要求將更加嚴格，以下我們將對這類曲面進行討論。1．法線單向曲

8029)?談談曲面積分的計算方法張曉春(江西工程學院，江西 新余 338029)這里介紹將第二型曲面積分化為二重積分來計算的方法,第二型曲面積分屬于向量函數(shù)的積分，在流體力學和電磁學等領域有極為廣泛的運用。所以，正確選擇計算第二型曲面積分的方法對解決問題有著很大的幫助。曲面積分；二重積分；計算；轉換1 第二型曲面積分定義2 將第二型曲面積分化為二重積分來計算的方法①第二型曲面積分?∑P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dx

）0 引 言相鄰曲面的連續(xù)拼接對于自由曲面造型［1］非常重要，因此CAD 和CAGD 領域學者對曲面拼接問題進行了大量深入的研究，例如代數(shù)曲面間拼接［2，3］、Bezier曲面間拼接［4，5］、NURBS 曲 面 間 拼 接［6，7］、以 及B 樣 條 曲 面 間 拼接［8，9］。由于B樣條曲面被廣泛用于產(chǎn)品設計中的自由曲面造型，而且經(jīng)常需要通過局部拼接來得到外形更靈活的B樣條組合曲面，因此B 樣條曲面間的局部連續(xù)拼接在產(chǎn)品設計時就顯得更為重要。在實際拼接

遇到許多需要構造曲面的問題，特別是在服裝設計、鞋制造業(yè)等行業(yè)，通常要求設計者在給定的曲線上設計出需要的曲面，而給定的曲線是不允許改變的，但可以通過修改其他地方來滿足人們的審美要求。將給定的曲線作為所要構造的曲面的測地線越來越受到設計者的青睞，而測地線就是曲面上測地曲率處處為0的曲線。以給定的曲線為邊界測地線構造曲面一直受到國內外研究者的關注。文獻［1］利用Frenet標架研究了以給定曲線為邊界測地線的曲面構造問題，所構造的曲面為直紋面，給出了所構造曲面以給

言高等數(shù)學教材對曲面的有界性基本沒有給出定義，一般來講是一帶而過[1,2]，究其原因，在于簡單、通俗、非數(shù)學專業(yè)的學生容易理解的曲面有界性定義很難給出.但這一概念又是高等數(shù)學教材中關于曲面積分內容中最基本的假設與前提[1,2].本文基于高等數(shù)學所涉及的曲面范疇給出了簡單、通俗的曲面有界性定義.第二類曲面積分無疑是高等數(shù)學的教學難點之一，通過對這一問題多年的探討與教學實踐，我們獲得了一些經(jīng)驗，使得在解決這一老大難問題時思路清晰，可操作性強，教學效果較好，本文

容易完成，但對于曲面的建模，往往會出現(xiàn)以下情況：一是曲面建模困難;二是曲面建構后，曲面與曲面的銜接不順滑，出現(xiàn)明顯的接縫痕跡，這兩種情況都屬于曲面建模的失敗。因此，要想獲得完整順滑的曲面體，曲面建構的方法和技巧是關鍵。1 電燙斗的曲面分析圖1 電燙斗曲面體如圖1 所示的電燙斗是一個完整的曲面體，手柄和面蓋為光滑連接，整體無接縫。該零件采用的是整體流線型的設計，其造型優(yōu)美。特點為整體都是曲面，且曲面之間都是順滑連接，這種造型在電器當中很常見。一般初次遇到此類

1三向四次箱樣條曲面與Bézier曲面的光滑拼接楊聯(lián)強，王 東安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 2306011 引言箱樣條（Box Spline）理論由de Boor和DeVore[1]開創(chuàng)，它以B樣條和Bézier方法為其特例，將單變量樣條推廣到多元樣條。在不同次數(shù)和定義域剖分方法的箱樣條中，三向四次樣條曲面由于其次數(shù)和連續(xù)階之間良好的均衡（四次，C2連續(xù)），從而得以廣泛重視和應用。著名的Loop細分曲面就是將三向四次箱樣條曲面從正規(guī)三角控制網(wǎng)格推廣到自由三

205）0 引言曲面是一種厚度為零的幾何體，若想生成曲面，可以使用與生成實體相同的許多工具，如拉伸、旋轉、掃描、放樣等，曲面還有一些其他的功能或特征，如剪裁、解除剪裁、延伸以及縫合等。從實體的曲面造型入手創(chuàng)建實體比直接從實體造型出發(fā)創(chuàng)建實體要具有優(yōu)勢，及更大的靈活性，因為可等到設計的最終步驟后再定義曲面之間的邊界，此靈活性有助于產(chǎn)品設計者操作平滑和延伸的曲線。盡管在不同的三維軟件如Pro／E、UG、CATIA和SolidWorks中所使用的指令有所差別，但

前言影響汽車車身曲面光順質量和效率的根本因素是曲面控制頂點的排列[1]，良好的曲面控制頂點排列對于獲得期望的形狀和提高光順效率具有重要意義。對于汽車車身A級曲面，其控制頂點的排列除與曲面的形狀有關外，還與曲面的曲率和曲面與周邊曲面的連續(xù)性有關?，F(xiàn)有文獻對曲面光順準則僅提出控制頂點排列要規(guī)則有序[2,3]，或僅從連續(xù)性方面分析了曲面曲率對控制頂點排列的影響[4]，而沒有對曲面的形狀控制等進行探討。針對上述情況，研究了曲面曲率大小對單個基本曲面及多個基本曲面控

技術就是車身A級曲面的重構．矩形域參數(shù)曲面的擬合方法一直是曲面重構方面研究的重點．目前矩形域參數(shù)曲面的重構主要有兩種方法：一種是先將測量點擬合成曲線，再通過曲面造型的方式將曲線構建成曲面［2－5]，該方法必須首先保證擬合曲線的精度，但即使擬合曲線滿足精度要求，也不能保證由擬合曲線生成的曲面在規(guī)定的誤差要求之內；另一種是由測量數(shù)據(jù)直接擬合曲面［2]，該方法省去了擬合曲線的步驟，提高了擬合的效率，而且已經(jīng)在軟件當中有所應用，如UG的pointcloud，Pro

研發(fā)過程中，汽車曲面是汽車設計的一個重要的組成部分，光順的車身曲面對于提高汽車的市場競爭力極為重要。車身造型、車身空氣動力學性能等都與車身曲面有密切的關系，因此汽車曲面品質是影響汽車外觀設計以及汽車性能的一個重要環(huán)節(jié)。同時，具有良好光順性的曲面可以降低加工難度、縮短生產(chǎn)周期和降低成本。在保證車身曲面品質的要求下，準確全面的分析出車身的曲面品質，對曲面進行光順優(yōu)化，合理高效的設計出符合行業(yè)生產(chǎn)要求的曲面，是目前面臨的課題。1 車身曲面分類汽車車身曲面按照其可

學原理設計的復雜曲面結構。其數(shù)控制造技術一直是飛行器制造技術的重要內容［1］。復雜曲面的現(xiàn)代數(shù)控制造技術是通過復雜曲面的NURBS離散數(shù)據(jù)驅動球面刀具相對工件運動實現(xiàn)的。盡管以NURBS法描述復雜曲面的優(yōu)點已為眾多相關研究所證實［2］，但是，由其驅動球面刀具完成復雜曲面的數(shù)控加工卻存在難以接受的缺點:低效率的材料“點”去除加工、高成本的球面刀具。在多軸聯(lián)動數(shù)控技術出現(xiàn)以前，由于機床加工運動功能的局限性，在刀具相對工件的包絡運動中，刀具包絡面的特征線(刀刃線

8)對于參數(shù)曲線曲面的凸性問題，國內外已有很多學者研究。參數(shù)Bezier曲線的凸性問題，Liu C和劉鼎元等已基本解決[1-2]。參數(shù)曲面的凸性研究一直是人們感興趣的問題，常庚哲等得到了三角域上非參數(shù)Bezier曲面的凸性條件[3]，Zhi L等導出了三角域上參數(shù) Bezier曲面的凸性條件[4]。KORAS G D和KAKLIS P D得到了一般矩形域上參數(shù)曲面凸的充要條件[5]。工業(yè)產(chǎn)品形狀的數(shù)學描述重在解決曲面的數(shù)學描述。由于實際形狀的復雜性，用單一

擬合平面B、圓角曲面C、自由曲面D、自由曲面E、圓角曲面F、圓角曲面G、圓角曲面H）及修剪面的邊界三步，便可完成該產(chǎn)品的外形逆向設計。汽車零件逆向設計要求：1）設計偏差≤0.5mm。2）角度偏差≤0.5°。3）曲面相切連續(xù)。原始點云數(shù)據(jù)如圖1所示，逆向設計完成后的產(chǎn)品如圖2所示。圖1 原始點云數(shù)據(jù) 圖2 逆向設計完成后的產(chǎn)品圖3 去除噪點后的點云數(shù)據(jù)1 點云分析及處理根據(jù)點云特征進行分塊處理，這對后面的設計十分重要。原始點云數(shù)據(jù)上有三處噪點，必須去除。1）