金席卷 ，姚 杰 ，方 逵

(1.長(zhǎng)沙大學(xué) 電子與通信工程系，湖南 長(zhǎng)沙 410003；2.湖南農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410128)

對(duì)于參數(shù)曲線曲面的凸性問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外已有很多學(xué)者研究。參數(shù)Bezier曲線的凸性問(wèn)題，Liu C和劉鼎元等已基本解決[1-2]。參數(shù)曲面的凸性研究一直是人們感興趣的問(wèn)題，常庚哲等得到了三角域上非參數(shù)Bezier曲面的凸性條件[3]，Zhi L等導(dǎo)出了三角域上參數(shù) Bezier曲面的凸性條件[4]。KORAS G D和KAKLIS P D得到了一般矩形域上參數(shù)曲面凸的充要條件[5]。

工業(yè)產(chǎn)品形狀的數(shù)學(xué)描述重在解決曲面的數(shù)學(xué)描述。由于實(shí)際形狀的復(fù)雜性，用單一曲面往往難以實(shí)現(xiàn)，很多時(shí)候都采用拼接曲面。由于B-樣條曲面本身是組合曲面，構(gòu)造一個(gè)k×l次拼接曲面只需增加一排 k個(gè)或l個(gè)控制點(diǎn)，且拼接曲面能保持比次數(shù)低一階的導(dǎo)數(shù)連續(xù)。根據(jù)B-樣條曲面的局部性質(zhì)，可以完成任意多張曲面片的保凸拼接，將一張小的曲面片擴(kuò)張成較大的曲面。最后用幾個(gè)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了多張三次曲B-樣條面片的保凸拼接，達(dá)到了較為理想的效果。

1 參數(shù)曲面的凸性

設(shè)有參數(shù)曲面Σ：r=r(u，v)，對(duì)曲面Σ上任何一點(diǎn)P，設(shè)曲面在點(diǎn)P的法向量為n，過(guò)點(diǎn)P的切平面為π。切平面π將歐氏空間R3分成兩個(gè)半空間，沿點(diǎn)P的法向量n的正向指向的半空間為切平面的上半空間，另一個(gè)半個(gè)空間為下半空間，包含切平面π的半空間稱為閉半空間。

定義1 設(shè)有參數(shù)曲面Σ：r(u，v)，(u，v)?D∈R2，如果?(u，v)∈D，若 ru×rv≠0，則稱Σ是正則曲面。

從全局凸的角度，WILHELM K[6]給出了凸曲面的原始幾何定義。

定義2 一個(gè)正則曲面Σ：r(u，v)，(u，v)?D∈R2，如果?(u，v)∈D，曲面Σ完整地處在P點(diǎn)的切平面的閉上半空間(閉下半空間)，則稱該曲面是全局凸曲面。

平面是一個(gè)特殊的全局凸曲面。全局凸曲面的判別是十分困難的，至今還沒(méi)有代數(shù)判別方法，只能用原始的幾何定義。

定義3 設(shè)有正則曲面Σ：r(u，v)，(u，v)?D∈R2，P是曲面Σ上的任意一點(diǎn)，如果對(duì)于過(guò)P點(diǎn)的任一條法截線都存在P點(diǎn)的某個(gè)鄰域，在該鄰域內(nèi)，法截線對(duì)應(yīng)的曲線段完整地處在P點(diǎn)切平面的上半空間 (下半空間)，則Σ稱是局部凸曲面。

顯然，全局凸曲面是局部凸曲面。

KORAS G D和KAKLIS P D[5]給出了局部凸曲面的充分必要條件：

引理1[6]正則曲面Σ：r(u，v)，(r(u，v)∈C2(D)，D∈R2)為局部凸的充要條件是：L≥0，N≥0，LN-M2≥0或L≤0，N≤0，LN-M2≥0。

2 B-樣條曲面的凸性分析

給 定(m+1)×(n+1)個(gè) 控 制 頂 點(diǎn) di，j(i=0，1，… ，m；j=0，1，…，n)的陣列，構(gòu)成一張控制網(wǎng)格。又分別給定參數(shù)u與v的次數(shù)k與l和兩個(gè)節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0，u1，…，um+k+1]與 V=[v0，v1，…，vn+l+1]。

k×l次張量積B-樣條曲面為

其 中 ，B-樣 條 基 Ni，k(u)(i=0，1， … ，m)與 Nj，l(v)(j=0，1，…，n)分別由節(jié)點(diǎn)矢量U與V按de Boor-Cox遞推公式?jīng)Q定。B-樣條曲線的局部性質(zhì)可以推廣到曲面。因此定義在子矩形域 ue≤u≤ue+1，vf≤v≤vf+1上那塊 B-樣條子曲面片僅和控制點(diǎn)陣中的部分頂點(diǎn) di，j(i=e-k，e-k+1，…，e；j=f-l，f-l+1，…，f)有關(guān)，而與其他頂點(diǎn)無(wú)關(guān)。 相應(yīng)地，式(1)就可改寫為分片表示形式：

k×l次張量積B-樣條曲面的一階偏導(dǎo)矢和二階偏導(dǎo)矢分別為：

由引理1易得到下面的結(jié)論。

推論1 B-樣條曲面為局部凸，當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式成立：

或

接下來(lái)主要研究均勻和準(zhǔn)均勻B-樣條曲面的凸性。因?yàn)?準(zhǔn))均勻B-樣條的端點(diǎn)外所有節(jié)點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度Δi=ui+1-ui=常數(shù)>0，所以上式中的與可化簡(jiǎn)為：

根據(jù)推論1及上面的公式，可得到B-樣條曲面片局部凸的一個(gè)充分條件。

定理1(準(zhǔn))均勻 k×l次 B-樣條曲面片(式(2))局部凸的充分條件是

其中 ，i，γ=e-k，e-k+1，… ，e-1；j，t=f-1，f-l+1，… ，f；δ，α=e-k+1， …，e；η，ξ=f-l，f-l+1， …，f-1；s=e-k，ek+1，…，e-2；β=f-l，f-l+1，f-2。

當(dāng) k×l次(準(zhǔn))均勻 B-樣條曲面(式(2))的控制網(wǎng)格是凸的，且控制子網(wǎng)格是平行四邊形時(shí)，有：

于是，由上面的定理有以下推論。

推論2 當(dāng) k×l次(準(zhǔn))均勻 B-樣條曲面(式(2))的控制網(wǎng)格是凸的，且控制子網(wǎng)格是平行四邊形，則(準(zhǔn))均勻B-樣條曲面是局部凸的。

但 對(duì) 于(m+1)×(n+1)個(gè) 控 制 頂 點(diǎn) di，j(i=0，1，… ，m；j=0，1，…，n)組成的一張 B-樣條曲面來(lái)說(shuō)，情況與Bézier曲面略有區(qū)別。因?yàn)锽-樣條曲面是一類組合樣條曲面，由多張B-樣條曲面片組成，具有局部性質(zhì)。因此，B-樣條曲面為凸的條件除了要求每張曲面片為凸外，還要求每相鄰兩張曲面片間的連接仍然保持凸性。根據(jù)兩相鄰B-樣條曲面片間可達(dá)到至少一階倒數(shù)連續(xù)的性質(zhì)，只需要各相鄰曲面片同向凸即可保證曲面的凸性，即 保 證 (m+1)×(n+1)個(gè) 控 制 頂 點(diǎn) di，j(i=0，1， … ，m；j=0，1，…，n)構(gòu)成的網(wǎng)格是凸的。

3 B-樣條曲面的保凸拼接條件

工業(yè)產(chǎn)品形狀的數(shù)學(xué)描述重在解決曲面的數(shù)學(xué)描述。由于實(shí)際形狀的復(fù)雜性，用單一曲面往往難以實(shí)現(xiàn)，很多時(shí)候都采用拼接曲面。根據(jù)推論2.2控制網(wǎng)格與B-樣條曲面凸性的關(guān)系，可以得到B-樣條曲面的保凸拼接條件。B樣條曲面本身就是組合曲面，本節(jié)主要討論怎樣組合才使得曲面是凸的。

設(shè)有一個(gè)凸的k×l次B-樣條曲面片：

對(duì)于該曲面來(lái)說(shuō)，只要在網(wǎng)格u向或v向增加一排頂點(diǎn)，那么就增加了一個(gè)曲面片，并且增加的曲面仍然具有原來(lái)的連續(xù)性。所以，如何構(gòu)造這一排頂點(diǎn)使生成的曲面與原曲面完成保凸拼接是解決問(wèn)題的重點(diǎn)。

由推論2知道，當(dāng)控制子網(wǎng)為平行四邊形時(shí)，網(wǎng)格凸則B-樣條曲面凸。于是就得到B-樣條曲面保凸拼接的條件：

推 論 3 構(gòu) 造 的 u 向 頂 點(diǎn) de+1，j和 v 向 頂 點(diǎn) di，f+1分 別要滿足：

和

注意，若原 B-樣條曲面上凸，則式(5)和式(6)都取≤0；若為下凸，則都取≥0。

4 保凸拼接的B-樣條曲面實(shí)例

已知一凸得到B-樣條曲面片如圖1所示，而沿v向的保凸拼接曲面如圖2所示，沿u向的保凸拼接曲面如圖3所示，面四片三次B-樣條曲面片的拼接如圖4所示。

本文重點(diǎn)討論了B-樣條的凸性和保凸拼接，但只研究均勻與準(zhǔn)均勻B樣條，而對(duì)于非均勻B樣條以及非均勻有理B樣條有待進(jìn)一步深入探討。

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[9]蘇步青.微分幾何五講[M].上海：上?？萍汲霭嫔?，1979.

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