郭清偉， 張官升

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

在日常生活中會(huì)遇到許多需要構(gòu)造曲面的問(wèn)題，特別是在服裝設(shè)計(jì)、鞋制造業(yè)等行業(yè)，通常要求設(shè)計(jì)者在給定的曲線上設(shè)計(jì)出需要的曲面，而給定的曲線是不允許改變的，但可以通過(guò)修改其他地方來(lái)滿(mǎn)足人們的審美要求。將給定的曲線作為所要構(gòu)造的曲面的測(cè)地線越來(lái)越受到設(shè)計(jì)者的青睞，而測(cè)地線就是曲面上測(cè)地曲率處處為0的曲線。

以給定的曲線為邊界測(cè)地線構(gòu)造曲面一直受到國(guó)內(nèi)外研究者的關(guān)注。文獻(xiàn)［1］利用Frenet標(biāo)架研究了以給定曲線為邊界測(cè)地線的曲面構(gòu)造問(wèn)題，所構(gòu)造的曲面為直紋面，給出了所構(gòu)造曲面以給定曲線為邊界測(cè)地線的充要條件；文獻(xiàn)［2］對(duì)給定的三次Bézier曲線，利用所構(gòu)造曲面的切平面與所給曲線的法平面之間所應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系，研究了以給定的三次Bézier曲線為邊界測(cè)地線的曲面構(gòu)造問(wèn)題，避免了利用Frenet標(biāo)架和曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)化，所構(gòu)造的曲面也是直紋面；文獻(xiàn)［3］把以給定多項(xiàng)式曲線為邊界測(cè)地線的曲面構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為插值問(wèn)題；基于Hermite插值方法，文獻(xiàn)［4］研究了以給定的2條空間曲線為邊界測(cè)地線的曲面構(gòu)造問(wèn)題；文獻(xiàn)［5－6］討論了給定空間4條多項(xiàng)式或有理Bézier曲線構(gòu)成的曲邊四邊形，構(gòu)造張量積Bézier曲面，使所構(gòu)造的曲面以給定的曲線為邊界測(cè)地線的問(wèn)題；文獻(xiàn)［7］討論了以給定的空間曲線為邊界測(cè)地線構(gòu)造三角Coons曲面片的問(wèn)題；文獻(xiàn)［8］討論了以給定的空間三次多項(xiàng)式Bézier曲線為邊界測(cè)地線的可展曲面的構(gòu)造及G1連續(xù)性問(wèn)題。

本文利用一條曲線為所在曲面的測(cè)地線當(dāng)且僅當(dāng)其從切面與該曲面在這條曲線上的切平面重合這一論斷，對(duì)給定的三次Bézier曲線構(gòu)造三次三角Bézier曲面，使該曲面以給定的曲線為其邊界測(cè)地線，給出了用給定曲線的控制頂點(diǎn)表示所構(gòu)造曲面的控制頂點(diǎn)的表達(dá)式；討論了具有公共測(cè)地線的2個(gè)三次三角Bézier曲面的C1和G1連續(xù)性；為了說(shuō)明所給方法的有效性，給出了幾個(gè)數(shù)值實(shí)例。

1 背景知識(shí)

定義2 設(shè)Pij∈R3（i＝0，1，…，m；j＝0，1，…，n），稱(chēng)參數(shù)曲面

為m×n次張量積Bézier曲面。其中，（u）和（u）為m和n次Bernstein基函數(shù)。

定義3 設(shè)Pi，j，k∈R3（i，j，k≥0，i＋j＋k＝n），稱(chēng)曲面

為n次三角Bézier曲面，其中

稱(chēng)為二元n次Bernstein多項(xiàng)式。

曲面上的測(cè)地線是曲面上一類(lèi)重要的曲線，被稱(chēng)為“曲面直線”。關(guān)于測(cè)地線有如下引理。

引理1 設(shè)曲面S：r＝r（u，v）上一曲線C：u＝u（t），v＝v（t）（t為參數(shù)），其主法向量為N，曲面S在C上的法向量為n，則曲線C為測(cè)地線的充要條件為：N∥n［9］。

2 給定測(cè)地邊界線的三角Bézier曲面構(gòu)造

證明 由定理?xiàng)l件顯然有P（u，0，w）＝P（u），u∈［0，1］，w＋u＝1。下證P（u，0，w）為曲面P（u，v，w）的邊界測(cè)地線。因?yàn)?/p>

所以由（2）式、（3）式可得：

由Pi，0，3－i＝Pi（i＝0，1，2，3）和（1）式可得曲面P（u，v，w）在邊界P（u，0，w）上關(guān)于u和v的偏導(dǎo)數(shù)分別為：

對(duì)（6）式關(guān)于μ進(jìn)行一次升階得：

由（2）式、（4）式、（5）式、（7）式得曲線P（u）＝P（u，0，w）的主法向量與三次三角 Bézier曲面P（u，v，w）在邊界P（u，0，w）上的法向量滿(mǎn)足：

由引理1可知P（u，0，w）為曲面P（u，v，w）的邊界測(cè)地線。

由定理1可得如下推論。

3 2個(gè)三次三角Bézier曲面的連續(xù)性

和

構(gòu) 造 三 次 三 角 Bézierr曲 面P（u，v，w）＝（u，v，w），u，v，w≥0，u＋v＋w＝1和（u，v，w）＝（u，v，w），u，v，w≥0，u＋v＋w＝1，則有：① 曲線P（u）為三次三角Bézier曲面P（u，v，w）和（u，v，w）的公共邊界測(cè)地線；② 當(dāng)β＝－α?xí)r，P（u，v，w）和（u，v，w）是C1連續(xù)的；③ 當(dāng)β≠－α，但αβ＜0時(shí)，P（u，v，w）和（u，v，w）是G1連續(xù)的。這里α、β為非零常數(shù)。

（11）式中的α與（12）式中的β異號(hào)是為了確保P（u，v，w）和（u，v，w）在公共邊的兩側(cè)。

證明 （1）由定理1可得曲線P（u）＝P（u，0，w）＝（u，0，w），且為三次三角 Bézier曲面P（u，v，w）和（u，v，w）的邊界測(cè)地線。

（2）由定理?xiàng)l件可得：

當(dāng)α＝－β時(shí)有：

同理可得：

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，由（13）～（15）式知三次三角Bézier曲面P（u，v，w）和（u，v，w）在公共邊界是C1連續(xù)的。

（3）當(dāng)β≠－α，但αβ＜0時(shí)，由定理?xiàng)l件可得：

同理可得：

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，由（13）式和（17）～（19）式知三次三角Bézier曲面P（u，v，w）和（u，v，w）在公共邊界是G1連續(xù)的。

4 數(shù)值實(shí)例

圖1所示為按定理1當(dāng)α取不同值，而P0，3，0、P0，2，1、P1，2，0取相同值時(shí)所構(gòu)造的具有公共測(cè)地線的2個(gè)三次三角Bézier曲面；圖2所示為按定理2當(dāng)α、β取不同值，P0，3，0、P0，2，1、P1，2，0取不同值時(shí)所構(gòu)造的具有公共測(cè)地線的2個(gè)三次三角Bézier曲面。

圖1 按定理1當(dāng)α取不同值時(shí)所構(gòu)造的具有公共測(cè)地線的2個(gè)三次三角Bézier曲面

圖2 按定理2當(dāng)α、β取不同值時(shí)所構(gòu)造的具有公共測(cè)地線的2個(gè)三次三角Bézier曲面

5 結(jié)束語(yǔ)

本文利用一條曲線為所在曲面的測(cè)地線的充要條件是其從切面與該曲面在這條曲線上的切平面重合，給出以給定的三次Bézier曲面為邊界測(cè)地線的三次三角Bézier曲面的構(gòu)造方法，得到了用所給曲線控制頂點(diǎn)表示所構(gòu)造曲面的控制頂點(diǎn)的表達(dá)式，討論了具有給定公共測(cè)地線的組合三次三角Bézier曲面的連續(xù)性。將進(jìn)一步研究對(duì)給定的n次（n≥4）Bézier曲線，如何構(gòu)造以給定曲線為邊界測(cè)地線的n次三角Bézier曲面，以及如何構(gòu)造2條邊界或3條邊界均為所構(gòu)造的三角Bézier曲面的邊界測(cè)地線的曲面構(gòu)造問(wèn)題。

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