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        曲面積分的計(jì)算與應(yīng)用研究

        2018-10-29 10:05:08梁宏偉
        新課程(下) 2018年8期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)區(qū)域

        梁宏偉

        (長春市養(yǎng)正高級中學(xué)數(shù)學(xué)組,吉林 長春)

        曲面積分是微積分理論的重要內(nèi)容,具有高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性,同時也具有廣泛的應(yīng)用性。

        一、第一型曲面積分的概念與性質(zhì)

        定義設(shè)∑為光滑曲面,函數(shù)f(x,y,z)是定義在∑上的有界函數(shù)。把∑任意分成n個小塊△Si(i=1,2,…,n),△Si也表示其面積。在△Si上任取一點(diǎn)(ξi,ηi,ζi),用λ表示∑的直徑中最大者。如果極限存在,

        則稱此極限值為函數(shù)f(x,y,z)在曲面∑上的第一型曲面積分,或?qū)γ娣e的曲面積分,記為

        第一型曲面積分的性質(zhì):

        性質(zhì)1(線性性質(zhì))設(shè)函數(shù)f,g在光滑曲面S上的第一型曲面積分存在,k1,k2是兩個常數(shù),則k1f+k2g在S上的對面積的曲面積分也存在,并且

        性質(zhì)2(可加性)設(shè)函數(shù)f在光滑曲面S上的第一型曲面積分存在,S可劃分為兩個光滑曲面 S1,S2,則 f在 S1,S2上的第一型曲面積分都存在;反之,如果f在S1,S2上的第一型曲面積分都存在,則f在S上的第一型曲面積分也存在,即

        當(dāng)S為唯一封閉曲面時,習(xí)慣上把f(x,y,z)在S上的第一型曲面積分面積記為

        二、利用曲面方程化曲面積分為二重積分計(jì)算

        分析 ∑在xOy面上的投影區(qū)域比較寬泛,故將曲面積分轉(zhuǎn)化為xOy面上二重積分比較方便。

        ∑在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈:x2+y2≤2x

        于是,有

        由積分曲面的形狀來決定曲面向哪個坐標(biāo)面(如xOy面)投影,然后將曲面方程改寫為該坐標(biāo)面上的顯函數(shù)(如z=f(x,y)),最后由此曲面方程表達(dá)面積元素(如

        分析 因?yàn)橹鎥2+y2=R2在平面xOy上的投影區(qū)域?yàn)橐粭l曲線圓x2+y2=R2,其面積為0,所以不能往xOy平面上投影,可向yOz平面(或向zOx平面)投影,但是曲面關(guān)于另兩個坐標(biāo)面都是對稱的,可以應(yīng)用對稱性定理簡化計(jì)算。

        解 由對稱性定理知,∑關(guān)于zOx平面和yOz平面對稱,被積函數(shù)關(guān)于y與x為偶函數(shù),設(shè)∑1表示∑的位于第一卦限的部分,則有

        例3 計(jì)算下列曲面積分:

        分析 積分曲面∑均為球面x2+y2+z2=a2,關(guān)于三個變量具有輪換對稱性,被積函數(shù)的每一項(xiàng)的對應(yīng)法則又一致,又由于積分曲面的方程可以代入被積函數(shù)中去,從而可以應(yīng)用輪換對稱性簡化計(jì)算。

        計(jì)算曲面積分時,應(yīng)注意觀察其積分的特點(diǎn),選取恰當(dāng)?shù)姆椒梢院喕?jì)算。

        若滿足對稱性定理轉(zhuǎn)化為第一卦限的部分來計(jì)算,各積分的上、下限均為非負(fù)數(shù),使得計(jì)算方便。

        通過對曲面積分的研究,我們更加深刻地理解了曲面積分的重要性,尤其對曲面積分計(jì)算方法與應(yīng)用的研究,例如我們可以通過第一型曲面積分求曲面的面積、質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量等;通過第二型曲面積分求通量、散度、旋度、流量等。

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