吳麗娟, 韓 松, 李 博

(沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

曲面拼接在工程設(shè)計中的廣泛應(yīng)用,使其成為了目前科研領(lǐng)域中的重要課題,而曲面拼接在許多學(xué)者的探索下,誕生了很多種曲面拼接的方法。滾動球法是由Rossignac和Requicha提出[1],滾球法可以概括為一個球與2個待拼接曲面同時相切的球滾動時形成的掃掠曲面。偏微分方程法(PDE)在幾何造型中的最初應(yīng)用就是構(gòu)造過渡面[2]。蒙皮是應(yīng)用在飛機(jī)業(yè)和船舶業(yè)中包圍在骨架結(jié)構(gòu)外形成的維形構(gòu)件。蒙皮構(gòu)造法由Woodward提出,這個過程就如在建造機(jī)翼時在一系列翼肋組成的骨架上加上一張蒙皮,這樣子機(jī)翼蒙皮就稱為掃掠曲面。它的主要原理是通過一個拓?fù)潼c(diǎn)陣,或者離散的點(diǎn)云,這種方法在數(shù)學(xué)上就是通過在這些點(diǎn)陣和截面曲線間插值來構(gòu)造過渡曲面。PDE法設(shè)計曲面節(jié)省資源,條件是切觸線并計算待拼接曲面與過渡曲面的跨界導(dǎo)矢;構(gòu)造過渡曲面只需要給出待拼接曲面邊界上的點(diǎn)和待拼接曲面和過渡曲面間的跨界導(dǎo)矢就能生成光滑過渡面;可調(diào)整待拼接曲面邊界上的點(diǎn)和待拼接曲面和過渡曲面間的跨界導(dǎo)矢來改變過渡面的形狀。偏微分方程法又相繼發(fā)展出許多新的求解過渡曲面方法,如Lihua.You[3]的先后提出的四階偏微分方程法和特征函數(shù)法。本文在查閱大量參考文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,設(shè)計了3個矢量參數(shù)下的求解PDE的方法,并通過該方法實(shí)現(xiàn)了曲面的C1連續(xù)拼接[4]。

1 B樣條曲線與曲面

1.1 B樣條曲線

B樣條曲線具有局部性、連續(xù)性、凸包性、變差縮減性等特點(diǎn)。

B樣條曲線定義公式:

(1)

Pi(i=0,1,…,n-1,n)為控制多邊形頂點(diǎn),順序連成的折線稱為控制多邊形[5],Ni,k(t)(i=0,1,…,n-1,n)稱為B樣條基函數(shù),它是由節(jié)點(diǎn)矢量的非遞減參數(shù)T的序列,由t0≤t1≤…≤tn決定的[6]。本文利用VC2010, 根據(jù)B樣條曲線基函數(shù)公式設(shè)計出B樣條曲線在控制頂點(diǎn)不斷變化下產(chǎn)生的曲線,產(chǎn)生曲線如圖1所示[7]。

圖1 B樣條曲線的生成Fig.1 Gernervation of B-spline curves

1.2 B樣條曲面

由于B樣條曲面的特點(diǎn)是局部支撐性、連續(xù)性、凸包性和變差縮減性,B樣條曲面方法可以處理曲面的重建工程, B樣條曲面造型技術(shù)廣泛的應(yīng)用在工程設(shè)計中,并且成為了當(dāng)今最廣泛流行的數(shù)學(xué)模型分析的主要選擇方案[8]。

圖2 B樣條曲面的生成Fig.2 Gernervation of B-spline curves

B樣條曲面是在已知參數(shù)向量u,v的節(jié)點(diǎn)向量u=[u0,u1,…,um+p]和v=[v0,v1,…,vn+q],p×q階B樣條曲面表達(dá)式定義如下[9]:

(2)

其中,Pi,j(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)是給定空間(m+1)×(n+1)個點(diǎn)列,構(gòu)成一張離散的控制點(diǎn)網(wǎng)格,稱為B樣條曲面的特征網(wǎng)格。Ni,p(u)和Nj,p(v)是B樣條函數(shù),分別由節(jié)點(diǎn)向量U和V按B樣條曲面基函數(shù)所得。B樣條曲面繼承了B樣條曲線的一些特性[10]。

1.3 構(gòu)造B樣條曲面

首先通過讀取出2個5×5離散控制點(diǎn)數(shù)據(jù)來繪制出控制點(diǎn)網(wǎng)格。再在基于B樣條曲線曲面基函數(shù)公式繪制出一個基于散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)B樣條曲面網(wǎng)格,再用相同的方法繪制出第2個基于散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)下的B樣條曲面網(wǎng)格,這樣就繪制出了2個待拼接的曲面。

2 曲面拼接的構(gòu)造

2.1 曲面拼接的偏微分方程法

在實(shí)際工程應(yīng)用中,生成曲面需要以下3種條件中的一種或者幾種:1)功能上的限制,2)實(shí)際應(yīng)用中的限制,3)美觀程度,這樣符合要求的曲面稱為過渡曲面。在數(shù)學(xué)上,過渡曲面的構(gòu)造可以看作求解:在已知待拼接曲面邊界上的點(diǎn)的曲面上,計算出待拼接曲面間符合待拼接曲面邊界上點(diǎn)的函數(shù)曲面w(u,v),典型的待拼接曲面邊界上的點(diǎn)是以w及其偏導(dǎo)數(shù)在給定待拼接曲面邊界上點(diǎn)的值的形式給出的,偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)由過渡曲面與待拼接曲面間的連續(xù)性要求所決定[11]。

本文采用偏微分方程法生成過渡面的實(shí)現(xiàn):1)首先設(shè)計偏微分方程過渡曲面表達(dá)式,2)求得待拼接曲面邊界上的點(diǎn),3)計算偏微分方程,4)求得待拼接曲面。關(guān)鍵步驟就是如何求解偏微分方程。本文主要闡述了在3個矢量參數(shù)下的求解PDE的方法,并通過該方法實(shí)現(xiàn)了曲面的C1連續(xù)拼接[12]。

2.2 拼接算法實(shí)現(xiàn)

設(shè)待求過渡曲面的表達(dá)式為:

(3)

為了實(shí)現(xiàn)曲面的拼接,設(shè)計運(yùn)用3個矢量參數(shù)的4階偏導(dǎo)數(shù)實(shí)現(xiàn)曲面的C1連續(xù)。

圖3 過渡曲面與原曲面位置關(guān)系及符號Fig.3 Symbol of relation between transition and original surface

為了實(shí)現(xiàn)曲面的C1連續(xù),首先構(gòu)造偏微分方程表達(dá)式:

(4)

這里w=w(u,v)表示待生成的過渡曲面,a=[axayaz]T,b=[bxbybz]T,c=[cxcycz]T是3個矢量值參數(shù)也就是形狀參數(shù)。因此如果w(u,v)邊界線與2個待拼接曲面的過渡切觸線能夠達(dá)到一階(C1)連續(xù),那么生成的過渡曲面也是滿足C1連續(xù)的[13]。

根據(jù)曲面C1連續(xù)的條件,為了求得w(u,v)的表達(dá)式,首先需要知道2個待拼接曲面的邊界條件,構(gòu)造待拼接兩曲面邊界滿足如下定義:

(5)

其中,G1(v)、G3(v)是2個曲面的邊界曲線,G2(v)、G4(v)是邊界曲線的一階導(dǎo),G1(v)、G2(v)是其中一個待拼接曲面邊界上的點(diǎn),G3(v)、G4(v)是另一個待拼接曲面邊界上的點(diǎn),如果w(u,v)符合等式(5)的要求,則w(u,v)一定就與2個待拼接曲面達(dá)到C1連續(xù)。因?yàn)橹苯忧蠼鈝(u,v)的表達(dá)式是非常困難的,而且在邊界上w(u,v)都是關(guān)于v的函數(shù),下面采取如下方法求解w(u,v)的近似表達(dá)式[14-15]。Gi(v)i=1,2,3,4通常都是簡單函數(shù)的集合,所以設(shè)計下面的方程來重新表達(dá)Gi(v):

(6)

(7)

為了求解式(6),先引入半解析法,轉(zhuǎn)換成如下形式:

(8)

將式(8)代入到式(7)當(dāng)中去,則有:

(9)

將式(9)代入到式(8)當(dāng)中去,則有可得到ci0,ci1,ci2,bi1,bi2的值,則有:

可得:

(11)

為了驗(yàn)證本算法,分別設(shè)3個形狀參數(shù):ax=ay=az=1,bx=by=bz=4,cx=cy=cz=9求得x,y,z的表達(dá)式分別如下:

(12)

那么接下來就是求解未知常數(shù)ax10,ax11,ax12,ax13,ay10,ay11,ay12,ay13,az10,az11,az12,az13,首先根據(jù)邊界條件(5)、(6)求得az10,az11,az12,az13的值az10=3,az11=-4,az12=8,az13=6,最后求得x,y,z的表達(dá)式為:

(13)

雙圓柱曲面拼接結(jié)果如圖4所示。

圖4 通過改變控制矢量實(shí)現(xiàn)的曲面拼接的改變Fig.4 Realize the change of surface joining by change control vector

分別是ax=ay=az=1,ax=ay=az=2,ax=ay=az=3,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)a的數(shù)值發(fā)生變化時,拼接曲面的改變會比較大。

3 結(jié) 論

在綜合論述B樣條曲線曲面生成原理的基礎(chǔ)上設(shè)計了通過3個矢量形狀參數(shù)4階偏微分方程的算法來完成B樣條曲面C1連續(xù)拼接,較好的解決了曲面形狀微調(diào)的問題,有利于曲面形狀的控制,而且在曲面閉合的情況或非閉合情況下都可應(yīng)用,能夠較好的滿足實(shí)際需要,為曲面的光滑拼接的研究提供了理論基礎(chǔ)。本算法實(shí)現(xiàn)了一階連續(xù)曲面拼接,在此基礎(chǔ)上可擴(kuò)展到對高階連續(xù)曲面的拼接需求,滿足實(shí)際工程領(lǐng)域的需要。