孫 欣, 高 躍

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

時(shí)滯系統(tǒng)的分析和綜合一直以來是控制理論和控制工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題。自20世紀(jì)70年代 Lyapunov泛函引入時(shí)滯系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)以來,Lyapunov方法已經(jīng)成為處理時(shí)滯系統(tǒng)的有利工具?；贚yapunov穩(wěn)定性理論,構(gòu)造一個(gè)適合的Lyapunov-Krasovskii泛函(簡(jiǎn)稱L-K泛函)得到時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件是分析和綜合時(shí)滯系統(tǒng)常采用的方法。

一般地,由構(gòu)造的L-K泛函得到的是時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。目前,L-K泛函仍沒有統(tǒng)一的構(gòu)造方法。在構(gòu)造L-K泛函時(shí),通常含有積分項(xiàng),從一重積分、二重積分逐漸發(fā)展為三重積分和四重積分。2010年,SUN等[1]提出將三重積分加入到L-K泛函中,有效降低了保守性。

同時(shí), 因?qū)Ψe分項(xiàng)的放大而利用的不等式隨之增多,形式不一。Xia 等[2]、孫等[3]文獻(xiàn)中,積分項(xiàng)的放大均采用了Jensen積分不等式。文獻(xiàn)[4]提出了Wirtinger積分不等式在時(shí)滯系統(tǒng)中的應(yīng)用,相比Jensen積分不等式,Wirtinger積分不等式具有更小的保守性。

本文在對(duì)現(xiàn)有時(shí)滯系統(tǒng)研究成果的基礎(chǔ)上,對(duì)L-K泛函的構(gòu)造形式、L-K泛函求導(dǎo)后積分項(xiàng)處理這2方面做以分類、對(duì)比與總結(jié)。

1 構(gòu)造L-K泛函

在穩(wěn)定性判據(jù)推導(dǎo)過程中,需要構(gòu)造一個(gè)合適的L-K泛函來獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性條件。對(duì)于同一個(gè)時(shí)滯系統(tǒng), L-K泛函的選取也不相同,因此得到的穩(wěn)定性判據(jù)形式不同,結(jié)果的保守性也有差異。本文將針對(duì)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)常用的3類泛函進(jìn)行研究。

1.1 問題描述

考慮時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)

(1)

1.2 3類常用的L-K泛函

對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)而言,常用的L-K泛函包括雙重積分型、三重積分型、四重積分型和增廣型。

1.2.1 雙重積分型L-K泛函

文獻(xiàn)[5]針對(duì)區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng),選取了如下形式的L-K泛函:

其中:Qi>0,Wi>0,R>0,P,Qi,Wi,(i=1,2),R為正定矩陣;x(t)是為狀態(tài)向量。 由式(2)可以看出,V3(t)為雙重積分型, 對(duì)V3(t)關(guān)于t求導(dǎo),得

(3)

1.2.2 多重積分型L-K泛函

針對(duì)雙重積分型 L-K泛函時(shí)滯信息有限的問題,現(xiàn)已擴(kuò)展到多重積分型,其中包括三重積分型和四重積分型。

1) 三重積分型L-K泛函

文獻(xiàn)[1]提出將三重積分加入到L-K泛函中,文獻(xiàn)[6-8]在 L-K 泛函中也加入了三重積分項(xiàng),形式如下:

(4)

其中Ui>0(i=1,2)為正定矩陣。

2) 四重積分型L-K泛函

文獻(xiàn)[9] 在L-K泛函中加入四重積分, 具體形式如下:

(5)

其中Zi>0(i=1,2)為正定矩陣。

1.2.3 增廣型L-K泛函

文獻(xiàn)[3]在構(gòu)造L-K泛函時(shí),對(duì)狀態(tài)向量進(jìn)行擴(kuò)維,得到增廣型。形式如下:

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)

其中

(6)

其中:R,T,Q>0為正定矩陣;P為非奇異矩陣;Y為適維矩陣。

這里V4(t)狀態(tài)向量是增廣型。分別對(duì)V3,V4關(guān)于t求導(dǎo),得

1.3 L-K泛函中時(shí)滯信息的處理

在推導(dǎo)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件,構(gòu)造L-K泛函時(shí),通常要考慮時(shí)變時(shí)滯上下界τM,τm信息,不僅如此,還將時(shí)變時(shí)滯τ(t)的變化區(qū)間[τm,τM]分割成N(N≥2)部分,這種處理方法稱為時(shí)滯分割法。根據(jù)情況,時(shí)滯可以進(jìn)行均等分割,若考慮一般化情況,時(shí)滯還可以進(jìn)行不均等分割。

1.3.1 時(shí)滯均等分割

其中

其中:Qi>0(i=1,…,4),Tj>0(j=1,2)為正定矩陣。

可以看到V函數(shù)中不僅含有時(shí)滯下限τm和時(shí)滯上限τM,還有中值τ0。取中值的目的在于構(gòu)造L-K泛函時(shí)另外增加了時(shí)滯中值的信息, 降低結(jié)論保守性。

1.3.2 時(shí)滯不均等分割

時(shí)滯不均等分割較均等分割更具一般性,可以利用更多時(shí)滯信息,降低結(jié)論保守性。以文獻(xiàn)[9]為例,考慮時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)(1),運(yùn)用時(shí)滯不均等分割方法構(gòu)造L-K泛函。引入一個(gè)自由參數(shù)γ滿足0<γ<1。變時(shí)滯h(t)滿足hm≤h(t)≤hM,設(shè)hΔ=γhm+(1-γ)hM,則有hm

2 L-K泛函求導(dǎo)后積分項(xiàng)的處理方法

為了得到時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件,首先構(gòu)造L-K泛函,然后對(duì)泛函求導(dǎo)。在求導(dǎo)過程中,為保證穩(wěn)定性條件可以表示成線性矩陣不等式的形式, 方便利用MATLAB中LMI工具箱求解,需要處理L-K泛函求導(dǎo)后的某些積分項(xiàng)?；蛘哌M(jìn)行恒等變形,例如引入自由權(quán)矩陣;或者進(jìn)行放大,放大過程中,會(huì)選用不同形式的不等式,如Jensen積分不等式、Wirtinger積分不等式等。運(yùn)用這些不等式時(shí),相應(yīng)會(huì)產(chǎn)生一定的保守性。

2.1 自由權(quán)矩陣方法

對(duì)泛函L-K求導(dǎo)后,可以通過增加矩陣變量構(gòu)造恒為零的等式,以減少結(jié)論保守性,這種方法稱為自由權(quán)矩陣方法。文獻(xiàn)[5]中,添加了恒為零的等式:

自由權(quán)矩陣方法的優(yōu)點(diǎn)在于,它沒有改變?cè)酱笮?通過引入自由矩陣變量,降低結(jié)論保守性。

2.2 Jensen積分不等式

Gu等[10]提出了以下形式的Jensen積分不等式:對(duì)于向量函數(shù)x以及正定矩陣R>0,有積分不等式成立:

(7)

通過Jensen積分不等式,可以把不等式左邊積分項(xiàng)含有的二次型轉(zhuǎn)化成不等式右邊2個(gè)向量相乘的形式,從而可以寫成線性矩陣不等式的形式。還可以推廣到二重積分或三重積分的情形。

(二重Jensen積分不等式)[11]:對(duì)于向量函數(shù)x以及正定矩陣R,以下積分不等式成立:

(8)

還有許多改進(jìn)的Jensen積分不等式的運(yùn)用,如文獻(xiàn)[3,10-13]。

2.3 Wirtinger積分不等式

Wirtinger積分不等式是傅里葉分析中很著名的不等式,根據(jù)限定條件的不同,分為多種形式。與Jensen積分不等式相比,它具有更小的保守性。Wirtinger積分不等式的運(yùn)用,可見文獻(xiàn)[11,14-17];其離散形式的運(yùn)用,可見文獻(xiàn)[18-20]。

Wirtinger積分不等式[4]:對(duì)任意給定的常矩陣R>0,向量函數(shù)x:[a,b]→Rn,有如下不等式成立:

(9)

其中

(10)

注釋2 比較式(7)、式(9),可以看到Wirtinger積分不等式比Jensen積分不等式保守性小。

Wirtinger積分不等式還有一些其它形式[11]:對(duì)任意的正定矩陣R>0,向量函數(shù)x:[a,b]→Rn,有如下不等式成立:

其中

Wirtinger積分不等式適用于連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)。與連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的是離散時(shí)滯系統(tǒng),那么離散型的Wirtinger不等式[18-19]可以應(yīng)用到離散時(shí)滯系統(tǒng)中, 關(guān)于離散型的Wirtinger不等式有如下形式:

1) 對(duì)于給定的正定矩陣R>0,非負(fù)整數(shù)a,b,k滿足a≤b≤k,x(s)為列向量函數(shù),有如下不等式成立:

其中

其中

3 結(jié) 語

本文研究了時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)L-K泛函的構(gòu)造和泛函求導(dǎo)后積分項(xiàng)的處理方法。L-K泛函包括雙重積分型、多重積分型、增廣型,以及利用時(shí)滯分割法構(gòu)造L-K泛函。L-K泛函求導(dǎo)后積分項(xiàng)的處理方法,有自由權(quán)矩陣法、Jensen積分不等式和Wirtinger積分不等式方法。較Jensen積分不等式、Wirtinger積分不等式有更小的保守性。