劉玉忠, 張嘉恬

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

切換系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng),它由有限個子系統(tǒng)及作用在其中的切換規(guī)則組成,由于切換系統(tǒng)具有非常重要的實際意義,在過去幾十年中被普遍關注[1-17]。WICKS等[3]研究了共同李雅普諾夫函數(shù)方法;BRABICKY[4]和孫常春等[5]研究了多李雅普諾夫函數(shù)方法;HESPANHA等[6]研究了基于駐留時間的慢切換方法。平均駐留時間方法作為研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要方法,要求在有限時間內(nèi)切換次數(shù)是有限的,并且在2個連續(xù)切換點間的時間間隔的平均值不小于一個常數(shù),學者們發(fā)現(xiàn)在相關穩(wěn)定性分析中,平均駐留時間切換比駐留時間切換的保守性要小[7-9]。

在切換系統(tǒng)中,把一個子系統(tǒng)稱為一個模型,而本文所說的控制問題就是設計模型依賴控制器或模型獨立控制器并找到可行的切換信號使系統(tǒng)穩(wěn)定[10-11]。模型依賴的控制器具有更小保守性,這就意味著控制器間的切換與模型間的切換完全同步的實際意義很小。異步控制是指備選控制器間的切換與系統(tǒng)模型間的切換是異步的,因為在實際中控制器需要時間去識別系統(tǒng)模型,這就使控制器與系統(tǒng)模型之間無法完全同步,即產(chǎn)生了控制器的延遲。由于異步控制在實際生活中具有重要研究價值,因此許多研究領域都涉及到了異步切換,例如異步觀測器設計[12]、異步濾波[13]、異步H∞控制[14]等。Zhang和Gao[15]研究了線性切換系統(tǒng)的異步切換;Lian和Ge[16]研究了異步切換下切換系統(tǒng)魯棒H∞輸出跟蹤反饋問題;Fei等[17]研究了2-D切換系統(tǒng)的異步控制問題。雖然考慮帶有時滯以及不確定的切換系統(tǒng)會使分析變得更加復雜,但卻具有實際意義。

本文研究了在異步切換下含有不確定時變時滯系統(tǒng)的魯棒控制問題。首先利用平均駐留時間方法得到了異步切換下系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件,其次在此基礎上設計了相應的狀態(tài)反饋控制器,用Schur補引理將其轉化為線性矩陣不等式便于利用MATLAB等數(shù)學工具求解。

1 問題描述

考慮由以下狀態(tài)方程描述的不確定時變時滯系統(tǒng):

(1)

式中:x(t)∈Rn是狀態(tài)向量;u(t)∈Rm是控制輸入;A、B、D、E1、E2、Ed是已知的適當維數(shù)矩陣;ΔA、ΔAd、ΔB是范數(shù)有界不確定參數(shù)矩陣且滿足[ΔAΔAdΔB]=DF(t)[E1EdE2],其中F(t)∈Ri×j為滿足FT(t)F(t)≤I的不確定矩陣;σ(t)是時間的分段常函數(shù),稱為切換信號,σ(t):[0,∞)→M={1,2,…,t},l為子系統(tǒng)個數(shù),與之對應的一個切換序列可記為0

0≤d(t)≤h,d(t)≤τ<1

(2)

構造一個無記憶狀態(tài)反饋控制器

u(t)=Kσ′(t)x(t)

(3)

結合式(1)和式(3)所導出的閉環(huán)系統(tǒng)如下:

(4)

本文目的是得到系統(tǒng)(4)魯棒指數(shù)穩(wěn)定的充分條件以及得到狀態(tài)反饋控制器的控制器增益矩陣。為此需要下面的引理。

引理[18]給定適當維數(shù)的矩陣Y、D、E,其中Y是對稱的,則

Y+DFE+ETFTDT<0

對所有滿足DT(t)F(t)≤I成立,當且僅當存在一個常數(shù)ε>0,使得

Y+εDDT+ε-1ETE<0

2 主要結果

定理1 給定常數(shù)α>0,β>0,?i,j∈M,i≠j,如果存在對稱正定矩陣Pj,Ri和常數(shù)ε1>0,ε2>0,使

Pi≤μPj,Ri≤μRj

(5)

(6)

(7)

成立,這里

假設子系統(tǒng)的駐留時間滿足下式:

(8)

則異步切換下切換系統(tǒng)(4)指數(shù)穩(wěn)定。

證明 分別討論t∈[tk-1+Δk-1,tk)和t∈[tk,tk+Δk)的情形。

1) 當t∈[tk-1+Δk-1,tk)時,構造分段Lyaponov泛函:

(9)

由式(2)可得

(13)

由式(6),可得到

(14)

這里

2) 當t∈[tk,tk+Δk)時,構造分段Lyaponov泛函:

在此區(qū)間內(nèi)σ′(t)=i,σ(t)=j

(15)

V2σ′(t)在此區(qū)間上的導數(shù)為

由定理1和式(7)可以得到

再由引理得,存在一個標量ε2>0,使

(18)

由式(18)得

(19)

結合式(14)和式(19)得

顯然如果式(8)成立,則有t→∞時,V(t)→0。

令κ1=minλmin(Pi),κ2=maxλmax(Pi)+hmaxλmax(Pi),由式(23)可以得到

結論得證。

定理2 給定常數(shù)α>0,β>0,μ≥1,?i,j∈M,i≠j,如果存在ε1,ε2,Xi>0,Vt>0,并且對任意矩陣Wi滿足如下LMIs:

這里

證明 應用矩陣的Schur補引理,(6)式等價于

(28)

式(28)等價于

對上式矩陣分別左乘和右乘矩陣diag{Xi,Vi,I,I,I,I}可得式(26),同理對式(7)做相同的處理可得式(27)。

此外,應用Schur補引理,式(25)等價于

即由式(25)可得式(5)。

結論得證。

3 結 論

文章研究了一類不確定時變時滯線性切換系統(tǒng)的異步切換問題。通過平均駐留時間法,找到了保證切換系統(tǒng)在異步切換下魯棒指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。構建的李雅普諾夫函數(shù)是控制器切換信號決定的并且選取的李雅普諾夫函數(shù)在控制器與系統(tǒng)模型的異步階段是允許增長的。最后在獲得相應保證其穩(wěn)定的控制器增益過程中,得到了關于變量的線性矩陣不等式,這有利于在其可行時找到它的可行解。